المستوى والمسافات والإحداثيات
ليكن $(O;I;J)$ معلما متعامدا للمستوى بحيث $OJ = OI$ والنقطة $B(4;5)$
السؤال 1:
• إذا كان مستقيم موازياً لـ $(OI)$ فهو أفقي، أي جميع نقاطه لها نفس الإرتفاع (نفس الإحداثية الثانية)
• النقطة $E$ موجودة على $(OJ)$ أي $x_E = 0$
• المسافة $BE$ هي فرق الإحداثيات الأولى
السؤال 2:
• التناظر بالنسبة إلى $(OJ)$ يحافظ على الترتيبة ويغيّر إشارة الفاصلة (الدرس 6)
• إذن $A$ و $B$ لهما نفس الترتيبة، والمستقيم $(AB)$ موازٍ لـ $(OI)$ ويمر بـ $E$
• القطعة $[AE]$ موازية لمحور الفواصل: المسافة هي القيمة المطلقة لفرق الفاصلتين
السؤال 3:
• $A$ و $B$ لهما نفس الترتيبة، إذن $[AB]$ موازية لمحور الفواصل
• في هذه الحالة فقط توجد صيغة: $AB=\left|x_B-x_A\right|$ (الدرس 4)
السؤال 4:
• في متوازي الأضلاع $AJBF$، القطران يتقاطعان في منتصفهما المشترك (الدرس 7)
• القطران هما $[AB]$ و $[JF]$، إذن منتصف $[AB]$ = منتصف $[JF]$
السؤال 5:
• المسقط وفق منحى $(OI)$ يعني أن $BH$ موازي لـ $(OI)$ أي أفقي
• إذن $y_H = y_B$ و $x_H = x_F$ (لأن $H$ على $(FJ)$)
• مساحة المثلث = نصف القاعدة × الإرتفاع
السؤال 1أ: تحديد إحداثيات $E$
الخطوة 1: المستقيم المار من $B$ موازي لـ $(OI)$ أي أفقي
إذن: $y_E = y_B = 5$
الخطوة 2: $E$ موجودة على $(OJ)$ أي محور الإحداثيات الثانية
إذن: $x_E = 0$
النتيجة: $E(0; 5)$
السؤال 1ب: حساب $BE$
لدينا $B(4; 5)$ و $E(0; 5)$
بما أن $y_B = y_E$، المسافة أفقية:
$$BE = |x_B - x_E| = |4 - 0| = 4$$
إذن: $BE = 4$
السؤال 2أ: إثبات $AE = 4$
معطيات: $A$ مناظرة $B(4; 5)$ بالنسبة إلى $(OJ)$
الخطوة 1: التناظر بالنسبة إلى محور التراتيب $(OJ)$ يحافظ على الترتيبة ويغيّر إشارة الفاصلة
إذن: $x_A = -x_B = -4$ و $y_A = y_B = 5$
بالتالي: $A(-4; 5)$
الخطوة 2: $A$ و $E(0; 5)$ لهما نفس الترتيبة $5$
إذن القطعة $[AE]$ موازية لمحور الفواصل، وصيغة الدرس 4 تنطبق:
$$AE = \left|x_E - x_A\right| = \left|0 - (-4)\right| = 4$$
إذن: $AE = 4$ ✓
السؤال 2ب: إحداثيات $A$
من السؤال السابق: $A(-4; 5)$
والشرط $x_A < 0$ محقق: $-4 < 0$ ✓
النتيجة: $A(-4; 5)$
السؤال 3: حساب $AB$
لدينا $A(-4; 5)$ و $B(4; 5)$
أوّل ردّ فعل: ما هي الإحداثيّة المتساوية عند النقطتين ؟
$y_A = y_B = 5$ : النقطتان لهما نفس الترتيبة، إذن $[AB]$ موازية لمحور الفواصل
في هذه الحالة نستعمل فرق الفواصل بالقيمة المطلقة:
$$AB = \left|x_B - x_A\right| = \left|4 - (-4)\right| = \left|4 + 4\right| = 8$$
إذن: $AB = 8$
تذكير (الدرس 4): لا نحسب البعد إلّا إذا كانت القطعة موازية لأحد المحورين. إذا كانت القطعة مائلة فلا توجد صيغة في البرنامج.
السؤال 4: تحديد $F$ بحيث $AJBF$ متوازي أضلاع
خاصية متوازي الأضلاع: القطران يتقاطعان في منتصفهما
القطران هما $[AB]$ و $[JF]$
منتصف $[AB]$:
$$M_{AB} = \left(\frac{x_A + x_B}{2}; \frac{y_A + y_B}{2}\right) = \left(\frac{-4 + 4}{2}; \frac{5 + 5}{2}\right) = (0; 5)$$
منتصف $[JF]$ يجب أن يساوي $M_{AB}$:
$$M_{JF} = \left(\frac{x_J + x_F}{2}; \frac{y_J + y_F}{2}\right) = (0; 5)$$
إذن: $\frac{0 + x_F}{2} = 0$ ⟹ $x_F = 0$
و: $\frac{1 + y_F}{2} = 5$ ⟹ $1 + y_F = 10$ ⟹ $y_F = 9$
النتيجة: $F(0; 9)$
السؤال 5أ: حساب $JH$
$H$ مسقط $B$ على $(FJ)$ وفق منحى $(OI)$
إذن $BH$ موازي لـ $(OI)$ أي أفقي
بالتالي: $y_H = y_B = 5$
$H$ موجودة على $(FJ)$ حيث $F(0; 9)$ و $J(0; 1)$
المستقيم $(FJ)$ هو محور $(OJ)$ أي $x = 0$
إذن: $x_H = 0$
بالتالي: $H(0; 5)$
المسافة: $JH = |y_H - y_J| = |5 - 1| = 4$
إذن: $JH = 4$
السؤال 5ب: إحداثيات $H$
من الحسابات السابقة:
$H(0; 5)$
السؤال 5ت: إثبات $H = E$ ثم مساحة $BHJ$
إثبات $H = E$:
وجدنا في السؤال 1 أنّ $E(0; 5)$، ووجدنا الآن $H(0; 5)$
النقطتان لهما نفس الفاصلة ونفس الترتيبة، إذن $H = E$
مساحة المثلث $BHJ$:
$B(4; 5)$، $H(0; 5)$، $J(0; 1)$
القاعدة $[BH]$ موازية لمحور الفواصل: $BH = \left|4 - 0\right| = 4$
الإرتفاع من $J$ على $(BH)$ هو المسافة بين المستقيمين $y = 5$ و $y = 1$: $\left|5 - 1\right| = 4$
$$S_{BHJ} = \frac{1}{2} \times 4 \times 4 = 8$$
إذن: مساحة $BHJ$ تساوي $8$ وحدة مساحة
1أ) إحداثيات $E$:
المستقيم موازي لـ $(OI)$ ⟹ $y_E = y_B = 5$
$E$ على $(OJ)$ ⟹ $x_E = 0$
الجواب: $E(0; 5)$
1ب) المسافة $BE$:
$$BE = |x_B - x_E| = |4 - 0| = 4$$
الجواب: $BE = 4$
2أ) إثبات $AE = 4$:
$A$ مناظرة $B(4; 5)$ بالنسبة إلى $(OJ)$، والتناظر بالنسبة إلى محور التراتيب يحافظ على الترتيبة ويغيّر إشارة الفاصلة
إذن $x_A = -4$ و $y_A = 5$، أي $A(-4; 5)$
$A$ و $E(0; 5)$ لهما نفس الترتيبة، إذن $[AE]$ موازية لمحور الفواصل:
$$AE = \left|x_E - x_A\right| = \left|0 - (-4)\right| = 4$$
إذن: $AE = 4$ ✓
2ب) إحداثيات $A$:
$A(-4; 5)$ (مع $x_A = -4 < 0$ ✓)
3) المسافة $AB$:
$A(-4; 5)$ و $B(4; 5)$ لهما نفس الترتيبة، إذن $[AB]$ موازية لمحور الفواصل
$$AB = \left|x_B - x_A\right| = \left|4 - (-4)\right| = 8$$
الجواب: $AB = 8$
4) إحداثيات $F$:
منتصف $[AB] = (0; 5)$
منتصف $[JF]$ يجب أن يساوي $(0; 5)$:
$\frac{0 + x_F}{2} = 0$ ⟹ $x_F = 0$
$\frac{1 + y_F}{2} = 5$ ⟹ $y_F = 9$
الجواب: $F(0; 9)$
5أ) المسافة $JH$:
$H$ مسقط $B$ وفق $(OI)$ على $(FJ)$
$BH$ أفقي ⟹ $y_H = y_B = 5$
$H$ على $(FJ)$ أي $x = 0$ ⟹ $H(0; 5)$
$$JH = |y_H - y_J| = |5 - 1| = 4$$
الجواب: $JH = 4$
5ب) إحداثيات $H$:
$H(0; 5)$
5ت) إثبات $H = E$ ومساحة $BHJ$:
$E(0; 5)$ من السؤال 1 و $H(0; 5)$ من السؤال 5ب: نفس الفاصلة ونفس الترتيبة
إذن $H = E$
القاعدة $BH = \left|4 - 0\right| = 4$ والإرتفاع من $J$ يساوي $\left|5 - 1\right| = 4$
$$S_{BHJ} = \frac{1}{2} \times 4 \times 4 = 8$$
الجواب: مساحة $BHJ$ تساوي $8$ وحدة مساحة
$(O,I,J)$ معيّنا في المستوى بحيث $OI=1cm$ و $OJ=2cm$ و $(OI)$ و $(OJ)$ متعامدان
تنبيه: $OI$ و $OJ$ هما طولا الوحدتين بالسنتمتر. أمّا إحداثيات $I$ و $J$ في المعين $(O,I,J)$ فهي دائما $I(1; 0)$ و $J(0; 1)$ مهما كان طول الوحدة.
السؤال 1:
• لتعيين نقطة بإحداثيات $(-2; 1)$، نبحث عن النقطة التي أفصولها $-2$ وإرتفاعها $1$
• الأفصول $-2$ يعني $2$ وحدات إلى اليسار من $O$
• الإرتفاع $1$ يعني وحدة واحدة للأعلى
السؤال 2:
• مستقيمان متوازيان إذا كان لهما نفس "الإتجاه الأفقي"
• $(OI)$ هو المحور الأفقي
• إذا كانت نقطتان لهما نفس الإحداثية الثانية، فالمستقيم المار بهما موازٍ لـ $(OI)$
السؤال 3:
• $O$ تقع على محور التراتيب $(OJ)$، والتناظر بالنسبة إلى $(OJ)$ يحافظ على الأبعاد
• إذن $OA = OB$ إذا كانت $B$ مناظرة $A$ بالنسبة إلى $(OJ)$ (الدرس 6)
• إذا كانت $B$ مناظرة $A$ بالنسبة إلى $J$، فـ $J$ منتصف $[AB]$ (الدرس 5)
السؤال 4:
• المسقط العمودي على $(OI)$ يعني أن $AC$ عمودي على $(OI)$
• $(OI)$ أفقي، إذن $AC$ رأسي
• رباعي له ضلعان متوازيان فقط (غير متساويين) هو شبه منحرف
السؤال 5:
• $x = 2$ يعني جميع النقاط على المستقيم الرأسي الذي يمر بـ $x = 2$
• $y \leq 1$ يعني جميع النقاط تحت أو على المستقيم $y = 1$
السؤال 1: تعيين النقطة $A(-2; 1)$
الخطوة 1: $O$ هي نقطة الأصل $(0; 0)$
الخطوة 2: $I$ على بعد $1cm$ من $O$ على المحور الأفقي: $I(1; 0)$
الخطوة 3: $J$ هي نقطة الوحدة على المحور الرأسي، إحداثياتها $J(0; 1)$ (طولها $2cm$ على الرسم، لكنّ الإحداثيّة تعطي عدد الوحدات لا عدد السنتمترات)
الخطوة 4: النقطة $A$ لها أفصول $-2$ وإرتفاع $1$
نتحرك $2$ وحدات يساراً من $O$ ثم $1$ وحدة للأعلى
النتيجة: $A(-2; 1)$ معيّنة على الرسم
السؤال 2: إثبات $(AJ) \parallel (OI)$
لدينا: $A(-2; 1)$ و $J(0; 1)$
القاعدة (الدرس 3): إذا كان للنقطتين نفس الترتيبة، فالمستقيم المار بهما موازٍ لمحور الفواصل $(OI)$
نقارن الترتيبتين: $y_A = 1$ و $y_J = 1$
إذن: $y_A = y_J$
بالتالي $(AJ) \parallel (OI)$ ✓
السؤال 3أ: تحديد $B$ بحيث $OA = OB$ و $B$ على $(AJ)$
الخطوة 1: أين تقع $B$ ؟
$B$ على $(AJ)$، وهو المستقيم $y = 1$، إذن $y_B = 1$
الخطوة 2: استعمال التناظر (الدرس 6)
النقطة $O$ تقع على محور التراتيب $(OJ)$، ومناظرتها بالنسبة إلى $(OJ)$ هي $O$ نفسها
التناظر المحوري يحافظ على الأبعاد، إذن إذا كانت $B$ مناظرة $A$ بالنسبة إلى $(OJ)$ فإنّ $OB = OA$
مناظرة $A(-2; 1)$ بالنسبة إلى $(OJ)$ تُغيّر إشارة الفاصلة وتحافظ على الترتيبة:
إذن: $B(2; 1)$
الخطوة 3: إثبات أنّ $B$ مناظرة $A$ بالنسبة إلى $J$
يكفي أن نتحقّق أنّ $J$ هي منتصف $[AB]$ (الدرس 5):
$$x_{\text{منتصف}} = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{-2 + 2}{2} = 0 = x_J$$
$$y_{\text{منتصف}} = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{1 + 1}{2} = 1 = y_J$$
منتصف $[AB]$ هو $(0; 1)$، أي $J$ بالضبط
إذن $B$ مناظرة $A$ بالنسبة إلى $J$ ✓
السؤال 3ب: إحداثيات $B$
من السؤال السابق: $B(2; 1)$
السؤال 4أ: طبيعة الرباعي $AJIC$
$C$ هو المسقط العمودي لـ $A$ على $(OI)$
$(OI)$ أفقي، إذن $AC$ رأسي
بالتالي: $x_C = x_A = -2$ و $y_C = 0$ (لأن $C$ على $(OI)$)
إذن: $C(-2; 0)$
نقاط الرباعي:
• $A(-2; 1)$
• $J(0; 1)$
• $I(1; 0)$
• $C(-2; 0)$
تحليل الأضلاع:
• الضلع $[AJ]$: من $(-2; 1)$ إلى $(0; 1)$ — نفس الترتيبة، إذن أفقي، طوله = $|0 - (-2)| = 2$
• الضلع $[CI]$: من $(-2; 0)$ إلى $(1; 0)$ — نفس الترتيبة، إذن أفقي، طوله = $|1 - (-2)| = 3$
• الضلع $[AC]$: من $(-2; 1)$ إلى $(-2; 0)$ — نفس الفاصلة، إذن رأسي، طوله = $|1 - 0| = 1$
• الضلع $[JI]$: من $(0; 1)$ إلى $(1; 0)$ — لا نفس الفاصلة ولا نفس الترتيبة، إذن مائل
الخلاصة:
• $[AJ]$ و $[CI]$ أفقيان معا، إذن متوازيان
• لكن طوليهما مختلفان ($2 \neq 3$)، إذن الرباعي ليس متوازي أضلاع
• $[AC]$ رأسي و $[JI]$ مائل، إذن ليسا متوازيين
الرباعي له زوج واحد فقط من الأضلاع المتوازية: هو شبه منحرف
السؤال 4ب: إحداثيات $C$
من التحليل السابق: $C(-2; 0)$
السؤال 5: تحديد مجموعة النقاط بحيث $x = 2$ و $y \leq 1$
الشرط الأول: $x = 2$
هذا يعني جميع النقاط على المستقيم الرأسي الذي يمر بـ $x = 2$
الشرط الثاني: $y \leq 1$
هذا يعني جميع النقاط التي إحداثيتها الثانية أقل من أو تساوي $1$
الجمع بين الشرطين:
المجموعة هي: نصف المستقيم الرأسي الذي أفصوله $2$ وجميع النقاط عليه التي $y \leq 1$
أي: المستقيم $x = 2$ من النقطة $(2; 1)$ ونزولاً (بما في ذلك جميع النقاط تحت $y = 1$)
المعطيات:
• $O(0; 0)$، $I(1; 0)$، $J(0; 1)$
• $OI = 1cm$، $OJ = 2cm$ (طولا الوحدتين، والمعين غير متجانس)
• $(OI) \perp (OJ)$
1) تعيين النقطة $A(-2; 1)$:
النقطة $A$ موجودة على الرسم عند الإحداثيات $(-2; 1)$
أي: وحدتان يساراً من $O$ ووحدة واحدة للأعلى
2) إثبات $(AJ) \parallel (OI)$:
$A(-2; 1)$ و $J(0; 1)$
$y_A = y_J = 1$ : النقطتان لهما نفس الترتيبة
إذن $(AJ) \parallel (OI)$ ✓ (الدرس 3)
3أ) النقطة $B$ و إثبات التناظر:
$B$ على $(AJ)$ أي $y_B = 1$
$O$ تقع على $(OJ)$، والتناظر بالنسبة إلى $(OJ)$ يحافظ على الأبعاد ويترك $O$ ثابتة
إذن مناظرة $A$ بالنسبة إلى $(OJ)$ تحقّق $OB = OA$ :
$$x_B = -x_A = 2 \qquad y_B = y_A = 1$$
إذن: $B(2; 1)$ ✓
التحقق من التناظر بالنسبة إلى $J$ : منتصف $[AB] = \left(\dfrac{-2+2}{2}; \dfrac{1+1}{2}\right) = (0; 1) = J$ ✓
3ب) إحداثيات $B$:
$B(2; 1)$
4أ) طبيعة الرباعي $AJIC$:
$C$ مسقط $A$ على $(OI)$ ⟹ $C(-2; 0)$
النقاط: $A(-2; 1)$، $J(0; 1)$، $I(1; 0)$، $C(-2; 0)$
• $[AJ]$ أفقي (نفس الترتيبة $1$)، طوله = 2
• $[CI]$ أفقي (نفس الترتيبة $0$)، طوله = 3
• إذن $[AJ] \parallel [CI]$ لكن $2 \neq 3$
• $[AC]$ رأسي و $[JI]$ مائل : غير متوازيين
الرباعي $AJIC$ هو شبه منحرف قائم (لأنّ $[AC] \perp [CI]$)
4ب) إحداثيات $C$:
$C(-2; 0)$
5) مجموعة النقاط حيث $x = 2$ و $y \leq 1$:
نصف المستقيم الرأسي الذي أفصوله $x = 2$ ابتداءً من النقطة $(2; 1)$ نزولاً
أي: جميع النقاط $(2; y)$ حيث $y \leq 1$