تمرين حول الإسقاط في متوازي الأضلاع

تمرين 1: المساعدة

💡 مؤشر

1) ما معنى أن \( E \) مسقط \( B \) وفقا لمنحى \( (AC) \)? هذا يعني أن \( (BE) // (AC) \). انظر إلى الرباعي \( ABCE \). ما هي طبيعته؟

2) طبق نفس المنطق على النقطة \( F \). ما هي طبيعة الرباعي \( ABDF \)? استخدم علاقة شال للأطوال على مستقيم واحد.

📝 الطريقة

للسؤال 1:

  1. من تعريف الإسقاط، لدينا \( (BE) // (AC) \).
  2. في الرباعي \( ABCE \), بما أن \( ABCD \) متوازي أضلاع، فإن \( (AB) // (CE) \) (لأن \( (CE) \) هو نفسه \( (CD) \)).
  3. رباعي له كل ضلعين متقابلين متوازيين هو متوازي أضلاع. استنتج علاقة تساوي بين \( CE \) و \( AB \).
  4. استخدم خاصية \( AB = CD \) في متوازي الأضلاع \( ABCD \) لتثبت أن \( CE = CD \).

للسؤال 2:

  1. من تعريف الإسقاط، لدينا \( (AF) // (BD) \).
  2. في الرباعي \( ABDF \), لدينا \( (AB) // (DF) \).
  3. إذن \( ABDF \) متوازي أضلاع، ومنه \( DF = AB = CD \).
  4. احسب الطول \( EF \) كمجموع أطوال القطع \( ED + DF \) (أو \( EC + CD + DF \)).

✅ الحل الكامل

1) بيّن أن \( C \) هي منتصف القطعة \( [DE] \):

بما أن \( E \) هي مسقط \( B \) على \( (CD) \) وفقا لمنحى \( (AC) \)، فإن المستقيم \( (BE) \) يوازي المستقيم \( (AC) \).

في الرباعي \( ABCE \)، لدينا:

إذن الرباعي \( ABCE \) هو متوازي أضلاع.

من خصائص متوازي الأضلاع، فإن \( CE = AB \).

وبما أن \( ABCD \) متوازي أضلاع، فإن \( AB = CD \).

نستنتج أن \( CE = CD \). بما أن النقط \( D, C, E \) على استقامة واحدة و \( C \) تبعد نفس المسافة عن \( D \) و \( E \)، فإن \( C \) هي منتصف \( [DE] \).

2) بيّن أن \( EF = 3 \cdot CD \):

بما أن \( F \) هي مسقط \( A \) على \( (CD) \) وفقا لمنحى \( (BD) \)، فإن المستقيم \( (AF) \) يوازي المستقيم \( (BD) \).

في الرباعي \( ABDF \)، لدينا:

إذن الرباعي \( ABDF \) هو متوازي أضلاع.

ومنه فإن \( DF = AB \). وبما أن \( AB = CD \)، فإن \( DF = CD \).

النقاط \( F, D, C, E \) كلها على نفس المستقيم. لنحسب الطول \( EF \):

\( EF = EC + CF \)

\( EF = EC + (CD + DF) \)

بما أن \( EC = CD \) (من السؤال 1) و \( DF = CD \) (من برهاننا)، نعوض:

\( EF = CD + CD + CD = 3 \cdot CD \).

وهو المطلوب إثباته.

تمرين حول الإسقاط في متوازي الأضلاع

إعداد الأستاذ: دفواراتي
الإسقاط ومتوازي الأضلاع
تمرين 1

$ABCD$ متوازي أضلاع.

  1. ابن النقطة $E$ مسقط $B$ على المستقيم $(CD)$ وفقا لمنحى المستقيم $(AC)$. بيّن أن $C$ هي منتصف القطعة $[DE]$.
  2. ابن النقطة $F$ مسقط $A$ على المستقيم $(CD)$ وفقا لمنحى المستقيم $(BD)$. بيّن أن $EF = 3 \cdot CD$.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

1) ما معنى أن $E$ مسقط $B$ وفقا لمنحى $(AC)$؟ هذا يعني أن $(BE) // (AC)$. انظر إلى الرباعي $ABCE$. ما هي طبيعته؟
2) طبق نفس المنطق على النقطة $F$. ما هي طبيعة الرباعي $ABDF$؟ استخدم علاقة شال للأطوال على مستقيم واحد.

📝 الطريقة

للسؤال 1:
1. من تعريف الإسقاط، لدينا $(BE) // (AC)$.
2. في الرباعي $ABCE$, بما أن $ABCD$ متوازي أضلاع، فإن $(AB) // (CE)$ (لأن $(CE)$ هو نفسه $(CD)$).
3. رباعي له كل ضلعين متقابلين متوازيين هو متوازي أضلاع. استنتج علاقة تساوي بين $CE$ و $AB$.
4. استخدم خاصية $AB=CD$ في متوازي الأضلاع $ABCD$ لتثبت أن $CE = CD$.

للسؤال 2:
1. من تعريف الإسقاط، لدينا $(AF) // (BD)$.
2. في الرباعي $ABDF$, لدينا $(AB) // (DF)$.
3. إذن $ABDF$ متوازي أضلاع، ومنه $DF=AB=CD$.
4. احسب الطول $EF$ ك مجموع أطوال القطع $ED+DF$ (أو $EC+CD+DF$).

✅ الحل الكامل

1) بيّن أن $C$ هي منتصف القطعة $[DE]$:
بما أن $E$ هي مسقط $B$ على $(CD)$ وفقا لمنحى $(AC)$، فإن المستقيم $(BE)$ يوازي المستقيم $(AC)$.
في الرباعي $ABCE$، لدينا:
- $(AB) // (CE)$ (لأن $ABCD$ متوازي أضلاع و $E \in (CD)$).
- $(BE) // (AC)$ (من تعريف الإسقاط).
إذن الرباعي $ABCE$ هو متوازي أضلاع.
من خصائص متوازي الأضلاع، فإن $CE = AB$.
وبما أن $ABCD$ متوازي أضلاع، فإن $AB = CD$.
نستنتج أن $CE = CD$. بما أن النقط $D, C, E$ على استقامة واحدة و $C$ تبعد نفس المسافة عن $D$ و $E$، فإن $C$ هي منتصف $[DE]$.

2) بيّن أن $EF = 3 \cdot CD$:
بما أن $F$ هي مسقط $A$ على $(CD)$ وفقا لمنحى $(BD)$، فإن المستقيم $(AF)$ يوازي المستقيم $(BD)$.
في الرباعي $ABDF$، لدينا:
- $(AB) // (DF)$ (لأن $ABCD$ متوازي أضلاع و $F \in (CD)$).
- $(AF) // (BD)$ (من تعريف الإسقاط).
إذن الرباعي $ABDF$ هو متوازي أضلاع.
ومنه فإن $DF = AB$. وبما أن $AB = CD$، فإن $DF = CD$.
النقاط $F, D, C, E$ كلها على نفس المستقيم. لنحسب الطول $EF$:
$EF = EC + CF$
$EF = EC + (CD + DF)$
بما أن $EC = CD$ (من السؤال 1) و $DF = CD$ (من برهاننا)، نعوض:
$EF = CD + CD + CD = 3 \cdot CD$.
وهو المطلوب إثباته.