تمارين المعالم والإحداثيات

✅ الحل الكامل

1) إثبات $C$ منتصف $[AB]$:

منتصف $[AB]$ = $(\frac{-2+2}{2}, \frac{\frac{5}{2}+5}{2}) = (0, \frac{\frac{5}{2}+\frac{10}{2}}{2}) = (0, \frac{15}{4})$

إذن $C(0; \frac{15}{4})$ هي منتصف $[AB]$ ✓

2) إحداثيات $E$:

بما أن $E$ مناظرة $B$ بالنسبة لـ $D$، فإن:

$D = \frac{B + E}{2}$ ← $E = 2D - B$

$E = 2(\frac{5}{2}, \frac{5}{2}) - (2, 5) = (5, 5) - (2, 5) = $ (3, 0)

3) النقطة $M$:

$A(-2; \frac{5}{2})$ و $D(\frac{5}{2}; \frac{5}{2})$ لهما نفس الترتيبة، إذن $(AD)$ هو المستقيم الموازي لمحور الفواصل ذو الترتيبة $\frac{5}{2}$

نحسب منتصف $[OB]$ حيث $O(0;0)$ و $B(2;5)$ :

$\left(\frac{0+2}{2}; \frac{0+5}{2}\right) = \left(1; \frac{5}{2}\right)$

ترتيبة هذه النقطة تساوي $\frac{5}{2}$، إذن هي تقع على $(AD)$

وهي تقع على $[OB]$ لأنّها منتصفه، إذن هي نقطة تقاطع $(OB)$ و $[AD]$

إذن $M = $ $(1, \frac{5}{2})$ وهي منتصف $[OB]$ ✓

التحقق أن $M$ منتصف $[OB]$:

منتصف $[OB]$ = $(\frac{0+2}{2}, \frac{0+5}{2}) = (1, \frac{5}{2}) = M$ ✓

حساب $MD$:

بما أن $M(1, \frac{5}{2})$ و $D(\frac{5}{2}, \frac{5}{2})$ على نفس المستقيم الموازي لمحور الفواصل:

$MD = |\frac{5}{2} - 1| = \frac{3}{2}$

4) الحسابات والاستنتاجات:

$AD = |\frac{5}{2} - (-2)| = \frac{9}{2}$

$AM = |1 - (-2)| = 3$

مركز ثقل المثلث $ABE$:

إحداثيات مركز الثقل = $(\frac{-2+2+3}{3}, \frac{\frac{5}{2}+5+0}{3}) = (1, \frac{5}{2}) = M$

إذن $M$ هي مركز ثقل المثلث $ABE$ ✓

الاستقامة:

بما أن $M$ مركز ثقل المثلث $ABE$، فهي تقع على كل متوسط من متوسطات المثلث

$[EC]$ هو متوسط المثلث (لأن $C$ منتصف $[AB]$)

إذن النقاط $E$، $M$، $C$ على استقامة واحدة ✓

✅ الحل الكامل

النظام الإحداثي:

$I(0,0)$، $B(-3,0)$، $C(3,0)$، $A(0,4)$

1) حساب $AI$:

$A(0;4)$ و $I(0;0)$ لهما نفس الفاصلة، إذن $[AI]$ موازية لمحور التراتيب:

$AI = \left|y_A - y_I\right| = \left|4 - 0\right| = 4$ سم

2) النقطة $D$ وإثبات $BD = DC$:

بما أن $D$ على $(AI)$ (محور التراتيب) و $ID = 6$، فإن $D(0;6)$ أو $D(0;-6)$

نأخذ $D(0;6)$ (فوق $A$)

البرهان بالتناظر (الدرس 6):

$B(-3;0)$ و $C(3;0)$ لهما نفس الترتيبة وفاصلتان متقابلتان، إذن هما متناظرتان بالنسبة إلى محور التراتيب $(IA)$

النقطة $D$ تقع على $(IA)$، أي على محور التناظر، إذن مناظرتها هي $D$ نفسها

والتناظر المحوري يحافظ على الأبعاد، إذن صورة القطعة $[DB]$ هي $[DC]$

إذن $BD = DC$ ✓

ملاحظة: القطعتان $[DB]$ و $[DC]$ مائلتان، فلا توجد صيغة لحساب طولهما في هذا المستوى. لكنّ التناظر يكفي لإثبات تساويهما دون أيّ حساب.

3) الشكل $DJK$:

المستقيم الموازي لـ $(BC)$ والمار من $A$ $y = 4$

بسبب التناظر حول $(AI)$، إذا كان $J$ على $(BD)$ و $K$ على $(DC)$

فإن $DJ = DK$ (التناظر يحفظ المسافات)

إذن الشكل $DJK$ له ضلعان متساويان

4) الرباعيات:

أ) الرباعي $AMBC$ متوازي أضلاع:

$M$ على $(AJ)$، و $(AJ)$ هو الموازي لـ $(BC)$ المار من $A$، إذن $(AM) \parallel (CB)$

$M$ على الموازي لـ $(AC)$ المار من $B$، إذن $(MB) \parallel (AC)$

الضلعان المتقابلان متوازيان مثنى مثنى، إذن $AMBC$ متوازي أضلاع ✓

ب) الرباعي $ABNC$ معيّن:

أوّلا، إثبات أنّه متوازي أضلاع بالتناظر:

$(AI)$ محور تناظر الشكل: التناظر بالنسبة إليه يحوّل $B$ إلى $C$ ويترك $A$ ثابتة

إذن صورة المستقيم $(AC)$ هي $(AB)$

النقطة $N$ تقع على المحور $(AI)$، إذن صورتها هي $N$ نفسها

المستقيم $(BN)$ موازٍ لـ $(AC)$ بالإنشاء، وصورته هي المستقيم المار من $C$ والموازي لـ $(AB)$، وهو يمر بـ $N$

إذن $(CN) \parallel (AB)$، ومع $(BN) \parallel (AC)$ نستنتج أنّ $ABNC$ متوازي أضلاع

ثانيا، إحداثيات $N$ بالقطرين (الدرس 7):

قطرا $ABNC$ هما $[AN]$ و $[BC]$، ولهما نفس المنتصف

منتصف $[BC]$ هو $\left(\frac{-3+3}{2}; \frac{0+0}{2}\right) = (0; 0) = I$

إذن $I$ منتصف $[AN]$، أي $N$ مناظرة $A(0;4)$ بالنسبة إلى $I$ :

$x_N = 2(0) - 0 = 0$ و $y_N = 2(0) - 4 = -4$، إذن $N(0; -4)$

ثالثا، لماذا معيّن :

القطر $[AN]$ موازٍ لمحور التراتيب (نفس الفاصلة $0$) والقطر $[BC]$ موازٍ لمحور الفواصل (نفس الترتيبة $0$)

مستقيم موازٍ لمحور التراتيب ومستقيم موازٍ لمحور الفواصل متعامدان دائما

متوازي أضلاع قطراه متعامدان هو معيّن، إذن $ABNC$ معيّن ✓

5) الرباعي $DMNR$:

أ) إحداثيات $M$ بالقطرين:

من السؤال 4أ، $AMBC$ متوازي أضلاع، إذن قطراه $[AB]$ و $[MC]$ لهما نفس المنتصف

منتصف $[AB]$ هو $\left(\frac{0+(-3)}{2}; \frac{4+0}{2}\right) = \left(-\frac{3}{2}; 2\right)$

إذن منتصف $[MC]$ يساوي $\left(-\frac{3}{2}; 2\right)$ :

$x_M = 2\left(-\frac{3}{2}\right) - 3 = -6$ و $y_M = 2(2) - 0 = 4$

إذن $M(-6; 4)$

ب) إحداثيات $R$ بالتناظر:

التناظر بالنسبة إلى المحور $(AI)$ يحوّل $B$ إلى $C$ و $N$ إلى $N$، إذن يحوّل $(BN)$ إلى $(CN)$

وهو يحوّل $(AJ)$ إلى نفسه لأنّ $(AJ)$ موازٍ لمحور الفواصل والمحور $(AI)$ موازٍ لمحور التراتيب

إذن صورة $M = (BN) \cap (AJ)$ هي $R = (CN) \cap (AJ)$

مناظرة $M(-6; 4)$ بالنسبة إلى محور التراتيب هي $R(6; 4)$

ج) القطران متعامدان:

لدينا $D(0; 6)$، $M(-6; 4)$، $N(0; -4)$، $R(6; 4)$

القطر $[DN]$ : $x_D = x_N = 0$، إذن هو موازٍ لمحور التراتيب، وطوله $DN = \left|6 - (-4)\right| = 10$

القطر $[MR]$ : $y_M = y_R = 4$، إذن هو موازٍ لمحور الفواصل، وطوله $MR = \left|6 - (-6)\right| = 12$

موازٍ لمحور التراتيب وموازٍ لمحور الفواصل : القطران متعامدان ✓

د) المساحة:

في رباعي قطراه متعامدان، المساحة تساوي نصف جداء القطرين:

$$S_{DMNR} = \frac{1}{2} \times DN \times MR = \frac{1}{2} \times 10 \times 12 = 60$$

إذن مساحة $DMNR$ تساوي $60$ سم²

لماذا لم نحسب المحيط ؟ أضلاع $DMNR$ الأربعة مائلة (لا نفس الفاصلة ولا نفس الترتيبة)، ولا توجد صيغة لحساب طول قطعة مائلة في برنامج هذه السنة. أمّا القطران فهما موازيان للمحورين، ولذلك أمكن حسابهما.