التمرين 5 والتمرين 6
ليكن $(O;I;J)$ معلماً متعامداً للمستوى بحيث $OJ = OI$ والنقطة $B(4;5)$
💡 الفكرة الأساسية:
• مستقيم موازٍ لـ $(OI)$ معناه مستقيم أفقي (جميع نقاطه لها نفس الإرتفاع $y$)
• نقطة على $(OJ)$ معناها نقطة أفصولها $x = 0$
• المسافة بين نقطتين على نفس المستقيم الأفقي = فرق الأفاصيل
💡 للسؤال 2:
• بما أن $OI = OJ$ والمعين متعامد، إذن $I(1;0)$ و $J(0;1)$
• المستقيم $(IJ)$ يربط بين هاتين النقطتين
• المستقيم $(AB)$ موازٍ لـ $(OI)$ ويمر بـ $E$
💡 للسؤال 3:
• المسافة $AJ$ تُحسب باستخدام فروق الإحداثيات
💡 للسؤال 5:
• في متوازي الأضلاع: القطران يتقاطعان في منتصفهما المشترك
💡 للسؤال 6:
• المسقط وفق منحى $(OI)$ يعني خط أفقي من $B$ إلى $(FJ)$
📍 السؤال 1أ: تحديد إحداثيات $E$
المعطيات: $B(4; 5)$
الخطوة 1: المستقيم المار من $B$ موازٍ لـ $(OI)$
$(OI)$ مستقيم أفقي ⟹ المستقيم الموازي له أيضاً أفقي
جميع نقاط هذا المستقيم لها: $y = y_B = 5$
الخطوة 2: $E$ موجودة على $(OJ)$
$(OJ)$ هو المحور الرأسي ⟹ جميع نقاطه لها: $x = 0$
الخلاصة:
$E(0; 5)$ ✓
📍 السؤال 1ب: حساب $BE$
$B(4; 5)$ و $E(0; 5)$
النقطتان على نفس الخط الأفقي ($y_B = y_E = 5$)
$$BE = |x_B - x_E| = |4 - 0| = 4$$
إذن: $BE = 4$ ✓
📍 السؤال 2أ: إثبات $AE = 4$
تحديد النقاط $I$ و $J$:
بما أن $OI = OJ$ والمعين متعامد:
$I(1; 0)$ و $J(0; 1)$
تحديد $A$ بالتناظر (الدرس 6):
$A$ مناظرة $B(4; 5)$ بالنسبة إلى محور التراتيب $(OJ)$
التناظر بالنسبة إلى $(OJ)$ يحافظ على الترتيبة ويغيّر إشارة الفاصلة:
$x_A = -x_B = -4$ و $y_A = y_B = 5$
بالتالي: $A(-4; 5)$
حساب $AE$:
$$AE = |x_E - x_A| = |0 - (-4)| = 4$$
إذن: $AE = 4$ ✓
📍 السؤال 2ب: إحداثيات $A$
من الحسابات السابقة: $A(-4; 5)$
التحقق: $x_A = -4 < 0$ ✓
الجواب: $A(-4; 5)$
📍 السؤال 3: حساب $AJ$
$A(-4; 5)$ و $J(0; 1)$
الفرق الأفقي: $|x_J - x_A| = |0 - (-4)| = 4$
الفرق الرأسي: $|y_A - y_J| = |5 - 1| = 4$
$A(-4; 5)$ و $B(4; 5)$ لهما نفس الترتيبة $5$، إذن $[AB]$ موازية لمحور الفواصل
في هذه الحالة فقط توجد صيغة (الدرس 4):
$$AB = \left|x_B - x_A\right| = \left|4 - (-4)\right| = 8$$
إذن: $AB = 8$
تذكير (الدرس 4): لا نحسب البعد إلّا إذا كانت القطعة موازية لأحد المحورين. القطعة $[AJ]$ مائلة، فلا توجد صيغة لطولها في البرنامج.
📍 السؤال 5: تحديد $F$ حيث $AJBF$ متوازي أضلاع
خاصية متوازي الأضلاع:
القطران $[AB]$ و $[JF]$ يتقاطعان في منتصفهما المشترك
منتصف $[AB]$:
$$M = \left(\frac{x_A + x_B}{2}; \frac{y_A + y_B}{2}\right)$$
$$M = \left(\frac{-4 + 4}{2}; \frac{5 + 5}{2}\right) = (0; 5)$$
منتصف $[JF]$ يجب أن يساوي $M$:
$$\left(\frac{x_J + x_F}{2}; \frac{y_J + y_F}{2}\right) = (0; 5)$$
$$\frac{0 + x_F}{2} = 0 \implies x_F = 0$$
$$\frac{1 + y_F}{2} = 5 \implies 1 + y_F = 10 \implies y_F = 9$$
إذن: $F(0; 9)$ ✓
📍 السؤال 6أ: حساب $JH$
فهم المسقط:
$H$ مسقط $B$ على $(FJ)$ وفق منحى $(OI)$
منحى $(OI)$ أفقي ⟹ $BH$ أفقي
إذن: $y_H = y_B = 5$
موقع $H$:
$H$ على المستقيم $(FJ)$
$F(0; 9)$ و $J(0; 1)$ ⟹ $(FJ)$ هو المحور الرأسي
إذن: $x_H = 0$
بالتالي: $H(0; 5)$
حساب $JH$:
$$JH = |y_H - y_J| = |5 - 1| = 4$$
إذن: $JH = 4$ ✓
📍 السؤال 6ب: إحداثيات $H$
من الحسابات السابقة: $H(0; 5)$
ملاحظة مهمة: $H = E$ !
📍 السؤال 6ت: إثبات $H = E$ ثم مساحة $BHJ$
إثبات $H = E$:
وجدنا $E(0; 5)$ في السؤال 1 و $H(0; 5)$ في السؤال 6ب
النقطتان لهما نفس الفاصلة ونفس الترتيبة
إذن $H = E$
حساب مساحة $BHJ$:
النقاط: $B(4; 5)$، $H(0; 5)$، $J(0; 1)$
القاعدة $[BH]$ موازية لمحور الفواصل، طولها = $\left|4 - 0\right| = 4$
الارتفاع من $J$ إلى $(BH)$ هو المسافة بين المستقيمين $y = 5$ و $y = 1$: $\left|5 - 1\right| = 4$
$$S_{BHJ} = \frac{1}{2} \times 4 \times 4 = 8$$
إذن مساحة $BHJ$ تساوي $8$ وحدة مساحة
1أ) إحداثيات $E$:
$E(0; 5)$
1ب) المسافة $BE$:
$BE = 4$
2أ) إثبات $AE = 4$:
$A$ مناظرة $B(4; 5)$ بالنسبة إلى $(OJ)$ : الترتيبة محفوظة والفاصلة تغيّر إشارتها
⟹ $A(-4; 5)$
$A$ و $E(0; 5)$ لهما نفس الترتيبة، إذن $[AE]$ موازية لمحور الفواصل :
$AE = \left|0-(-4)\right| = 4$ ✓
2ب) إحداثيات $A$:
$A(-4; 5)$ (حيث $x_A = -4 < 0$ ✓)
3) المسافة $AB$:
$A(-4; 5)$ و $B(4; 5)$ لهما نفس الترتيبة ⟹ $[AB]$ موازية لمحور الفواصل
$AB = \left|4-(-4)\right| = 8$
4) إحداثيات $F$:
منتصف $[AB] = (0; 5)$
منتصف $[JF] = (0; 5)$
$F(0; 9)$ ✓
6أ) المسافة $JH$:
$H(0; 5)$ (على $(FJ)$ مع $y_H = y_B$)
$JH = 4$ ✓
6ب) إحداثيات $H$:
$H(0; 5)$ (نلاحظ أن $H = E$)
5ت) إثبات $H = E$ والمساحة:
$E(0; 5)$ و $H(0; 5)$ : نفس الإحداثيات ⟹ $H = E$
$S_{BHJ} = \dfrac{1}{2} \times 4 \times 4 = 8$ وحدة مساحة
$(O,I,J)$ معيّناً في المستوى بحيث $OI=1cm$ و $OJ=2cm$ و $(IO)$ و $(IJ)$ متعامدان و $IJ=2cm$
💡 الفكرة الأساسية:
• المعلم ليس متساوياً: $OI = 1cm$ و $OJ = 2cm$
• لكنه متعامد: المحوران متعامدان
💡 للسؤال 2:
• مستقيمان متوازيان لهما نفس "الإتجاه"
• $(OI)$ أفقي
• نحتاج أن نتحقق من أن $(AJ)$ أفقي أيضاً
💡 للسؤال 3:
• إذا كان $OA = OB$ ، فـ $I$ متساوية البعد عن $A$ و $B$
• المناظرة بالنسبة إلى $J$: $J$ منتصف $[AB]$
💡 للسؤال 4:
• المسقط العمودي على $(OI)$ يعطي نقطة على $(OI)$ بحيث $AC \perp OI$
• $(OI)$ أفقي ⟹ $AC$ رأسي
💡 للسؤال 5:
• $x = 2$: خط رأسي
• $y \leq 1$: منطقة تحت الخط $y = 1$
📍 تحديد النقاط الأساسية:
$O(0; 0)$ - نقطة الأصل
$I(1; 0)$ - على بعد $1cm$ من $O$ على المحور الأفقي
$J(0; 1)$ - نقطة الوحدة على المحور الرأسي (طولها $2cm$ على الرسم، والإحداثيّة تعطي عدد الوحدات)
📍 السؤال 1: تعيين $A(-2; 1)$
النقطة $A$ لها:
• الأفصول: $-2$ (وحدتان يساراً من $O$)
• الإرتفاع: $1$ (وحدة واحدة للأعلى من $O$)
$A(-2; 1)$ معيّنة على الرسم ✓
📍 السؤال 2: إثبات $(AJ) \parallel (OI)$
$A(-2; 1)$ و $J(0; 1)$
تنبيه: $OJ = 2\,cm$ هو طول الوحدة على المحور الرأسي، وليس ترتيبة $J$. إحداثيات $J$ في المعين $(O,I,J)$ هي دائما $(0; 1)$ مهما كان طول الوحدة.
القاعدة (الدرس 3):
إذا كان للنقطتين نفس الترتيبة، فالمستقيم المار بهما موازٍ لمحور الفواصل $(OI)$
التحقق:
$y_A = 1$ و $y_J = 1$، إذن $y_A = y_J$
بالتالي $(AJ) \parallel (OI)$ ✓
📍 السؤال 3أ: تحديد $B$ بحيث $OA = OB$ و $B$ مناظرة $A$ بالنسبة إلى $J$
الخطوة 1: أين تقع $B$ ؟
$B$ على $(AJ)$، وهو المستقيم الموازي لمحور الفواصل ذو الترتيبة $1$، إذن $y_B = 1$
الخطوة 2: استعمال التناظر (الدرس 6)
$O$ تقع على محور التراتيب $(OJ)$، ومناظرتها بالنسبة إلى $(OJ)$ هي $O$ نفسها
التناظر المحوري يحافظ على الأبعاد، إذن مناظرة $A$ بالنسبة إلى $(OJ)$ تحقّق $OB = OA$
هذا التناظر يغيّر إشارة الفاصلة ويحافظ على الترتيبة:
$$x_B = -x_A = 2 \qquad y_B = y_A = 1$$
إذن: $B(2; 1)$
الخطوة 3: $B$ مناظرة $A$ بالنسبة إلى $J$
نتحقّق أنّ $J$ منتصف $[AB]$ (الدرس 5):
$$\frac{x_A + x_B}{2} = \frac{-2 + 2}{2} = 0 = x_J$$
$$\frac{y_A + y_B}{2} = \frac{1 + 1}{2} = 1 = y_J$$
منتصف $[AB]$ هو $(0; 1)$، أي $J$ بالضبط
إذن $B$ مناظرة $A$ بالنسبة إلى $J$ ✓
ملاحظة: القطعتان $[OA]$ و $[OB]$ مائلتان، فلا صيغة لطولهما في هذا المستوى. التناظر وحده يثبت تساويهما.
📍 السؤال 3ب: إحداثيات $B$
$B(2; 1)$ ✓
📍 السؤال 4أ: طبيعة الرباعي $AJIC$
$C$ المسقط العمودي لـ $A$ على $(OI)$
$(OI)$ أفقي ⟹ $AC$ رأسي
إذن: $x_C = x_A = -2$ و $y_C = 0$
بالتالي: $C(-2; 0)$
النقاط:
• $A(-2; 1)$
• $J(0; 1)$
• $I(1; 0)$
• $C(-2; 0)$
تحليل الأضلاع:
• $[AC]$: من $(-2; 1)$ إلى $(-2; 0)$ - رأسي، طوله = $1$
• $[CI]$: من $(-2; 0)$ إلى $(1; 0)$ - أفقي، طوله = $3$
• $[AC] \perp [CI]$ (زاوية قائمة في $C$)
الخلاصة:
الرباعي $AJIC$ هو شبه منحرف قائم
(له ضلع رأسي وضلع أفقي متعامدان)
📍 السؤال 4ب: إحداثيات $C$
$C(-2; 0)$ ✓
📍 السؤال 5: مجموعة النقاط بحيث $x = 2$ و $y \leq 1$
الشرط الأول: $x = 2$
مجموعة جميع النقاط على المستقيم الرأسي الذي يمر بـ $x = 2$
الشرط الثاني: $y \leq 1$
مجموعة جميع النقاط التي إرتفاعها أقل من أو يساوي $1$
الجمع بين الشرطين:
نصف المستقيم: $\{(2; y) : y \leq 1\}$
أي: المستقيم الرأسي $x = 2$ من النقطة $(2; 1)$ ونزولاً
المعطيات الأساسية:
$O(0; 0)$، $I(1; 0)$، $J(0; 1)$ (الوحدتان $OI=1cm$ و $OJ=2cm$ لا تغيّران الإحداثيات)
1) تعيين النقطة $A$:
$A(-2; 1)$ معيّنة على الرسم ✓
2) إثبات $(AJ) \parallel (OI)$:
$y_A = 1$ و $y_J = 1$ : نفس الترتيبة
إذن $(AJ) \parallel (OI)$ ✓ (الدرس 3)
3أ) النقطة $B$:
$B$ مناظرة $A$ بالنسبة إلى $(OJ)$ ⟹ $OA = OB$ بالتناظر
$x_B = 2$، $y_B = 1$
ومنتصف $[AB] = (0; 1) = J$ ⟹ $B$ مناظرة $A$ بالنسبة إلى $J$ ✓
3ب) إحداثيات $B$:
$B(2; 1)$ ✓
4أ) طبيعة $AJIC$:
$C(-2; 0)$ (مسقط $A$ على $(OI)$)
شبه منحرف قائم
4ب) إحداثيات $C$:
$C(-2; 0)$ ✓
5) مجموعة النقاط:
نصف المستقيم الرأسي: $\{(2; y) : y \leq 1\}$
المستقيم $x = 2$ من $(2; 1)$ ونزولاً