دليل الطرق البسيطة - CODE 55

📏 حساب المسافات

المسافة على مستقيم أفقي:

$d = |x_2 - x_1|$

المسافة على مستقيم محصور بين مستقيمين:

$d = |y_2 - y_1|$

إحداثيات المنتصف:

$M = \left(\frac{x_1+x_2}{2}; \frac{y_1+y_2}{2}\right)$

📐 التعامد والتوازي

مستقيمان متعامدان:

  • أفقي ⊥ محصور بين مستقيمين
  • إذا كان أحدهما $y = k$ والآخر $x = c$

مستقيمان متوازيان:

  • أفقيان: نفس $y$
  • محصور بين مستقيمينان: نفس $x$

⚠️ القواعد المحظورة

• ممنوع استخدام فيثاغورس

• ممنوع استخدام المتجهات

• ممنوع معادلات المستقيمات

• ممنوع المعاملات والميول

• استخدم فقط القيمة المطلقة!

تمارين الهندسة التحليلية - CODE 55

الطرق البسيطة بدون فيثاغورس القيمة المطلقة فقط
التمرين 3
المثلث متقايس الضلعين ومتوازي الأضلاع

(10 نقاط)

ليكن $(O;I;J)$ معلماً متعامداً في المستوي حيث: $OI = OJ = 1cm$ والنقاط $A(-1;1)$ و $B(2;1)$

و $C$ ذات الترتيبة الموجبة حيث يكون $ABC$ مثلثاً متقايس الضلعين في $A$ و $\widehat{ABC} = 45°$

1°) أ) بيّن أنّ $ABC$ مثلث قائم الزاوية ثم استنتج أن $x_C = -1$

ب) احسب البُعد $AC$ ثم استنتج أنّ $y_C = 4$

2°) لتكن $D$ الرأس الرابعة لمتوازي الأضلاع $ABDC$

خذّ إحداثيات النقطة $D$ و علّل جوابك

3°) لتكن $E$ النقطة ذات الإحداثيات $(5;1)$

بيّن أنّ $E$ مسقط $D$ على المستقيم $(AB)$ وفقاً لمنحى $(BC)$

لم تبدأ بعد

💡 توجيهات للتفكير

للجزء الأول:

• مثلث متقايس الضلعين في $A$ يعني: $AB = AC$

• الزاويتان القاعديتان متساويتان: $45°$ لكل منهما

• مجموع زوايا المثلث = $180°$

للإحداثيات:

• لاحظ أن $A(-1;1)$ و $B(2;1)$ لهما نفس الترتيبة

• إذن $(AB)$ أفقي، والعمودي عليه محصور بين مستقيمين

• إذا كان $(AC)$ عمودي على $(AB)$، ماذا يعني هذا لـ $x_C$؟

لحساب المسافات:

• المسافة الأفقية: $|x_2 - x_1|$

• المسافة المحصور بين مستقيمينة: $|y_2 - y_1|$

📝 منهجية الحل

المرحلة 1: تحديد نوع المثلث

1. المثلث متقايس الضلعين في $A$: $AB = AC$

2. الزاويتان القاعديتان: $\widehat{ABC} = \widehat{ACB} = 45°$

3. مجموع الزوايا: $\widehat{BAC} = 180° - 45° - 45° = 90°$

4. إذن: مثلث قائم الزاوية في $A$

المرحلة 2: إيجاد إحداثيات C

1. $A(-1;1)$ و $B(2;1)$ على نفس المستقيم الأفقي

2. $(AB)$ أفقي، إذن $(AC)$ محصور بين مستقيمين

3. المستقيم المحصور بين مستقيمين من $A$ له $x = -1$

4. إذن $x_C = -1$

المرحلة 3: حساب AC

1. $AB = |2 - (-1)| = 3$

2. بما أن $AB = AC$، فإن $AC = 3$

3. $AC$ محصور بين مستقيمين: $|y_C - 1| = 3$

4. بما أن $y_C > 0$: $y_C = 4$

✅ الحل النهائي

1°) أ) إثبات أن ABC مثلث قائم وإيجاد $x_C$:

بما أن $ABC$ متقايس الضلعين في $A$: $AB = AC$

الزاويتان القاعديتان متساويتان: $\widehat{ABC} = \widehat{ACB} = 45°$

مجموع زوايا المثلث:

$$\widehat{BAC} + 45° + 45° = 180°$$ $$\widehat{BAC} = 90°$$

إذن $ABC$ مثلث قائم الزاوية في $A$ ✓

الآن، $A(-1;1)$ و $B(2;1)$ لهما نفس الترتيبة $y = 1$

إذن $(AB)$ مستقيم أفقي

بما أن الزاوية في $A$ قائمة، فإن $(AC) \perp (AB)$

العمودي على الأفقي هو محصور بين مستقيمين

المستقيم المحصور بين مستقيمين من $A(-1;1)$ له معادلة: $x = -1$

إذن: $x_C = -1$ ✓

ب) حساب $AC$ وإيجاد $y_C$:

المسافة $AB$ (أفقية):

$$AB = |x_B - x_A| = |2 - (-1)| = 3$$

بما أن $AB = AC = 3$

و $C(x_C; y_C) = C(-1; y_C)$

المسافة $AC$ (محصور بين مستقيمينة):

$$AC = |y_C - y_A| = |y_C - 1| = 3$$

بما أن $C$ ذات ترتيبة موجبة و $y_C > 1$:

$$y_C - 1 = 3$$ $$y_C = 4$$

إذن: $C(-1; 4)$ ✓

2°) إحداثيات النقطة D:

في متوازي الأضلاع $ABDC$، القطران يتقاطعان في منتصفيهما

منتصف $[AD] = $ منتصف $[BC]$

منتصف $[BC]$:

$$I = \left(\frac{x_B+x_C}{2}; \frac{y_B+y_C}{2}\right) = \left(\frac{2+(-1)}{2}; \frac{1+4}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}; \frac{5}{2}\right)$$

إذا كانت $D(x_D; y_D)$، فمنتصف $[AD]$:

$$\left(\frac{x_A+x_D}{2}; \frac{y_A+y_D}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}; \frac{5}{2}\right)$$
$$\frac{-1+x_D}{2} = \frac{1}{2} \Rightarrow x_D = 2$$ $$\frac{1+y_D}{2} = \frac{5}{2} \Rightarrow y_D = 4$$

إذن: $D(2; 4)$ ✓

3°) إثبات أن E مسقط D على (AB) وفقاً لمنحى (BC):

$E(5;1)$ هو مسقط $D$ على $(AB)$ وفقاً لمنحى $(BC)$ إذا:

• $E$ على المستقيم $(AB)$

• $(DE)$ موازٍ لـ $(BC)$

التحقق من $E$ على $(AB)$:

$(AB)$ أفقي بمعادلة: $y = 1$

$E(5;1)$ له $y = 1$ ✓

التحقق من $(DE) \parallel (BC)$:

$D(2;4)$ و $E(5;1)$:

• التغير الأفقي: $5 - 2 = 3$

• التغير المحصور بين مستقيمين: $1 - 4 = -3$

$B(2;1)$ و $C(-1;4)$:

• التغير الأفقي: $-1 - 2 = -3$

• التغير المحصور بين مستقيمين: $4 - 1 = 3$

التغيرات متناسبة بنسبة $-1$ (اتجاه معاكس)

إذن $(DE) \parallel (BC)$ ✓

بالتالي: $E$ هو مسقط $D$ على $(AB)$ وفقاً لمنحى $(BC)$ ✓

التمرين 6
النقاط والتعامد والمساحات

(6 نقاط)

ليكن $(O,I,J)$ معلماً متعامداً في المستوي حيث $OI = OJ = 1cm$

1) أ) عيّن النقاط التالية $A(2,\sqrt{2})$ و $B(4,0)$ و $C(2,-2)$ و $F(0,-2)$

ب) بيّن أنّ $(AC) \perp (OI)$

2) لتكن $K$ نقطة تقاطع $(AC)$ و $(OI)$ و $L$ مناظرة $A$ بالنسبة لـ $K$

أ) أوجد إحداثيات $K$ معللاً جوابك

ب) استنتج أنّ $AOLB$ معيّن

ج) احسب مساحة $AOLB$

3) المستقيم الموازي لـ $(AC)$ والمار من $B$ يقطع $(FC)$ في النقطة $T$

بيّن أنّ إحداثيات $T$ هي: $(4;-2)$

4) حدّد مجموعة نقاط المستوي $M(x;y)$ التي تحقّق: $y=-2$ و $0 \leq x \leq 4$

لم تبدأ بعد

💡 توجيهات للتفكير

للتعامد:

• $(OI)$ هو المحور الأفقي

• $(AC)$ يربط $A(2,\sqrt{2})$ و $C(2,-2)$

• لاحظ الإحداثيات: ما المشترك بينهما؟

لنقطة التقاطع K:

• $K$ على $(OI)$، إذن $y_K = 0$

• $K$ على $(AC)$ أيضاً

• إذا كان $(AC)$ محصور بين مستقيميناً، فـ $x$ ثابت

للمعيّن:

• جميع أضلاع المعيّن متساوية

• أو: القطران متعامدان ومتناصفان

للمساحة:

• مساحة المعيّن = $\frac{1}{2} \times d_1 \times d_2$

• حيث $d_1$ و $d_2$ طولا القطرين

📝 منهجية الحل

المرحلة 1: التحقق من التعامد

1. لاحظ أن $A(2,\sqrt{2})$ و $C(2,-2)$ لهما نفس $x = 2$

2. إذن $(AC)$ محصور بين مستقيمين

3. $(OI)$ أفقي

4. المحصور بين مستقيمين ⊥ الأفقي

المرحلة 2: إيجاد K

1. $K$ على $(OI)$: $y_K = 0$

2. $K$ على $(AC)$: $x_K = 2$

3. إذن $K(2;0)$

المرحلة 3: إثبات المعيّن

1. إيجاد $L$ من التناظر

2. حساب الأضلاع الأربعة

3. التحقق من تساويها

المرحلة 4: حساب المساحة

1. تحديد القطرين

2. حساب طول كل قطر

3. تطبيق: مساحة = $\frac{1}{2} \times d_1 \times d_2$

✅ الحل النهائي

1) أ) تعيين النقاط:

نضع النقاط على المعلم: $A(2,\sqrt{2})$، $B(4,0)$، $C(2,-2)$، $F(0,-2)$ ✓

ب) إثبات $(AC) \perp (OI)$:

$A(2,\sqrt{2})$ و $C(2,-2)$ لهما نفس الفاصلة: $x = 2$

إذن $(AC)$ مستقيم محصور بين مستقيمين (عمودي)

$(OI)$ هو المحور الأفقي

المستقيم المحصور بين مستقيمين عمودي على المستقيم الأفقي

إذن: $(AC) \perp (OI)$ ✓

2) أ) إحداثيات K:

$K$ نقطة تقاطع $(AC)$ و $(OI)$:

• $K$ على $(AC)$ (محصور بين مستقيمين): $x_K = 2$

• $K$ على $(OI)$ (أفقي): $y_K = 0$

إذن: $K(2; 0)$ ✓

ب) إثبات أن AOLB معيّن:

$L$ مناظرة $A$ بالنسبة لـ $K$:

$K$ منتصف $[AL]$:

$$\left(\frac{x_A+x_L}{2}; \frac{y_A+y_L}{2}\right) = (2;0)$$
$$\frac{2+x_L}{2} = 2 \Rightarrow x_L = 2$$ $$\frac{\sqrt{2}+y_L}{2} = 0 \Rightarrow y_L = -\sqrt{2}$$

إذن: $L(2; -\sqrt{2})$

نحسب أطوال الأضلاع:

$AO$: من $A(2;\sqrt{2})$ إلى $O(0;0)$

• التغير الأفقي: $|0-2| = 2$

• التغير المحصور بين مستقيمين: $|0-\sqrt{2}| = \sqrt{2}$

$OL$: من $O(0;0)$ إلى $L(2;-\sqrt{2})$

• التغير الأفقي: $|2-0| = 2$

• التغير المحصور بين مستقيمين: $|-\sqrt{2}-0| = \sqrt{2}$

$LB$: من $L(2;-\sqrt{2})$ إلى $B(4;0)$

• التغير الأفقي: $|4-2| = 2$

• التغير المحصور بين مستقيمين: $|0-(-\sqrt{2})| = \sqrt{2}$

$BA$: من $B(4;0)$ إلى $A(2;\sqrt{2})$

• التغير الأفقي: $|2-4| = 2$

• التغير المحصور بين مستقيمين: $|\sqrt{2}-0| = \sqrt{2}$

جميع الأضلاع لها نفس التغيرات، إذن $AOLB$ معيّن ✓

ج) مساحة AOLB:

القطران هما $[AL]$ و $[OB]$

$AL$ (محصور بين مستقيمين): من $A(2;\sqrt{2})$ إلى $L(2;-\sqrt{2})$

$$AL = |\sqrt{2} - (-\sqrt{2})| = 2\sqrt{2}$$

$OB$ (أفقي): من $O(0;0)$ إلى $B(4;0)$

$$OB = |4 - 0| = 4$$

المساحة:

$$S = \frac{1}{2} \times AL \times OB = \frac{1}{2} \times 2\sqrt{2} \times 4 = 4\sqrt{2} \text{ cm}^2$$

3) إحداثيات T:

المستقيم الموازي لـ $(AC)$ من $B$:

• $(AC)$ محصور بين مستقيمين بمعادلة: $x = 2$

• الموازي من $B(4;0)$: $x = 4$ (محصور بين مستقيمين)

$(FC)$: من $F(0;-2)$ إلى $C(2;-2)$

• كلاهما له $y = -2$ (أفقي)

التقاطع:

$$\begin{cases} x = 4 \\ y = -2 \end{cases}$$

إذن: $T(4; -2)$ ✓

4) مجموعة النقاط M:

الشرط: $y = -2$ و $0 \leq x \leq 4$

• $y = -2$ مستقيم أفقي

• $0 \leq x \leq 4$ مقطع على هذا المستقيم

الجواب: المقطع $[FT]$ من $F(0;-2)$ إلى $T(4;-2)$ ✓