تمرين حول المثلث المتقايس الضلعين

تمرين 5: المساعدة

💡 مؤشر

أ) المسقط العمودي للنقطة A على (BC) هو I. استخدم خصائص المثلث المتقايس الضلعين.

ب) E و F هما المسقطان العموديان لـ I على (AB) و (AC). قارن المسافات IE و IF.

ج) (AI) يقطع [EF] في J. استخدم خصائص التناظر.

د) لإثبات أن (EF) // (BC)، استخدم خصائص الموسط والمسقطات العمودية.

📝 الطريقة

للسؤال أ):

  1. في المثلث المتقايس الضلعين ABC حيث AB = AC، المسقط العمودي من القمة A على القاعدة BC هو منتصف القاعدة.
  2. بما أن (AI) عمودي على (BC) و I منتصف [BC]، فإن (AI) هو الموسط العمودي لـ [BC].

للسؤال ب):

  1. E مسقط I على (AB) عموديا: (IE) ⊥ (AB).
  2. F مسقط I على (AC) عموديا: (IF) ⊥ (AC).
  3. استخدم التناظر بالنسبة لـ (AI).
  4. أثبت أن IE = IF من التناظر.
  5. أثبت أن AE = AF بنفس الطريقة.

للسؤال ج):

  1. بما أن المثلث متماثل بالنسبة لـ (AI)، والنقطتان E و F متناظرتان.
  2. (AI) هو محور التناظر، إذن J منتصف [EF].

للسؤال د):

  1. استخدم حقيقة أن J منتصف [EF] و I منتصف [BC].
  2. من خصائص الموسطات والتناظر، أثبت التوازي.

✅ الحل الكامل

أ) بين أن المستقيم (AI) هو الموسط العمودي للضلع [BC]:

بما أن ABC مثلث متقايس الضلعين قمته الرئيسية A، فإن: $AB = AC$.

من خصائص المثلث المتقايس الضلعين: المستقيم المرسوم من القمة الرئيسية عموديا على القاعدة يمر بمنتصف القاعدة.

بما أن I هو المسقط العمودي لـ A على (BC)، فإن:

الموسط العمودي لقطعة هو المستقيم العمودي عليها والمار من منتصفها.

إذن المستقيم (AI) هو الموسط العمودي للضلع [BC].

ب) بين أن IE = IF و AE = AF:

إثبات أن IE = IF:

بما أن المثلث ABC متقايس الضلعين بقمة A، فإن المستقيم (AI) هو محور تماثل للمثلث.

E هو المسقط العمودي لـ I على (AB): $(IE) \perp (AB)$

F هو المسقط العمودي لـ I على (AC): $(IF) \perp (AC)$

بالتناظر المحوري بالنسبة لـ (AI):

إذن المسافتان IE و IF متناظرتان، وبالتالي: $IE = IF$

إثبات أن AE = AF:

بنفس منطق التناظر المحوري بالنسبة لـ (AI):

من خصائص التناظر المحوري: المسافة من نقطة على المحور إلى نقطة خارجه تساوي المسافة إلى صورتها.

إذن: $AE = AF$

ج) بين أن النقطة J هي منتصف [EF]:

J هي نقطة تقاطع المستقيم (AI) مع القطعة [EF].

بما أن (AI) هو محور تماثل للمثلث ABC، والنقطتان E و F متناظرتان بالنسبة لهذا المحور (كما أثبتنا في السؤال السابق).

من خاصية التناظر المحوري: إذا كانت نقطتان E و F متماثلتين بالنسبة لمحور، فإن هذا المحور يقطع القطعة [EF] في منتصفها.

إذن المستقيم (AI) يقطع القطعة [EF] في منتصفها J.

وبالتالي: J هي منتصف [EF]

د) بين أن (EF) // (BC):

من النتائج السابقة:

بالإضافة إلى ذلك:

بما أن (AI) عمودي على كل من (BC) و (EF)، فإن المستقيمين (BC) و (EF) متوازيان.

من خاصية: إذا كان مستقيم عموديا على مستقيمين، فإن هذين المستقيمين إما متوازيان أو منطبقان.

بما أن E ليست على (BC) (لأن $E \in (AB)$)، فإن المستقيمان مختلفان.

إذن: $(EF) // (BC)$

تمرين حول المثلث المتقايس الضلعين

إعداد الأستاذ: دفواراتي
المثلث المتقايس الضلعين والإسقاطات العمودية
تمرين 5

تعتبر مثلثا $ABC$ متقايس الضلعين قمته الرئيسية $A$. و لتكن النقطة $I$ المسقط العمودي للنقطة $A$ على المستقيم $(BC)$.

  1. بين أن المستقيم $(AI)$ هو الموسط العمودي للضلع $[BC]$.
  2. لتكن النقطة $E$ المسقط العمودي للنقطة $I$ على المستقيم $(AB)$ و النقطة $F$ المسقط العمودي للنقطة $I$ على المستقيم $(AC)$. بين أن $IE = IF$ و $AE = AF$.
  3. المستقيم $(AI)$ يقطع $[EF]$ في النقطة $J$. بين أن النقطة $J$ هي منتصف $[EF]$.
  4. بين أن $(EF) // (BC)$.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

أ) المسقط العمودي للنقطة A على (BC) هو I. استخدم خصائص المثلث المتقايس الضلعين: في مثلث متقايس الضلعين، المستقيم من القمة عموديا على القاعدة يمر بمنتصف القاعدة.

ب) E و F هما المسقطان العموديان لـ I على (AB) و (AC). استخدم محور التناظر (AI) لإثبات أن IE = IF و AE = AF.

ج) (AI) محور تماثل المثلث. إذا كانت E و F متماثلتين بالنسبة لـ (AI)، فإن (AI) يقطع [EF] في منتصفها.

د) كلا من (AI) عمودي على (BC) و (AI) عمودي على (EF). استخدم هذه المعلومة لإثبات التوازي.

📝 الطريقة

للسؤال أ):
1. في المثلث المتقايس الضلعين ABC حيث AB = AC، المسقط العمودي من القمة A على القاعدة BC هو منتصف القاعدة.
2. بما أن (AI) ⊥ (BC) و I منتصف [BC]، فإن (AI) هو الموسط العمودي لـ [BC].

للسؤال ب):
1. استخدم التناظر المحوري بالنسبة لـ (AI).
2. (AI) محور تماثل للمثلث، إذن E و F متناظرتان.
3. من التناظر: IE = IF و AE = AF.

للسؤال ج):
1. بما أن E و F متناظرتان بالنسبة لـ (AI).
2. محور التناظر يقطع [EF] في منتصفها.

للسؤال د):
1. (AI) ⊥ (BC) و (AI) ⊥ (EF).
2. مستقيمان عموديان على مستقيم واحد هما متوازيان.

✅ الحل الكامل

أ) بين أن المستقيم (AI) هو الموسط العمودي للضلع [BC]:
بما أن ABC مثلث متقايس الضلعين قمته الرئيسية A، فإن: $AB = AC$.
من خصائص المثلث المتقايس الضلعين: المستقيم المرسوم من القمة الرئيسية عموديا على القاعدة يمر بمنتصف القاعدة.
بما أن I هو المسقط العمودي لـ A على (BC)، فإن:
- $(AI) \perp (BC)$ (من تعريف المسقط العمودي)
- $I$ هو منتصف $[BC]$ (من خاصية المثلث المتقايس الضلعين)
الموسط العمودي لقطعة هو المستقيم العمودي عليها والمار من منتصفها.
إذن المستقيم (AI) هو الموسط العمودي للضلع [BC].

للسؤال ب):

  1. قارن المثلثين القائمين IBE و ICF.
  2. IB = IC (لأن I منتصف [BC]).
  3. الزاويتان EBI = FCI (لأن المثلث ABC متقايس الضلعين).
  4. المثلثان متقايسان، إذن IE = IF و BE = CF.
  5. AE = AB - BE = AC - CF = AF.
ج) بين أن النقطة J هي منتصف [EF]:
J هي نقطة تقاطع المستقيم (AI) مع القطعة [EF].
بما أن (AI) هو محور تماثل للمثلث ABC، والنقطتان E و F متناظرتان بالنسبة لهذا المحور (كما أثبتنا في السؤال السابق).
من خاصية التناظر المحوري: إذا كانت نقطتان E و F متماثلتين بالنسبة لمحور، فإن هذا المحور يقطع القطعة التي تربطهما في منتصفها.
إذن المستقيم (AI) يقطع القطعة [EF] في منتصفها J.
وبالتالي: J هي منتصف [EF]

د) بين أن (EF) // (BC):
من النتائج السابقة:
- I منتصف [BC] (من السؤال أ)
- J منتصف [EF] (من السؤال ج)
- I و J ينتميان إلى المستقيم (AI)
بالإضافة إلى ذلك:
- $(AI) \perp (BC)$ (من السؤال أ)
- من التناظر: بما أن E و F متناظرتان بالنسبة لـ (AI) و J منتصف [EF]، فإن $(AI) \perp (EF)$
البرهان: بما أن (AI) عمودي على كل من (BC) و (EF)، نستخدم الخاصية التالية:
"إذا كان مستقيم عموديا على مستقيمين، فإن هذين المستقيمين إما متوازيان أو منطبقان."
بما أن E تنتمي إلى (AB) وليست على (BC)، فإن المستقيمين (EF) و (BC) مختلفان.
إذن: $(EF) // (BC)$