ليكن $(O;I;J)$ معينًا متعامدًا. عين النقطتين $A(-3;0)$، $B(0;-2)$.
1) ارسم النقطتين $C$ و $D$ مناظرتي $A$ و $B$ على التوالي بالنسبة إلى $O$ وجد إحداثياتهما.
2) بيّن أن الرباعي $ABCD$ معين.
3) ارسم النقطة $E(-3;-4)$ ثم بيّن أن النقطتين $C$ و $E$ متناظرتان بالنسبة إلى $D$.
4) ارسم النقطة $F$ بحيث $AEFD$ متوازي أضلاع. جد إحداثيات $F$ وبيّن أن $D$ منتصف $[FB]$.
للتناظر المركزي O: $(x,y) \to (-x,-y)$.
للمعين: أثبت أنه متوازي أضلاع (القطران لهما نفس المنتصف) ثم أثبت أن قطريه متعامدان.
للتناظر المركزي D: لتبيين أن C و E متناظرتان بالنسبة لـ D، يكفي أن تثبت أن D هي منتصف [CE].
لمتوازي الأضلاع: القطران [AF] و [ED] يجب أن يكون لهما نفس المنتصف.
1) إحداثيات C و D: طبق قاعدة التناظر بالنسبة للمبدأ O على A و B.
2) إثبات أن ABCD معين: احسب منتصف [AC] ومنتصف [BD] للتأكد أنهما متطابقان (وهو O). ثم بيّن أن (AC) هو مستقيم مواز لـ (OI) و (BD) عمودي.
3) تناظر C و E: احسب إحداثيات منتصف [CE] وقارنها بإحداثيات D. (ملاحظة: استخدم الإحداثيات المصححة لـ E).
4) إحداثيات F: احسب منتصف [ED]. ثم اكتب معادلة منتصف [AF] وساوها بمنتصف [ED] لإيجاد إحداثيات F. أخيراً، احسب منتصف [FB] للتأكد أنه D.
1) إحداثيات C و D: $C(3;0)$ و $D(0;2)$.
2) ABCD معين: منتصف [AC] هو $O(0,0)$. منتصف [BD] هو $O(0,0)$. إذن هو متوازي أضلاع. (AC) هو محور الفواصل و (BD) هو محور التراتيب، وهما متعامدان. إذن $ABCD$ معين.
3) تناظر C و E:
4) إحداثيات F:
منتصف [ED] هو $(\frac{-3+0}{2}, \frac{4+2}{2}) = (-\frac{3}{2}, 3)$.
منتصف [AF] يجب أن يكون نفس النقطة: $\frac{-3+x_F}{2}=-\frac{3}{2} \implies x_F=0$ و $\frac{0+y_F}{2}=3 \implies y_F=6$. إذن $F(0,6)$.
منتصف [FB] هو $(\frac{0+0}{2}, \frac{6-2}{2}) = (0,2)$, وهي إحداثيات D. إذن D منتصف [FB].
ليكن $(O;I;J)$ معينًا متعامدًا. عين النقاط $A(-1;0)$، $B(1;4)$، $C(3;0)$.
1) بيّن أن النقطة $I$ منتصف $[AC]$.
2) لتكن $D$ مناظرة $B$ بالنسبة لـ $I$. أوجد إحداثيات $D$.
3) بيّن أن $ABCD$ متوازي أضلاع، وأن $(AC) \perp (BD)$, واستنتج أن $AB=AD$.
4) ما هي مجموعة النقاط $M(x;y)$ حيث $x=1$ و $-4 \le y \le 4$؟
للمنتصف: تذكر أن إحداثيات I هي $(1,0)$.
للتناظر: إذا كانت D مناظرة B بالنسبة لـ I، فإن I هي منتصف [BD].
للتعامد: حدد طبيعة كل مستقيم (هو مستقيم مواز لـ (OI) أم عمودي).
للمعين: متوازي أضلاع قطراه متعامدان هو معين. في المعين، كل الأضلاع متقايسة.
لمجموعة النقاط: ترجم الشروط إلى شكل هندسي.
1) احسب إحداثيات منتصف [AC] وقارنها بإحداثيات I.
2) استخدم صيغة المنتصف بشكل عكسي على [BD] لإيجاد إحداثيات D.
3) الرباعي ABCD هو متوازي أضلاع لأن قطريه لهما نفس المنتصف I. بيّن أن (AC) هو مستقيم مواز لـ (OI) و (BD) عمودي. استنتج أنه معين، وبالتالي أضلاعه متقايسة.
4) المستقيم $x=1$ عمودي. الشرط على y يحدد قطعة من هذا المستقيم. حدد نقطتي البداية والنهاية.
1) I منتصف [AC]: منتصف [AC] هو $(\frac{-1+3}{2}, \frac{0+0}{2}) = (1,0)$, وهي إحداثيات I.
2) إحداثيات D: I منتصف [BD]. $1 = \frac{1+x_D}{2} \implies x_D=1$. $0 = \frac{4+y_D}{2} \implies y_D=-4$. إذن $D(1;-4)$.
3) ABCD معين و AB=AD: بما أن قطريه [AC] و [BD] لهما نفس المنتصف I، فهو متوازي أضلاع. (AC) هو مستقيم مواز لـ (OI) و (BD) عمودي، إذن $(AC) \perp (BD)$. متوازي أضلاع قطراه متعامدان هو معين. في المعين كل الأضلاع متقايسة، إذن $AB=AD$.
4) مجموعة النقاط: هي قطعة المستقيم التي تصل بين النقطة $(1,-4)$ (النقطة D) والنقطة $(1,4)$ (النقطة B). إذن هي قطعة المستقيم $[BD]$.
ليكن $(O;I;J)$ معينًا متعامدًا. عين النقطتين $A(-4;3)$ و $C(2;-1)$.
1) لتكن $M$ منتصف $[AC]$. ابحث عن إحداثيات $M$.
2) أوجد إحداثيات النقطة $B$ مناظرة $A$ بالنسبة إلى $(OJ)$.
3) لتكن $D$ مناظرة $B$ بالنسبة إلى $M$. أوجد إحداثيات $D$ وبيّن أن $ABCD$ متوازي أضلاع.
للتناظر المحوري (OJ): $(x,y) \to (-x,y)$.
للتناظر المركزي M: M هي منتصف القطعة. استخدم هذه الخاصية لإيجاد D.
لمتوازي الأضلاع: يكفي أن تبيّن أن القطرين لهما نفس المنتصف. لقد تم بناء الرباعي بهذه الطريقة!
1) طبق قاعدة المنتصف على A و C لإيجاد M.
2) طبق قاعدة التناظر بالنسبة لمحور التراتيب (OJ) على A لإيجاد B.
3) استخدم صيغة المنتصف بشكل عكسي على [BD] لإيجاد D. ثم استنتج أن ABCD متوازي أضلاع بما أن قطريه [AC] و [BD] يتقاطعان في منتصفهما M.
1) إحداثيات M: $M(\frac{-4+2}{2}, \frac{3-1}{2}) = M(-1,1)$.
2) إحداثيات B: B مناظرة A بالنسبة لـ(OJ). $x_B = -x_A = 4$, $y_B = y_A = 3$. إذن $B(4;3)$.
3) إحداثيات D و طبيعة الرباعي: M منتصف [BD].
$-1 = \frac{4+x_D}{2} \implies x_D = -6$.
$1 = \frac{3+y_D}{2} \implies y_D = -1$.
إذن $D(-6;-1)$.
بما أن M منتصف [AC] (من السؤال 1) و M منتصف [BD] (بحكم التناظر)، فإن قطري الرباعي ABCD لهما نفس المنتصف M. إذن $ABCD$ متوازي أضلاع.