(10 نقاط: 2 الشكل + 2 + 2 + 2 + 2)
ليكن $(O;I;J)$ معلماً متعامداً في المستوي حيث: $OI = OJ = 1cm$ والنقاط $A(-1;1)$ و $B(2;1)$
و $C$ ذات الترتيبة الموجبة حيث يكون $ABC$ مثلثاً متقايس الضلعين في $A$ و $\widehat{ABC} = 45°$
1°) أ) بيّن أنّ $ABC$ مثلث قائم الزاوية ثم استنتج أن $x_C = -1$
ب) احسب البُعد $AC$ ثم استنتج أنّ $y_C = 4$
2°) لتكن $D$ الرأس الرابعة لمتوازي الأضلاع $ABDC$
خذّ إحداثيات النقطة $D$ و علّل جوابك
3°) لتكن $E$ النقطة ذات الإحداثيات $(5;1)$
بيّن أنّ $E$ مسقط $D$ على المستقيم $(AB)$ وفقاً لمنحى $(BC)$
للجزء الأول:
• مثلث متقايس الضلعين في $A$ يعني: $AB = AC$
• مجموع زوايا المثلث = $180°$
• إذا كانت زاوية واحدة $45°$ ومتقايس الضلعين، ما قياس الزوايا الأخرى؟
للإحداثيات:
• احسب المسافة $AB$ باستخدام $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$
• إذا كان المثلث قائم الزاوية في $A$، فإن $(AB) \perp (AC)$
• استخدم شرط التعامد للإحداثيات
لمتوازي الأضلاع:
• في متوازي الأضلاع $ABDC$: القطران $[AD]$ و $[BC]$ لهما نفس المنتصف
• أي: قطرا متوازي الأضلاع يتقاطعان في منتصفيهما
المرحلة 1: تحديد نوع المثلث
1. المثلث متقايس الضلعين في $A$ يعني: $AB = AC$
2. الزاويتان القاعديتان متساويتان: $\widehat{ABC} = \widehat{ACB} = 45°$
3. مجموع الزوايا: $\widehat{BAC} + 45° + 45° = 180°$
4. إذن: $\widehat{BAC} = 90°$ (مثلث قائم الزاوية في $A$)
المرحلة 2: حساب الإحداثيات
1. نحسب $AB = \sqrt{(2-(-1))^2 + (1-1)^2} = \sqrt{9} = 3$
2. بما أن $AB = AC$ و المثلث قائم في $A$، فإن $AC = 3$
3. لإيجاد إحداثيات $C$: نستخدم أن $(AB)$ أفقي و $(AC) \perp (AB)$
4. إذن $(AC)$ محصور بين مستقيمين: $x_C = x_A = -1$ و $AC = |y_C - 1| = 3$
المرحلة 3: متوازي الأضلاع
1. في $ABDC$: منتصف $[AD]$ = منتصف $[BC]$
2. أي: قطرا متوازي الأضلاع يتقاطعان في منتصفيهما
3. نحسب إحداثيات $D$ من هذه الخاصية
1°) أ) إثبات أن ABC مثلث قائم وإيجاد $x_C$:
بما أن $ABC$ متقايس الضلعين في $A$، فإن: $AB = AC$
والزاويتان القاعديتان متساويتان: $\widehat{ABC} = \widehat{ACB} = 45°$
مجموع زوايا المثلث:
إذن $ABC$ مثلث قائم الزاوية في $A$
بما أن $A(-1;1)$ و $B(2;1)$ لهما نفس الترتيبة ($y_A = y_B = 1$)، فإن $(AB)$ يوازي محور الفواصل (أفقي)
وبما أن المثلث قائم في $A$ فإن $(AC) \perp (AB)$
إذن $(AC)$ محصور بين مستقيمين (يوازي محور التراتيب)، أي أن $A$ و $C$ لهما نفس الفاصلة
بالتالي: $x_C = x_A = -1$ ✓
ب) حساب $AC$ وإيجاد $y_C$:
بما أن $AB = AC = 3$
و $C(x_C; y_C) = C(-1; y_C)$
بما أن $C$ ذات ترتيبة موجبة: $y_C > 0$ و $y_C > 1$
إذن: $C(-1; 4)$ ✓
2°) إحداثيات النقطة D:
في متوازي الأضلاع $ABDC$، القطران يتقاطعان في منتصفيهما
منتصف $[AD] = $ منتصف $[BC]$
منتصف $[BC]$:
إذا كانت $D(x_D; y_D)$، فمنتصف $[AD]$:
إذن: $D(2; 4)$ ✓
3°) إثبات أن E مسقط D على (AB) وفقاً لمنحى (BC):
$E(5;1)$ هو مسقط $D$ على $(AB)$ وفقاً لمنحى $(BC)$ إذا كان:
• $E$ على المستقيم $(AB)$
• $(DE) \parallel (BC)$
التحقق من $E$ على $(AB)$:
المستقيم $(AB)$ له معادلة: $y = 1$ (أفقي)
$E(5;1)$ يحقق المعادلة ✓
التحقق من $(DE) \parallel (BC)$:
نبيّن أن الرباعي $EBCD$ متوازي أضلاع بإثبات أن قطريه $[EC]$ و $[BD]$ لهما نفس المنتصف:
القطران $[EC]$ و $[BD]$ لهما نفس المنتصف، إذن $EBCD$ متوازي أضلاع
وبالتالي ضلعاه المتقابلان $[DE]$ و $[BC]$ متوازيان: $(DE) \parallel (BC)$ ✓
بالتالي: $E$ هو مسقط $D$ على $(AB)$ وفقاً لمنحى $(BC)$ ✓
(8 نقاط)
في المعين المتعامد $(O,I,J)$ بحيث $OI=OJ=1cm$ نعتبر النقاط $M(2;0)$ و $A(3;4)$ و $D(4;0)$
و $B$ مناظرة $A$ بالنسبة لـ $M$
1) بين أن $B(1;-4)$
2) لتكن النقطة $C$ بحيث يكون $AJBC$ متوازي أضلاع. بين أن $C(4;-1)$
3) الدائرة $(\ell)$ التي قطرها $[JC]$ تقطع $[OI]$ في $K$. حدد إحداثيات $K$ معللاً جوابك
4) أ) أين $E$ مناظرة $C$ بالنسبة لـ $(OI)$
ب) حدد إحداثيات $E$
5) المستقيم المار من $B$ والموازي لـ $(OI)$ يقطع $(EC)$ في $P$ و يقطع $(OJ)$ في $Q$
أ) حدد إحداثيات $P$ و $Q$
ب) احسب مساحة الرباعي $OJCP$
للتناظر المركزي:
• إذا كان $B$ مناظر $A$ بالنسبة لـ $M$، فإن $M$ منتصف $[AB]$
• استخدم: $M = \frac{A + B}{2}$
لمتوازي الأضلاع:
• في متوازي الأضلاع $AJBC$: القطران $[AB]$ و $[JC]$ لهما نفس المنتصف
• أي: قطرا متوازي الأضلاع يتقاطعان في منتصفيهما
• استعمل هذه الخاصية لإيجاد إحداثيات $C$
للدائرة:
• إذا كان $[JC]$ قطراً، فأي نقطة على الدائرة تشكل زاوية قائمة مع طرفي القطر
• أي: الزاوية $\widehat{JKC}$ قائمة في $K$، فنطبّق النظرية العكسية لفيثاغورس: $KJ^2 + KC^2 = JC^2$
للتناظر المحوري:
• التناظر بالنسبة لـ $(OI)$ (المحور الأفقي) يعكس الترتيبة: $(x;y) \to (x;-y)$
المرحلة 1: إيجاد B
1. $M$ منتصف $[AB]$
2. $M = \frac{A + B}{2}$
3. $2M = A + B$
4. $B = 2M - A$
المرحلة 2: إيجاد C
1. $AJBC$ متوازي أضلاع، و $A$ و $J$ و $B$ معلومة
2. القطران $[AB]$ و $[JC]$ لهما نفس المنتصف
3. نستنتج إحداثيات $C$ من تساوي منتصفَي القطرين
المرحلة 3: النقطة K على الدائرة
1. $K$ على $(OI)$، إذن $K(k;0)$
2. $[JC]$ قطر الدائرة، فالزاوية $\widehat{JKC}$ قائمة في $K$
3. نطبّق النظرية العكسية لفيثاغورس في المثلث $JKC$
4. $KJ^2 + KC^2 = JC^2$
المرحلة 4: الإسقاط والمساحة
1. المستقيم الموازي لـ $(OI)$ من $B$ له معادلة $y = y_B$
2. نجد تقاطعه مع $(EC)$ و $(OJ)$
3. للمساحة: استخدم تجزئة الشكل أو صيغة شبه المنحرف
1) إثبات أن B(1;-4):
$B$ مناظرة $A$ بالنسبة لـ $M$ يعني أن $M$ منتصف $[AB]$
إذن: $B(1;-4)$ ✓
2) إثبات أن C(4;-1):
$AJBC$ متوازي أضلاع، حيث $A(3;4)$، $J(0;1)$، $B(1;-4)$
في متوازي الأضلاع القطران يتقاطعان في منتصفيهما، أي أن للقطرين $[AB]$ و $[JC]$ نفس المنتصف
منتصف $[AB]$:
إذا كانت $C(x_C; y_C)$، فمنتصف $[JC]$:
إذن: $C(4;-1)$ ✓
3) إحداثيات K:
$K$ على $(OI)$، إذن $K(k;0)$ حيث $k$ عدد حقيقي
$[JC]$ قطر الدائرة، و $J(0;1)$، $C(4;-1)$
بما أن $[JC]$ قطر و $K$ نقطة من الدائرة، فإن الزاوية $\widehat{JKC}$ قائمة في $K$
نطبّق النظرية العكسية لفيثاغورس في المثلث $JKC$: $KJ^2 + KC^2 = JC^2$
بحل المعادلة: $k = 2 \pm \sqrt{5}$
نأخذ الحل المناسب: $K(2-\sqrt{5}; 0)$
4) النقطة E:
أ) $E$ مناظرة $C$ بالنسبة لـ $(OI)$ (المحور الأفقي)
ب) التناظر بالنسبة للمحور $Ox$: $(x;y) \to (x;-y)$
5) النقاط P و Q والمساحة:
أ) المستقيم من $B(1;-4)$ موازٍ لـ $(OI)$ له معادلة: $y = -4$
تقاطعه مع $(OJ)$ (المحور $y$): $Q(0;-4)$ ✓
تقاطعه مع $(EC)$:
معادلة $(EC)$: من $E(4;1)$ إلى $C(4;-1)$
هذا مستقيم محصور بين مستقيمين: $x = 4$
التقاطع: $P(4;-4)$ ✓
ب) مساحة الرباعي $OJCP$:
الرؤوس: $O(0;0)$, $J(0;1)$, $C(4;-1)$, $P(4;-4)$
نستخدم صيغة المساحة بالإحداثيات أو نجزئ:
أو نستخدم شبه المنحرف: القاعدتان $OJ = 1$ و $CP = 3$، الارتفاع $= 4$
(6 نقاط)
ليكن $(O,I,J)$ معلماً متعامداً في المستوي حيث $OI = OJ = 1cm$
1) أ) عيّن النقاط التالية $A(2,\sqrt{2})$ و $B(4,0)$ و $C(2,-2)$ و $F(0,-2)$
ب) بيّن أنّ $(AC) \perp (OI)$
2) لتكن $K$ نقطة تقاطع $(AC)$ و $(OI)$ و $L$ مناظرة $A$ بالنسبة لـ $K$
أ) أوجد إحداثيات $K$ معللاً جوابك
ب) استنتج أنّ $AOLB$ معيّن.
ج) احسب مساحة $AOLB$
3) المستقيم الموازي لـ $(AC)$ والمار من $B$ يقطع $(FC)$ في النقطة $T$.
بيّن أنّ إحداثيات $T$ هي: $(4;-2)$
4) حدّد مجموعة نقاط المستوي $M(x;y)$ التي تحقّق: $y=-2$ و $0 \leq x \leq 4$
للتعامد:
• $A(2,\sqrt{2})$ و $C(2,-2)$ لهما نفس الفاصلة ($x_A = x_C = 2$)
• إذن $(AC)$ مستقيم محصور بين مستقيمين
• و $(OI)$ هو المحور الأفقي، والمحصور بين مستقيمين عمودي على الأفقي
لنقطة التقاطع K:
• $K$ على $(OI)$، إذن $K(k;0)$
• $K$ على $(AC)$ أيضاً
• استخدم أن $(AC)$ محصور بين مستقيمين: كل نقطة منه لها الفاصلة $x = 2$
للمعيّن:
• المعيّن له قطران متعامدان ويتقاطعان في منتصفيهما
• تحقق من: $[AB]$ و $[OL]$ متعامدان ومتناصفان
للمجموعة النقطية:
• $y = -2$ تمثل مستقيماً أفقياً
• $0 \leq x \leq 4$ تحدد مقطعاً على هذا المستقيم
المرحلة 1: التحقق من التعامد
1. لاحظ أن $A$ و $C$ لهما نفس الفاصلة $x = 2$
2. إذن $(AC)$ مستقيم محصور بين مستقيمين
3. $(OI)$ هو المحور الأفقي
4. المحصور بين مستقيمين عمودي على الأفقي، إذن $(AC) \perp (OI)$
المرحلة 2: إيجاد K
1. $K$ على $(OI)$: $K(k;0)$
2. $K$ على $(AC)$ المحصور بين مستقيمين: $x = 2$
3. إذن $k = x_A = x_C = 2$
المرحلة 3: إثبات أن AOLB معيّن
1. إيجاد $L$ (مناظرة $A$ بالنسبة لـ $K$)
2. حساب أطوال الأضلاع: $AO$, $OL$, $LB$, $BA$
3. أو: إثبات أن القطران متعامدان ومتناصفان
المرحلة 4: المستقيم الموازي
1. المستقيم من $B$ موازٍ لـ $(AC)$
2. معادلة $(AC)$: $x = 2$ (محصور بين مستقيمين)
3. المستقيم الموازي من $B(4;0)$: $x = 4$
4. تقاطعه مع $(FC)$
1) أ) تعيين النقاط:
نضع النقاط على المعلم: $A(2,\sqrt{2})$، $B(4,0)$، $C(2,-2)$، $F(0,-2)$ ✓
ب) إثبات $(AC) \perp (OI)$:
النقطتان $A(2,\sqrt{2})$ و $C(2,-2)$ لهما نفس الفاصلة:
إذن المستقيم $(AC)$ محصور بين مستقيمين (يوازي محور التراتيب)
و $(OI)$ هو المحور الأفقي (محور الفواصل)
وبما أن محورَي المعين متعامدان، فكل مستقيم محصور بين مستقيمين يكون عمودياً على كل مستقيم أفقي
بما أن $(AC)$ محصور بين مستقيمين و $(OI)$ أفقي، فإن: $(AC) \perp (OI)$ ✓
2) أ) إحداثيات K:
بما أن $x_A = x_C = 2$، فإن $(AC)$ مستقيم محصور بين مستقيمين
وكل نقطة من $(AC)$ لها الفاصلة $x = 2$
$K$ نقطة تقاطع $(AC)$ و $(OI)$:
• $K$ على $(AC)$: $x = 2$
• $K$ على $(OI)$: $y = 0$
إذن: $K(2; 0)$ ✓
ب) إثبات أن AOLB معيّن:
$L$ مناظرة $A$ بالنسبة لـ $K$:
إذن: $L(2; -\sqrt{2})$
نتحقق من أطوال الأضلاع:
جميع الأضلاع متساوية، إذن $AOLB$ معيّن ✓
ج) مساحة AOLB:
مساحة المعيّن = $\frac{1}{2} \times d_1 \times d_2$ (حيث $d_1$, $d_2$ القطران)
القطران: $[AB]$ و $[OL]$
انتظر، هذا خطأ. القطران هما $[AL]$ و $[OB]$:
المساحة:
3) إحداثيات T:
المستقيم الموازي لـ $(AC)$ من $B$:
• $(AC)$ له معادلة $x = 2$ (محصور بين مستقيمين)
• الموازي من $B(4;0)$ له معادلة: $x = 4$
معادلة $(FC)$ من $F(0;-2)$ إلى $C(2;-2)$:
• كلاهما له نفس الترتيبة: $y = -2$ (أفقي)
التقاطع:
إذن: $T(4; -2)$ ✓
4) مجموعة النقاط M:
الشرط: $y = -2$ و $0 \leq x \leq 4$
• $y = -2$ يمثل مستقيماً أفقياً
• $0 \leq x \leq 4$ يحدد مقطعاً على هذا المستقيم
الجواب: مجموعة النقاط هي المقطع $[FT]$ حيث $F(0;-2)$ و $T(4;-2)$ ✓
(6 نقاط)
ليكن $(O,I,J)$ معلماً متعامداً في المستوي حيث $OI = OJ = 1cm$
1) أ) عيّن النقاط التالية $A(2,\sqrt{2})$ و $B(4,0)$ و $C(2,-2)$ و $F(0,-2)$
ب) بيّن أنّ $(AC) \perp (OI)$
2) لتكن $K$ نقطة تقاطع $(AC)$ و $(OI)$ و $L$ مناظرة $A$ بالنسبة لـ $K$
أ) أوجد إحداثيات $K$ معللاً جوابك
ب) استنتج أنّ $AOLB$ معيّن
ج) احسب مساحة $AOLB$
3) المستقيم الموازي لـ $(AC)$ والمار من $B$ يقطع $(FC)$ في النقطة $T$
بيّن أنّ إحداثيات $T$ هي: $(4;-2)$
4) حدّد مجموعة نقاط المستوي $M(x;y)$ التي تحقّق: $y=-2$ و $0 \leq x \leq 4$
للتعامد:
• $(OI)$ هو المحور الأفقي
• $A(2,\sqrt{2})$ و $C(2,-2)$ لهما نفس الفاصلة
• إذن $(AC)$ محصور بين مستقيمين
• محصور بين مستقيمين ⊥ أفقي
لنقطة التقاطع:
• $K$ على $(OI)$: $y_K = 0$
• $K$ على $(AC)$: $x_K = 2$
للمعيّن:
• جميع الأضلاع متساوية
• المساحة = $\frac{1}{2} \times d_1 \times d_2$
المرحلة 1: التعامد
1. $A$ و $C$ لهما $x = 2$
2. إذن $(AC)$ محصور بين مستقيمين
3. $(OI)$ أفقي
4. محصور بين مستقيمين ⊥ أفقي
المرحلة 2: النقطة K
1. على $(OI)$: $y = 0$
2. على $(AC)$: $x = 2$
3. إذن $K(2;0)$
المرحلة 3: المعيّن
1. إيجاد $L$ من التناظر
2. حساب الأضلاع
3. التحقق من التساوي
1) أ) تعيين النقاط:
نضع: $A(2,\sqrt{2})$، $B(4,0)$، $C(2,-2)$، $F(0,-2)$ ✓
ب) إثبات $(AC) \perp (OI)$:
$A(2,\sqrt{2})$ و $C(2,-2)$ لهما نفس الفاصلة: $x = 2$
إذن $(AC)$ مستقيم محصور بين مستقيمين
$(OI)$ هو المحور الأفقي
المحصور بين مستقيمين ⊥ الأفقي
إذن: $(AC) \perp (OI)$ ✓
2) أ) إحداثيات K:
$K$ تقاطع $(AC)$ و $(OI)$:
• على $(AC)$ (محصور بين مستقيمين): $x_K = 2$
• على $(OI)$ (أفقي): $y_K = 0$
إذن: $K(2;0)$ ✓
ب) إثبات أن AOLB معيّن:
$L$ مناظرة $A$ بالنسبة لـ $K$:
$K = \frac{A+L}{2}$
$(2;0) = \frac{(2;\sqrt{2})+(x_L;y_L)}{2}$
$x_L = 2$، $y_L = -\sqrt{2}$
إذن: $L(2;-\sqrt{2})$
نحسب الأضلاع:
$AO$: أفقي $2$، محصور بين مستقيمين $\sqrt{2}$
$OL$: أفقي $2$، محصور بين مستقيمين $\sqrt{2}$
$LB$: أفقي $2$، محصور بين مستقيمين $\sqrt{2}$
$BA$: أفقي $2$، محصور بين مستقيمين $\sqrt{2}$
جميعها متساوية → معيّن ✓
ج) مساحة AOLB:
القطران: $[AL]$ و $[OB]$
$AL$ (محصور بين مستقيمين): $|\sqrt{2}-(-\sqrt{2})| = 2\sqrt{2}$
$OB$ (أفقي): $|4-0| = 4$
المساحة = $\frac{1}{2} \times 2\sqrt{2} \times 4 = 4\sqrt{2}$ cm² ✓
3) إحداثيات T:
الموازي لـ $(AC)$ من $B$:
• $(AC)$ محصور بين مستقيمين: $x = 2$
• الموازي من $B(4;0)$: $x = 4$
$(FC)$: من $F(0;-2)$ إلى $C(2;-2)$
• كلاهما $y = -2$ (أفقي)
التقاطع: $x = 4$ و $y = -2$
إذن: $T(4;-2)$ ✓
4) مجموعة النقاط M:
$y = -2$ و $0 \leq x \leq 4$
• $y = -2$: مستقيم أفقي
• $0 \leq x \leq 4$: مقطع
الجواب: المقطع $[FT]$ من $F(0;-2)$ إلى $T(4;-2)$ ✓