📐 التمرين رقم 2

الحل:

نعين النقاط على المعين المتعامد المتجانس:

نضع النقطة $A$ عند الإحداثي $(2, 4)$ والنقطة $E$ عند الإحداثي $(-4, 4)$ على المستوي.

الطريقة المستخدمة: لإثبات أن مستقيمين متوازيين، نبرهن أن لهما نفس الإتجاه (أفقي أو عمودي).

الخطوة 1: نفحص إحداثيات النقطتين $E$ و $A$

الخطوة 2: نلاحظ أن:

الخطوة 3: بما أن النقطتين $E$ و $A$ لهما نفس الإحداثي الصادي ($y = 4$)، فإن المستقيم $(EA)$ هو مستقيم أفقي (موازي لمحور الفواصل).

الخطوة 4: المستقيم $(OI)$ هو محور الفواصل (مستقيم أفقي).

المعطيات:

الخطوة 1: بما أن $y_A = y_E = 4$، النقطتان على مستقيم أفقي

الخطوة 2: نحسب الفرق بين الفواصل:

الخطوة 3: المسافة $AE$ هي القيمة المطلقة لهذا الفرق:

المعطيات:

الخطوة 1: بما أن $O$ هي منتصف $[AC]$:

الخطوة 2: بنفس الطريقة للإحداثي $y$:

التعليل: $C$ هي مناظرة $A$ بالنسبة إلى $O$، أي أن $O$ هي منتصف القطعة $[AC]$، وبالتالي إحداثيات $C$ هي معاكس إحداثيات $A$.

هذا الجزء يتطلب أولاً إيجاد إحداثيات $D$ و $B$، سنفعل ذلك في الجزء (ج) أولاً.

الخطوة 1: استخدام خاصية متوازي الأضلاع

من السؤال 2، حسبنا أن $AE = 6$

في متوازي الأضلاع $ABDE$:

الخطوة 2: استخدام خاصية المناظرة

بما أن $B$ مناظرة $D$ بالنسبة إلى $O$، فإن $O$ هي منتصف القطعة $[BD]$

إذن:

الخطوة 3: تحديد إحداثيات $D$

بما أن $D$ نقطة على المستقيم $(OI)$ (محور الفواصل):

وبما أن $O(0 ; 0)$ و $D$ على نفس المحور الأفقي، والمسافة $OD = 3$:

إذن:

الخطوة 4: اختيار القيمة الصحيحة

حسب المعطيات، فاصلة $D$ سالبة، إذن:

التعليل: في متوازي الأضلاع $ABDE$، الأضلاع المتقابلة متساوية فـ $BD = AE = 6$. بما أن $O$ منتصف $[BD]$، فإن $OD = 3$. وبما أن $D$ على محور الفواصل والفاصلة سالبة، فإن $D(-3 ; 0)$.

أولاً: إيجاد إحداثيات B

$B$ مناظرة $D$ بالنسبة إلى $O$:

ثانياً: إثبات أن ABCD متوازي أضلاع

لدينا: $A(2 ; 4)$، $B(3 ; 0)$، $C(-2 ; -4)$، $D(-3 ; 0)$

منتصف القطر $[AC]$:

منتصف القطر $[BD]$:

ثالثاً: إثبات أن ABDE متوازي أضلاع

لدينا: $A(2 ; 4)$، $B(3 ; 0)$، $D(-3 ; 0)$، $E(-4 ; 4)$

منتصف القطر $[AE]$:

منتصف القطر $[BD]$:

المنتصفان مختلفان! هذا يعني أن $ABDE$ ليس متوازي أضلاع بهذا الترتيب.

تصحيح: ربما المقصود هو $AEDB$ أو ترتيب آخر.

لنجرب $AEDB$:

منتصف $[AD]$:

منتصف $[EB]$:

ما نعرفه:

• $H$ هي تقاطع المستقيمين $(AD)$ و $(OJ)$
• $C$ هي مناظرة $A$ بالنسبة إلى $O$ (معطى في السؤال 3)
• $B$ هي مناظرة $D$ بالنسبة إلى $O$ (معطى في السؤال 3)

الخطوة 1: تحديد صورة المستقيم $(AD)$ بالتناظر بالنسبة إلى $O$

بما أن:

• $C$ هي صورة $A$ بالتناظر بالنسبة إلى $O$
• $B$ هي صورة $D$ بالتناظر بالنسبة إلى $O$

الخطوة 2: تحديد صورة المستقيم $(OJ)$ بالتناظر بالنسبة إلى $O$

المستقيم $(OJ)$ يمر بنقطة المركز $O$

الخطوة 3: تحديد صورة النقطة $H$

$H$ هي نقطة تقاطع $(AD)$ و $(OJ)$

بخاصية التناظر المركزي:

الخطوة 4: الاستنتاج

بما أن $K$ هي صورة $H$ بالتناظر بالنسبة إلى $O$، فإن:

ومن السؤال 3، نعلم أن:

الإحداثيات:

حساب EF:

نلاحظ أن:

إذن المستقيم $(EF)$ لا أفقي ولا عمودي.

نحسب المسافة الأفقية:

نحسب المسافة العمودية:

حساب AC:

نلاحظ أن:

نحسب المسافة الأفقية:

نحسب المسافة العمودية:

المقارنة:

الملاحظة الأساسية:

نفحص إحداثيات النقطتين $F$ و $C$:

الخطوة 1: نلاحظ أن:

إذن النقطتان $F$ و $C$ لهما نفس الإحداثي الصادي

الخطوة 2: بما أن $G$ نقطة على المستقيم $(FC)$:

الخطوة 3: بما أن $G$ نقطة على المستقيم $(OJ)$ (محور الصادات):

إذن $G(0 ; -4)$

الخطوة 4: حساب المسافة $OG$:

بما أن $G$ على محور الصادات $(OJ)$، والمسافة بين نقطة على هذا المحور والأصل $O$ تساوي القيمة المطلقة للإحداثي الصادي:

التعليل: $F$ و $C$ لهما نفس الإحداثي الصادي $-4$، إذن $(FC)$ موازي لـ $(OI)$. بما أن $G$ نقطة على $(FC)$، فإن $y_G = -4$. وبما أن $G$ على $(OJ)$، فإن $OG = |y_G| = 4$.