تمرين في المستوي

التعيين في المستوي والهندسة التحليلية
دراسة شاملة لنقاط في المستوي
تمرين

ليكن $(O, I, J)$ معينا متعامدا في المستوي.

  1. عين النقط $A(5;0)$, $B(-2;2)$ و $C(4;-2)$.
  2. بين أن $I(1,0)$ هي منتصف $[BC]$.
  3. لتكن $D$ مناظرة $C$ بالنسبة إلى $A$. أحسب إحداثيات $D$.
  4. بين أن $(BD) // (IA)$.
  5. لتكن $E$ المسقط العمودي لـ $C$ على $(BD)$. حدد إحداثيات $E$.

💡 مؤشر

2. المنتصف: استخدم صيغة إحداثيات منتصف قطعة مستقيمة.

3. التناظر: إذا كانت D مناظرة C بالنسبة لـ A، فإن A هي منتصف [CD].

4. التوازي: تحقق مما إذا كان المستقيمان هو مستقيم مواز لـ (OI)ين (لهما نفس الترتيبة) أو عموديين (لهما نفس الفاصلة).

5. المسقط العمودي: E تقع على (BD) والمستقيم (CE) عمودي على (BD).

📝 الطريقة

2. إثبات أن I منتصف [BC]: احسب إحداثيات منتصف [BC] باستخدام الصيغة \((\frac{x_B+x_C}{2}, \frac{y_B+y_C}{2})\) وقارنها بإحداثيات I.

3. حساب إحداثيات D: استخدم صيغة المنتصف مع العلم أن A منتصف [CD]: \(x_A = \frac{x_C+x_D}{2}\) و \(y_A = \frac{y_C+y_D}{2}\). حل لإيجاد \(x_D, y_D\).

4. إثبات التوازي: قارن بين ترتيبتي B و D. ثم قارن بين ترتيبتي I و A. استنتج طبيعة كل مستقيم.

5. تحديد إحداثيات E: بما أن (BD) هو مستقيم مواز لـ (OI)، فإن مسقطه العمودي (CE) سيكون عمودياً. استنتج فاصلة وترتيبة E من هذين الشرطين.

✅ الحل الكامل

2. إثبات أن I منتصف [BC]:

نحسب إحداثيات منتصف [BC]:

\[x_M = \frac{x_B + x_C}{2} = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1\]
\[y_M = \frac{y_B + y_C}{2} = \frac{2 + (-2)}{2} = \frac{0}{2} = 0\]

إحداثيات المنتصف هي $(1, 0)$، وهي نفسها إحداثيات I. إذن I منتصف [BC].

3. حساب إحداثيات D:

بما أن D مناظرة C بالنسبة لـ A، فإن A منتصف [CD].

\[x_A = \frac{x_C + x_D}{2} \Rightarrow 5 = \frac{4 + x_D}{2} \Rightarrow 10 = 4 + x_D \Rightarrow x_D = 6\]
\[y_A = \frac{y_C + y_D}{2} \Rightarrow 0 = \frac{-2 + y_D}{2} \Rightarrow 0 = -2 + y_D \Rightarrow y_D = 2\]

إذن، إحداثيات D هي (6, 2).

4. إثبات أن \((BD) // (IA)\):

  • لدينا \(B(-2, 2)\) و \(D(6, 2)\). بما أن \(y_B = y_D = 2\)، فإن المستقيم (BD) هو مستقيم مواز لـ (OI) ويوازي محور الفواصل (OI).
  • لدينا \(I(1, 0)\) و \(A(5, 0)\). بما أن \(y_I = y_A = 0\)، فإن المستقيم (IA) هو مستقيم مواز لـ (OI) ويوازي محور الفواصل (OI).

بما أن كلا المستقيمين يوازيان نفس المحور (OI)، فإنهما متوازيان. إذن \((BD) // (IA)\).

5. تحديد إحداثيات E:

E هو المسقط العمودي لـ C على (BD). هذا يعني أن E تنتمي إلى (BD) و \((CE) \perp (BD)\).

  • بما أن E تنتمي للمستقيم الهو مستقيم مواز لـ (OI) (BD) الذي \(y=2\)، فإن ترتيبة E هي 2. \(y_E = 2\).
  • بما أن (CE) عمودي على المستقيم الهو مستقيم مواز لـ (OI) (BD)، فإن (CE) هو مستقيم يوازي محور التراتيب (OJ). كل النقاط على مستقيم عمودي لها نفس الفاصلة. بما أنه يمر بالنقطة \(C(4, -2)\)، فإن فاصلة E هي 4. \(x_E = 4\).

إذن، إحداثيات E هي (4, 2).