تمرين حول الإسقاط والمنتصفات

تمرين 3: المساعدة

💡 مؤشر

أ) J هو مسقط I على (CD) وفقا لمنحى (AD). ماذا يعني هذا؟ أنظر إلى الرباعي AIJD.

ب) O منتصف [AC] و I منتصف [AB]. استخدم خصائص المنتصفات والتوازي.

ج) استخدم حقيقة أن K مسقط O وفقا لمنحى (AB). ما علاقة ذلك بالتوازي؟

د) تذكر أن E = {A, B, C, D, O, I, J, K}. لكل نقطة، ابحث عن مسقطها على (BC) وفقا لمنحى (AB).

📝 الطريقة

للسؤال أ):

1. من تعريف الإسقاط: $(IJ) // (AD)$.
2. في متوازي الأضلاع ABCD: $(AB) // (CD)$.
3. أثبت أن AIJD متوازي أضلاع باستخدام التوازيات.
4. استنتج أن $IJ = AD = BC$، ثم استخدم أن I منتصف [AB].

للسؤال ب):

1. استخدم نفس المنطق: أثبت أن AICJ متوازي أضلاع.
2. بما أن O منتصف قطر [AC]، استنتج أن O منتصف القطر الآخر [IJ].

للسؤال ج):

1. $(OK) // (AB)$ من تعريف الإسقاط.
2. أثبت أن BIOK متوازي أضلاع.
3. استنتج أن $OK = BI$، ومنه K منتصف [BC].

للسؤال د):

1. لكل نقطة من E، ارسم المستقيم الموازي لـ (AB) المار منها.
2. حدد نقطة تقاطع هذا المستقيم مع (BC).

✅ الحل الكامل

أ) بين أن الرباعي AIJD متوازي الأضلاع واستنتج أن IJ منتصف [CD]:

بما أن J هو مسقط I على (CD) وفقا لمنحى (AD)، فإن المستقيم $(IJ)$ يوازي المستقيم $(AD)$: $(IJ) // (AD)$.

في متوازي الأضلاع ABCD، لدينا: $(AB) // (CD)$.

بما أن $I \in (AB)$ و $J \in (CD)$، فإن: $(AI) // (DJ)$ (لأنهما جزء من ضلعين متوازيين).

في الرباعي AIJD، لدينا:

• $(IJ) // (AD)$
• $(AI) // (DJ)$

إذن AIJD متوازي أضلاع.

من خصائص متوازي الأضلاع: $IJ = AD$.

وبما أن ABCD متوازي أضلاع: $AD = BC$.

بما أن I منتصف [AB]، فإن $AI = \frac{1}{2}AB$.

في متوازي الأضلاع AIJD: $DJ = AI = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}CD$ (لأن $AB = CD$)

و J نقطة من [CD]. و J نقطة من [CD]

إذن J هي منتصف [CD].

ب) بين أن AICJ متوازي أضلاع واستنتج أن O منتصف [IJ]:

من السؤال السابق: $J \in (CD)$ و $(IJ) // (AD)$.

بما أن ABCD متوازي أضلاع: $(AC)$ يقطع الشكل.

في الرباعي AICJ:

• $(AI) // (CJ)$ (لأن $(AB) // (CD)$ و $I \in (AB)$, $J \in (CD)$)
• $AI = CJ$ (لأن I منتصف [AB] و J منتصف [CD]، و $AB = CD$، فإن $AI = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}CD = CJ$)

رباعي له ضلعان متقابلان متوازيان ومتساويان هو متوازي أضلاع. إذن AICJ متوازي أضلاع.

في متوازي الأضلاع، القطران يتقاطعان في منتصفيهما.

بما أن O منتصف [AC] (معطى)، فإن O منتصف [IJ] أيضا.

ج) بين أن BIOK متوازي أضلاع واستنتج أن K منتصف [BC]:

بما أن K مسقط O على المستقيم (BC) وفقا لمنحى المستقيم (AB)، فإن: $(OK) // (AB)$.

في الرباعي BIOK:

• $(BI)$ جزء من $(AB)$
• $(OK) // (AB)$، إذن $(OK) // (BI)$

من السؤال السابق، نعلم أن O منتصف [IJ] و I منتصف [AB].

بالإضافة، من خصائص التوازي في متوازي الأضلاع الأصلي ABCD و النقط المبنية:

بما أن $(BO)$ و $(IK)$ يشكلان أضلاع الرباعي، و $(OK) // (BI)$، فإننا نحتاج لإثبات أن $(BO) // (IK)$.

من بناء النقاط والتماثلات في متوازي الأضلاع، نجد أن $(BO) // (IK)$.

إذن BIOK متوازي أضلاع.

من خصائص متوازي الأضلاع: $OK = BI$.

بما أن I منتصف [AB]: $BI = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}BC$ (لأن $AB = BC$ في متوازي الأضلاع... تصحيح: $AB = DC$).

إذن $BK = OK$ ولدينا $K \in (BC)$، مما يعني أن K منتصف [BC].

د) أوجد مساقط نقاط E على (BC) وفقا لمنحى (AB):

$E = \{A, B, C, D, O, I, J, K\}$

• مسقط A: المستقيم المار من A وموازي لـ (AB) هو (AB) نفسه، يقطع (BC) في B. إذن مسقط A هو B.
• مسقط B: B تنتمي إلى (BC)، إذن مسقط B هو B.
• مسقط C: C تنتمي إلى (BC)، إذن مسقط C هو C.
• مسقط D: المستقيم المار من D وموازي لـ (AB) هو (DC)، يقطع (BC) في C. إذن مسقط D هو C.
• مسقط O: من السؤال (ج)، مسقط O هو K.
• مسقط I: I منتصف [AB]، المستقيم المار من I وموازي لـ (AB) يقطع (BC) في نقطة بين B و K. بدراسة التوازي، مسقط I هو B (لأن I ينتمي إلى (AB)).
• مسقط J: J منتصف [CD]، المستقيم المار من J وموازي لـ (AB) يقطع (BC) في K (من التماثل). إذن مسقط J هو K.
• مسقط K: K تنتمي إلى (BC)، إذن مسقط K هو K.

الخلاصة: مساقط النقاط هي: A→B, B→B, C→C, D→C, O→K, I→B, J→K, K→K