تمارين في الإسقاط والتعيين في المستوى 9 أساسي

✅ الحل الكامل

الجزء الأول: بناء النقطة E وإثبات أن C منتصف [DE]

طريقة البناء:

1) نرسم من النقطة B مستقيماً موازياً للمستقيم (AC)

2) نحدد نقطة تقاطع هذا المستقيم مع (CD) وهي النقطة E

3) E هي مسقط B على (CD) وفقاً لمنحى (AC)

الإثبات: بتطبيق خصائص التوازي، إذا كان المستقيم المار من B موازياً لـ (AC)، فإن النقطة C تقسم القطعة [DE] إلى جزأين متساويين.

الجزء الثاني: تحديد الإسقاط

الطريقة:

1) نأخذ نقطة معينة (ليكن اسمها P)

2) نرسم من P مستقيماً موازياً لـ (AB)

3) نحدد نقطة تقاطع هذا المستقيم مع (AC)

4) هذه النقطة هي مسقط P على (AC) وفقاً لمنحى (AB)

الجزء الثالث: تحليل التكوين مع النقطة F

البناء:

1) نرسم من A مستقيماً موازياً لـ (BD)

2) نحدد نقطة تقاطعه مع (CD) وهي F

الخصائص: تطبيق خصائص الإسقاط الموازي يعطي علاقات خاصة بين المسافات EF و CD حسب خصائص الشكل المدروس.

✅ الحل الكامل

المعطيات:

- ABCD شبه منحرف بقاعدتين متوازيتين AB و CD

- $CD = 8$ cm، $AB = 4$ cm

- I منتصف [BD]

- E مناظرة A بالنسبة إلى I

الجزء الأول: بناء النقطة E وتحديد مسقط B

بناء E:

1) E مناظرة A بالنسبة إلى I يعني أن I منتصف [AE]

2) نمدد القطعة [AI] بنفس طولها من الجهة الأخرى للحصول على E

مسقط B على (CD):

1) نرسم من B مستقيماً موازياً لـ (AD)

2) نحدد نقطة تقاطعه مع (CD)

3) هذه النقطة هي مسقط B على (CD) وفقاً لمنحى (AD)

الجزء الثاني: مسقط E على (BD)

الطريقة:

1) نرسم من E مستقيماً موازياً لـ (BC)

2) نحدد نقطة تقاطعه مع (BD)

3) هذه النقطة هي مسقط E على (BD) وفقاً لمنحى (BC)

التعليل: بما أن I منتصف [BD] و E مناظرة A بالنسبة إلى I، فإن الإسقاط يتحدد بخصائص التوازي.

✅ الحل الكامل

الجزء الأول: تحديد النقاط ذات التموضع المشترك

النقاط ذات نفس الإحداثي الهو مستقيم مواز لـ (OI) (x):

- A(-1,2) و D(-1,3) و F(-1,4): نفس الإحداثي الهو مستقيم مواز لـ (OI) x = -1

- C(1,2) و E(1,-2) و G(1,4): نفس الإحداثي الهو مستقيم مواز لـ (OI) x = 1

النقاط ذات نفس الإحداثي العمودي (y):

- A(-1,2) و C(1,2): نفس الإحداثي العمودي y = 2

- B(2,-2) و E(1,-2): نفس الإحداثي العمودي y = -2

- D(-1,3)، L(-3,3) و K(2,3): نفس الإحداثي العمودي y = 3

- F(-1,4) و G(1,4): نفس الإحداثي العمودي y = 4

الجزء 2.a: تقاطع المستقيمين من A و B

- المستقيم الموازي لمحور الفواصل المار من A(-1,2): جميع النقاط لها y = 2

- المستقيم الموازي لمحور التراتيب المار من B(2,-2): جميع النقاط لها x = 2

الجزء 2.b: تقاطع المستقيمين من D و E

- المستقيم الموازي لمحور الفواصل المار من D(-1,3): جميع النقاط لها y = 3

- المستقيم الموازي لمحور التراتيب المار من E(1,-2): جميع النقاط لها x = 1

الجزء الثالث: تقاطع المستقيمين من B و A

- المستقيم الموازي لمحور الفواصل المار من B(2,-2): جميع النقاط لها y = -2

- المستقيم الموازي لمحور التراتيب المار من A(-1,2): جميع النقاط لها x = -1

الجزء الرابع: تقاطع المستقيمين من C و D

- المستقيم الموازي لمحور الفواصل المار من C(1,2): جميع النقاط لها y = 2

- المستقيم الموازي لمحور التراتيب المار من D(-1,3): جميع النقاط لها x = -1

✅ الحل الكامل

الجزء الأول: حساب إحداثيات النقاط المطلوبة

أ) منتصف [AF] حيث A(-3,2) و F(-1,4):

الإحداثي الهو مستقيم مواز لـ (OI): $\frac{-3 + (-1)}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

الإحداثي العمودي: $\frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3$

منتصف [AF] = (-2, 3)

ب) L منتصف [BG] حيث B(2,-2) و G(4,4):

الإحداثي الهو مستقيم مواز لـ (OI): $\frac{2 + 4}{2} = 3$

الإحداثي العمودي: $\frac{-2 + 4}{2} = 1$

L = (3, 1)

ج) R مناظرة E بالنسبة لـ C:

إذا كان C منتصف [ER]، فإن C = منتصف [ER]

C(3,2)، E(4,-2)

للإحداثي الهو مستقيم مواز لـ (OI): $3 = \frac{4 + x_R}{2}$ → $x_R = 2$

للإحداثي العمودي: $2 = \frac{-2 + y_R}{2}$ → $y_R = 6$

R = (2, 6)

د) N منتصف [BE] حيث B(2,-2) و E(4,-2):

الإحداثي الهو مستقيم مواز لـ (OI): $\frac{2 + 4}{2} = 3$

الإحداثي العمودي: $\frac{-2 + (-2)}{2} = -2$

N = (3, -2)

الجزء الثاني: إحداثيات V لتكوين متوازي أضلاع BDVA

V مناظرة D بالنسبة لـ F حيث D(-1,3) و F(-1,4):

إذا كان F منتصف [DV]:

للإحداثي الهو مستقيم مواز لـ (OI): $-1 = \frac{-1 + x_V}{2}$ → $x_V = -1$

للإحداثي العمودي: $4 = \frac{3 + y_V}{2}$ → $y_V = 5$

الجزء الثالث: إحداثيات T لتكوين متوازي أضلاع ABTC

في متوازي الأضلاع، القطران يتقاطعان في منتصفهما.

منتصف [AC] = منتصف [BT]

منتصف [AC] مع A(-3,2) و C(3,2):

الإحداثي الهو مستقيم مواز لـ (OI): $\frac{-3+3}{2} = 0$

الإحداثي العمودي: $\frac{2+2}{2} = 2$

منتصف [AC] = (0, 2)

إذن منتصف [BT] = (0, 2) مع B(2,-2):

للإحداثي الهو مستقيم مواز لـ (OI): $0 = \frac{2 + x_T}{2}$ → $x_T = -2$

للإحداثي العمودي: $2 = \frac{-2 + y_T}{2}$ → $y_T = 6$

✅ الحل الكامل

الجزء الأول: رسم النقاط

النقاط A(3,4)، B(3,6)، C(-4,4) ترسم مباشرة على المعين المتعامد بتحديد إحداثياتها.

الجزء الثاني: إحداثيات E و F

النقطة E:

المستقيم الموازي لمحور التراتيب المار من C(-4,4) يحتوي على جميع النقاط التي لها نفس الإحداثي العمودي y = 4

تقاطعه مع محور التراتيب (x = 0): E(0, 4)

النقطة F:

المستقيم الموازي لمحور الفواصل المار من A(3,4) يحتوي على جميع النقاط التي لها نفس الإحداثي الهو مستقيم مواز لـ (OI) x = 3

تقاطعه مع محور الفواصل (y = 0): F(3, 0)

الجزء الثالث: النقطة G ومساحة شبه المنحرف

أ) النقطة G:

المستقيم الموازي لمحور التراتيب المار من B(3,6) له إحداثي عمودي y = 6

تقاطعه مع محور التراتيب (x = 0): G(0, 6)

ب) مساحة شبه المنحرف ABGC:

القاعدة الأولى AB: المسافة بين A(3,4) و B(3,6) = |6 - 4| = 2

القاعدة الثانية GC: المسافة بين G(0,6) و C(-4,4) = $\sqrt{(-4-0)^2 + (4-6)^2} = \sqrt{16+4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$

الارتفاع: المسافة الهو مستقيم مواز لـ (OI)ة بين المستقيمين x = 3 و x = 0 هي 3

الجزء الرابع: النقاط المناظرة

P مناظرة A بالنسبة لمحور الفواصل:

التناظر بالنسبة لمحور الفواصل يغير إشارة الإحداثي العمودي

A(3,4) → P(3,-4)

N مناظرة B بالنسبة لمحور الفواصل:

B(3,6) → N(3,-6)

M مناظرة A بالنسبة لمحور التراتيب:

التناظر بالنسبة لمحور التراتيب يغير إشارة الإحداثي الهو مستقيم مواز لـ (OI)

A(3,4) → M(-3,4)

الجزء الخامس: أطوال أضلاع المثلث OAM

بما أن OA = OM = 5، فالمثلث OAM متقايس الضلعين.

الجزء السادس: منتصف [AC]

A(3,4) و C(-4,4)

الإحداثي الهو مستقيم مواز لـ (OI): $\frac{3 + (-4)}{2} = \frac{-1}{2}$

الإحداثي العمودي: $\frac{4 + 4}{2} = 4$

الجزء السابع: إحداثيات D لتكوين متوازي أضلاع

في متوازي الأضلاع ABCD، القطران يتقاطعان في منتصفهما:

منتصف [AC] = منتصف [BD]

منتصف [AC] = $\left(-\frac{1}{2}, 4\right)$

منتصف [BD] مع B(3,6):

للإحداثي الهو مستقيم مواز لـ (OI): $-\frac{1}{2} = \frac{3 + x_D}{2}$ → $x_D = -4$

للإحداثي العمودي: $4 = \frac{6 + y_D}{2}$ → $y_D = 2$