تمرين حول الإسقاط الموازي

تمرين 3: المساعدة

💡 مؤشر

تذكر تعريف الإسقاط الموازي:

📝 الطريقة

1. حالة تساوي المسقطين:

  1. ليكن \( P \) هو المسقط المشترك لـ \( M \) و \( N \).
  2. حسب التعريف، المستقيم \( (MP) \) يوازي \( D' \) والمستقيم \( (NP) \) يوازي \( D' \).
  3. بما أن مستقيمين يمران بنفس النقطة \( P \) ويوازيان نفس المستقيم \( D' \)، فإنهما منطبقان. إذن المستقيم \( (MP) \) هو نفسه المستقيم \( (NP) \).
  4. استنتج من ذلك أن النقاط \( M, N, P \) على استقامة واحدة، وبالتالي فإن المستقيم \( (MN) \) يوازي \( D' \).

2. حالة اختلاف المسقطين:

  1. هذه الحالة هي ببساطة نفي الحالة الأولى. إذا لم تكن النقاط على مستقيم يوازي \( D' \)، فهل يمكن أن يكون لهما نفس المسقط؟

3. إثبات التوازي:

  1. مسقط \( M \) هو \( M' \). حسب التعريف، ما هي علاقة \( (MM') \) بـ \( D' \)?
  2. مسقط \( N \) هو \( N' \). حسب التعريف، ما هي علاقة \( (NN') \) بـ \( D' \)?
  3. لديك الآن علاقتان: \( (MM') // D' \) و \( (NN') // D' \). استخدم خاصية "مستقيمان يوازيان مستقيما ثالثا هما متوازيان" (خاصية التعدي في التوازي).

✅ الحل الكامل

1) حالة يكون فيها مسقط \( M \) هو نفسه مسقط \( N \):

يكون لنقطتي \( M \) و \( N \) نفس المسقط على \( D \) بموازاة \( D' \) إذا وفقط إذا كان المستقيم الذي يمر بهما، \( (MN) \)، موازياً لمستقيم الإسقاط \( D' \).

البرهان: ليكن \( P \) مسقط \( M \). إذن \( (MP) // D' \). إذا كان \( P \) هو أيضاً مسقط \( N \)، فإن \( (NP) // D' \). بما أن المستقيمين \( (MP) \) و \( (NP) \) يمران من نفس النقطة \( P \) ويوازيان نفس المستقيم \( D' \)، فإنهما منطبقان. وبالتالي، النقاط \( M, N, P \) على استقامة واحدة، والمستقيم \( (MN) \) يوازي \( D' \).

2) حالة يكون فيها مسقطا \( M \) و \( N \) مختلفين:

بناءً على ما سبق، يكون لـ \( M \) و \( N \) مسقطان مختلفان إذا وفقط إذا كان المستقيم \( (MN) \) غير موازٍ للمستقيم \( D' \).

3) إثبات أن \( (MM') // (NN') \):

لدينا:

بما أن \( (MM') \) يوازي \( D' \) و \( (NN') \) يوازي \( D' \)، فإن المستقيمين \( (MM') \) و \( (NN') \) يوازيان نفس المستقيم الثالث \( D' \).

إذن، حسب خاصية التعدي في التوازي، نستنتج أن \( (MM') // (NN') \).

الإسقاط الموازي

دفواراتي
الإسقاط الموازي
تمرين 3

\(D\) و \(D'\) مستقيمان متقاطعان في \(O\). نعتبر الإسقاط على \(D\) بموازاة \(D'\). \(M\) و \(N\) نقطتان مختلفتان من المستوي.

  1. في أيّ حالة يكون اسقاط \(M\) هو إسقاط \(N\)؟
  2. متى يكون لـ \(M\) و \(N\) مسقطان مختلفان؟
  3. في حالة يكون مسقط \(M\) هو \(M'\) ومسقط \(N\) هو \(N'\), و \(M'\) و \(N'\) مختلفان, بيّن أنّ المستقيمان \((MM')\) و \((NN')\) متوازيان.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

تذكر تعريف الإسقاط الموازي:

  • مسقط النقطة \(A\) على المستقيم \(D\) بموازاة \(D'\) هو نقطة التقاطع \(A'\) بين المستقيم \(D\) والمستقيم المار من \(A\) والموازي لـ \(D'\).
  • ماذا يعني هذا بالنسبة للمستقيم \((AA')\)? ما هي علاقته بالمستقيم \(D'\)؟
  • إذا كان لنقطتين \(M\) و \(N\) نفس المسقط \(P\)، فماذا يمكنك أن تقول عن المستقيمين \((MP)\) و \((NP)\) وعلاقتهما بـ \(D'\)؟

📝 الطريقة

1. حالة تساوي المسقطين:

  • ليكن \(P\) هو المسقط المشترك لـ \(M\) و \(N\).
  • حسب التعريف، المستقيم \((MP)\) يوازي \(D'\) والمستقيم \((NP)\) يوازي \(D'\).
  • بما أن مستقيمين يمران بنفس النقطة \(P\) ويوازيان نفس المستقيم \(D'\), فإنهما منطبقان. إذن المستقيم \((MP)\) هو نفسه المستقيم \((NP)\).
  • استنتج من ذلك أن النقاط \(M, N, P\) على استقامة واحدة، وبالتالي فإن المستقيم \((MN)\) يوازي \(D'\).

2. حالة اختلاف المسقطين:

  • هذه الحالة هي ببساطة نفي الحالة الأولى. إذا لم تكن النقاط على مستقيم يوازي \(D'\), فهل يمكن أن يكون لهما نفس المسقط؟

3. إثبات التوازي:

  • مسقط \(M\) هو \(M'\). حسب التعريف، ما هي علاقة \((MM')\) بـ \(D'\)?
  • مسقط \(N\) هو \(N'\). حسب التعريف، ما هي علاقة \((NN')\) بـ \(D'\)?
  • لديك الآن علاقتان: \((MM') // D'\) و \((NN') // D'\). استخدم خاصية "مستقيمان يوازيان مستقيما ثالثا هما متوازيان" (خاصية التعدي في التوازي).

✅ الحل الكامل

1) حالة يكون فيها مسقط \(M\) هو نفسه مسقط \(N\):

يكون لنقطتي \(M\) و \(N\) نفس المسقط على \(D\) بموازاة \(D'\) إذا وفقط إذا كان المستقيم الذي يمر بهما، \((MN)\)، موازياً لمستقيم الإسقاط \(D'\).
البرهان: ليكن \(P\) مسقط \(M\). إذن \((MP) // D'\). إذا كان \(P\) هو أيضاً مسقط \(N\), فإن \((NP) // D'\). بما أن المستقيمين \((MP)\) و \((NP)\) يمران من نفس النقطة \(P\) ويوازيان نفس المستقيم \(D'\), فإنهما منطبقان. وبالتالي، النقاط \(M, N, P\) على استقامة واحدة، والمستقيم \((MN)\) يوازي \(D'\).

2) حالة يكون فيها مسقطا \(M\) و \(N\) مختلفين:

بناءً على ما سبق، يكون لـ \(M\) و \(N\) مسقطان مختلفان إذا وفقط إذا كان المستقيم \((MN)\) **غير موازٍ** للمستقيم \(D'\).

3) إثبات أن \((MM') // (NN')\):

لدينا:
- \(M'\) هو مسقط \(M\) على \(D\) بموازاة \(D'\). حسب تعريف الإسقاط، هذا يعني أن المستقيم **\((MM') // D'\)**.
- \(N'\) هو مسقط \(N\) على \(D\) بموازاة \(D'\). حسب تعريف الإسقاط، هذا يعني أن المستقيم **\((NN') // D'\)**.
بما أن \((MM')\) يوازي \(D'\) و \((NN')\) يوازي \(D'\), فإن المستقيمين \((MM')\) و \((NN')\) يوازيان نفس المستقيم الثالث \(D'\).
إذن، حسب خاصية التعدي في التوازي، نستنتج أن **\((MM') // (NN')\)**.