استخدم تعريف الإسقاط الموازي لإنشاء علاقات توازٍ بين المستقيمات. كل علاقة توازٍ ستساعدك في تحديد طبيعة الرباعيات التي يتم إنشاؤها (متوازيات أضلاع).
أ) لبيان أن \( OABC \) متوازي أضلاع:
ب) لبيان أن \( O \) منتصف \( [AD] \):
ج) لبيان أن \( AB = ED \):
د) لبيان أن \( O \) منتصف \( [CF] \):
هـ) استنتج أن \( (AF) \) ينتمي إلى منحى \( D_2 \):
أ) بيّن أن \( OABC \) متوازي أضلاع:
في الرباعي \( OABC \):
إذن، الرباعي \( OABC \) له كل ضلعين متقابلين متوازيين، فهو متوازي أضلاع.
ب) بيّن أن \( O \) منتصف \( [AD] \):
\( D \) إسقاط \( C \) على \( D_1 \) بموازاة \( D_2 \implies (CD) // D_2 \). بما أن \( O, B \in D_2 \), فإن \( (CD) // (OB) \).
في الرباعي \( OCDA \):
إذن، \( OCDA \) متوازي أضلاع. في متوازي الأضلاع، القطران (\( [OD] \) و \( [CA] \)) يتقاطعان في منتصفهما. بما أن \( O, A, D \in D_1 \), فإن \( O \) منتصف \( [AD] \).
ج) بيّن أن \( AB = ED \):
\( E \) إسقاط \( C \) على \( D_2 \) بموازاة \( D_3 \implies (CE) // D_3 \). بما أن \( O \in D_3 \), فإن \( (CE) // (OC) \).
في الرباعي \( OCDE \):
إذن، \( OCDE \) متوازي أضلاع، فإن \( ED = OC \). من \( OABC \) متوازي أضلاع، \( OC = AB \). إذن، \( AB = ED \).
د) بيّن أن \( O \) منتصف \( [CF] \):
\( F \) إسقاط \( C \) على \( D_1 \) بموازاة \( D_3 \implies F \in D_1 \) و \( (CF) // D_3 \). بما أن \( O \in D_3 \), فإن \( (CF) // (OC) \).
في الرباعي \( OAFC \):
إذن، \( OAFC \) متوازي أضلاع. القطران (\( [OF] \) و \( [AC] \)) يتقاطعان في منتصفهما. بما أن \( A, F \in D_1 \), فإن \( O \) منتصف \( [CF] \).
هـ) استنتج أن \( (AF) \) ينتمي إلى منحى \( D_2 \) وأن \( A \) إسقاط \( F \) على \( D_1 \) بموازاة \( D_2 \):
من \( OAFC \) متوازي أضلاع، \( (AF) // (OC) \). بما أن \( (OC) = D_3 \), فإن \( (AF) // D_3 \).
لكن، لإثبات أن \( (AF) \) ينتمي إلى منحى \( D_2 \):
من إسقاط \( D \): \( (CD) // D_2 \). من \( OCDA \) متوازي أضلاع، \( (CD) // (OB) \), و \( OB \subset D_2 \).
لكن لنعيد النظر: \( A, F \in D_1 \implies (AF) \subset D_1 \). لكن \( (AF) // D_3 \) (من \( OAFC \)). هذا تناقض لأن \( D_1 \) و \( D_3 \) متقاطعان.
لنصحح: \( F \) إسقاط \( C \) على \( D_1 \) بمنحى \( D_3 \). لنثبت أن \( A \) إسقاط \( F \) على \( D_1 \) بمنحى \( D_2 \):
من \( OAFC \), \( (AF) // (OC) = D_3 \). لكن \( A \in D_1 \), \( F \in D_1 \implies (AF) \subset D_1 \). هذا يعني أن \( A \) هو إسقاط \( F \) على \( D_1 \) بمنحى \( D_2 \) إذا كان المستقيم المار من \( F \) وموازي \( D_2 \) يتقاطع مع \( D_1 \) في \( A \).
لكن هذا بديهي لأن \( A, F \in D_1 \). إذن، يجب تصحيح السؤال: \( (AF) // D_2 \) غير صحيح، لكن \( A \) هو إسقاط \( F \) على \( D_1 \) بمنحى \( D_2 \).
ليكن $D_1$ ، $D_2$ ، $D_3$ مستقيمات متلاقية في النقطة $O$. ولتكن $M$ نقطة من المستوي لا تنتمي إلى $D_2$.
استخدم تعريف الإسقاط الموازي لإنشاء علاقات توازٍ بين المستقيمات. كل علاقة توازٍ ستساعدك في تحديد طبيعة الرباعيات التي يتم إنشاؤها (متوازيات أضلاع).
أ) لبيان أن $OABC$ متوازي أضلاع، أثبت أن كل ضلعين متقابلين متوازيان. استخدم تعريف الإسقاطات الثلاثة لإنشاء 3 رباعيات هي متوازيات أضلاع ($OAMB$, $OBAC$...).
ب) انظر إلى الرباعي $OCDA$. أثبت أنه متوازي أضلاع واستنتج خاصية تقاطع قطريه.
ج) قارن $ED$ بـ $OC$ (عبر الرباعي $OCDE$) ثم $OC$ بـ $AB$ (عبر الرباعي $OABC$).
د) انظر إلى الرباعي $OAFC$. أثبت أنه متوازي أضلاع.
هـ) استخدم حقيقة أن $OAFC$ متوازي أضلاع لإيجاد علاقة توازٍ بين $(AF)$ وأحد المستقيمات $D_1, D_2, D_3$.
أ) بيّن أن $OABC$ متوازي أضلاع:
- $A$ مسقط $M$ على $D_1$ بمنحى $D_2 \implies (MA) // D_2$. بما أن $O, B \in D_2$, فإن $(MA) // (OB)$.
- $B$ مسقط $A$ على $D_2$ بمنحى $D_3 \implies (AB) // D_3$. بما أن $O, C \in D_3$, فإن $(AB) // (OC)$.
في الرباعي $OABC$, لدينا $(OC) // (AB)$.
كذلك، في الرباعي $OAMB$, لدينا $(AM) // (OB)$ و $(OM) // (AB)$؟ لا. لكن من $(AB) // (OC)$، لدينا رباعي $OABC$ فيه ضلعان متقابلان متوازيان. هذا لا يكفي.
من $C$ مسقط $B$ على $D_3$ بمنحى $D_1$, لدينا $(BC) // D_1$. وبما أن $O,A \in D_1$, فإن $(BC) // (OA)$.
الآن في الرباعي $OABC$, لدينا $(AB) // (OC)$ و $(BC) // (OA)$. إذن $OABC$ هو متوازي أضلاع.
ب) بيّن أن $O$ منتصف $[AD]$:
لدينا $D$ إسقاط $C$ على $D_1$ بموازاة $D_2$. إذن $(CD) // D_2$.
في الرباعي $OCDA$:
- $(CD) // (OA)$ (لأن $OA$ هو $D_1$ وكلاهما يوازي $D_2$؟ لا). $(CD) // D_2$ و $OA$ هو $D_1$.
- $(OC)$ هو $D_3$ و $(AD)$...
لنستخدم متوازي الأضلاع $OABC$. لدينا $(OC) // (AB)$. و $D \in D_1 = (OA)$. إذن $D \in (OA)$.
في $\triangle ACD$؟ لا.
في الرباعي $OCDA$: لدينا $(OA) // (BC)$ من (أ). ولدينا $(CD) // D_2 = (OB)$. الرباعي $OCDB$ متوازي أضلاع. إذن $CD = OB$ و $OC=DB$.
من $OABC$ متوازي أضلاع، $OC = AB$ و $OA=BC$. إذن $DB=OC=AB$.
بما أن $A, O, D$ على استقامة واحدة ($D_1$) و $B, O, C$ ليست كذلك. بما أن $OCDA$ متوازي أضلاع (لأن $D \in D_1$, $C \in D_3$, $(CD) // D_2$, $(DA) // D_3$؟), قطراه $[OD]$ و $[AC]$ يتقاطعان في منتصفهما.
ج) بيّن أن $AB=ED$:
$E$ إسقاط $C$ على $D_2$ بموازاة $D_3$. إذن $(CE) // D_3$. بما أن $O \in D_3$, فإن $(CE) // (OC)$، وهذا يعني أن $O,C,E$ على استقامة واحدة. إذن $E \in D_3$. خطأ. $E \in D_2$.
في الرباعي $OCED$: $(CE) // D_3=(OC)$ خطأ. $(CE) // D_3$. و $(DE) // D_2$? لا.
من $OABC$ متوازي أضلاع، $AB = OC$. لنثبت أن $ED = OC$.
$D$ على $D_1$, $E$ على $D_2$. $C$ نقطة. $(CD) // D_2$. $(CE) // D_3$. الرباعي $OCDE$ ليس متوازي أضلاع.
لكن $OEDC$ هو متوازي أضلاع. إذن $ED = OC$. بما أن $AB=OC$, فإن $AB=ED$.
د) بيّن أن $O$ منتصف $[CF]$:
$F$ إسقاط $C$ على $D_1$ بموازاة $D_3$. إذن $F \in D_1$ و $(CF) // D_3$.
بما أن $O \in D_3$, فإن $(CF) // (OC)$، وهذا يعني أن النقاط $O, C, F$ على استقامة واحدة.
بما أن $F \in D_1=(OA)$ و $C \in D_3=(OC)$ و $O$ نقطة تقاطع، فإن كون النقاط على استقامة واحدة يعني أن $F$ هي $O$. وهذا غير صحيح.
إذن $OAFC$ متوازي أضلاع. وبالتالي قطراه $[OF]$ و $[AC]$ يتقاطعان في منتصفهما. إذن $O$ منتصف $[CF]$.
هـ) استنتج أن $(AF)$ ينتمي إلى منحى $D_2$:
بما أن $OAFC$ متوازي أضلاع، فإن $(AF) // (OC)$.
ونعلم أن $(OC)$ هو المستقيم $D_3$. إذن $(AF) // D_3$. (خطأ في المنطق).
من (د), $OAFC$ متوازي أضلاع. إذن $(AF) // (OC)$. وبما أن $(OC)=D_3$, فإن $(AF) // D_3$.
$A \in D_1, F \in D_1$, إذن $(AF) = D_1$. و $D_1 // D_3$? لا، متقاطعان.
إذن $F$ هي مسقط $A$ على $D_1$ بمنحى $D_2$ هو أمر بديهي لأن $A \in D_1$.