للمنتصف: تذكر القاعدة \( K\left( \frac{x_B + x_D}{2}, \frac{y_B + y_D}{2} \right) \).
حساب إحداثيات K:
إحداثيات K:
\( x_K = \frac{-2 + 3}{2} = 0.5 \).
\( y_K = \frac{-1 + 5}{2} = 2 \).
إذن، \( K(0.5, 2) \).
للمناظرة: إذا كانت \( A' \) مناظرة \( A \) بالنسبة لـ \( C \)، فهذا يعني أن \( C \) هي منتصف \( [AA'] \). استخدم قاعدة المنتصف بشكل عكسي لإيجاد إحداثيات \( A' \).
حساب إحداثيات A':
إحداثيات A':
\( x_{A'} = 2(-2) - 3 = -7 \).
\( y_{A'} = 2(5) - (-1) = 11 \).
إذن، \( A'(-7, 11) \).
للسؤال 1:
للسؤال 2:
للسؤال 3:
1) إثبات التوازي والتعامد:
2) إثبات أن ABCD متوازي أضلاع ومستطيل:
3) إحداثيات G:
1) أ. \( (AD) // (OJ) \):
\( (AD) \) عمودي (نفس الفاصلة \( \sqrt{3} \))، و \( (OJ) \) عمودي. إذن هما متوازيان.
1) ب. \( (AD) \perp (OI) \):
\( (AD) \) عمودي و \( (OI) \) هو مستقيم مواز لـ (OI). إذن هما متعامدان.
1) ج. \( (AD) // (BC) \):
\( (AD) \) عمودي و \( (BC) \) عمودي (نفس الفاصلة -4). إذن هما متوازيان.
2) أ. ABCD متوازي أضلاع:
بينا أن \( (AD) // (BC) \). وبالمثل، \( (AB) \) هو مستقيم مواز لـ (OI) و \( (DC) \) هو مستقيم مواز لـ (OI)، إذن \( (AB) // (DC) \). بما أن كل ضلعين متقابلين متوازيان، فهو متوازي أضلاع.
2) ب. ABCD مستطيل:
\( (AB) \) هو مستقيم مواز لـ (OI) و \( (AD) \) عمودي، إذن الزاوية في A قائمة. متوازي أضلاع بزاوية قائمة هو مستطيل.
3) إحداثيات G:
المستقيم المار من \( J(0,1) \) والموازي لـ \( (OI) \) هو مستقيم مواز لـ (OI) \( y=1 \).
المستقيم \( (AD) \) هو مستقيم يوازي محور التراتيب (OJ) \( x=\sqrt{3} \).
إذن، إحداثيات G هي \( (\sqrt{3}, 1) \).
ليكن $(O;I;J)$ معينًا متعامدًا في المستوي و $OI=OJ$.
ولتكن النقاط: $A(3;-1)$، $B(-2;-1)$، $C(-2;5)$ و $D(3;5)$.
1) حدد إحداثيات النقطة $K$ منتصف القطعة $[BD]$.
2) حدد إحداثيات النقطة $A'$ مناظرة النقطة $A$ بالنسبة إلى $C$.
للمنتصف: تذكر القاعدة $K\left(\frac{x_B + x_D}{2}, \frac{y_B + y_D}{2}\right)$.
للمناظرة: إذا كانت $A'$ مناظرة $A$ بالنسبة لـ $C$، فهذا يعني أن $C$ هي منتصف $[AA']$. استخدم قاعدة المنتصف بشكل عكسي لإيجاد إحداثيات $A'$.
1) إحداثيات K:
طبق مباشرة قاعدة المنتصف على إحداثيات $B(-2;-1)$ و $D(3;5)$.
2) إحداثيات 'A:
لتكن إحداثيات $A'$ هي $(x'; y')$. اكتب معادلتي المنتصف: $x_C = \frac{x_A + x'}{2}$ و $y_C = \frac{y_A + y'}{2}$.
عوض بالإحداثيات المعلومة لـ A و C ثم حل المعادلتين لإيجاد $x'$ و $y'$.
1) إحداثيات النقطة K منتصف [BD]:
$x_K = \frac{-2 + 3}{2} = \frac{1}{2}$
$y_K = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2$
إذن، إحداثيات $K$ هي $\left(\frac{1}{2}; 2\right)$.
2) إحداثيات النقطة 'A:
النقطة $C$ هي منتصف $[AA']$.
$-2 = \frac{3 + x'}{2} \implies -4 = 3 + x' \implies x' = -7$
$5 = \frac{-1 + y'}{2} \implies 10 = -1 + y' \implies y' = 11$
إذن، إحداثيات $A'$ هي $(-7; 11)$.
ليكن $(O;I;J)$ معينًا متعامدًا والنقاط: $A(-4;-2)$، $B(-1;-4)$، $C(4;-2)$، $D(4;2)$، $E(1;4)$، $F(-4;2)$، $G(2;0)$.
1) أذكر من بين النقاط السابقة: أ- المتناظرة بالنسبة إلى $(OI)$، ب- المتناظرة بالنسبة إلى $(OJ)$، ج- المتناظرة بالنسبة إلى $O$.
2) حدد إحداثيات النقطة $K$ منتصف $[AB]$.
3) اذكر المستقيمات الموازية لـ $(OI)$ و الموازية لـ $(OJ)$.
للتناظر:
- بالنسبة لـ(OI): $(x,y) \to (x,-y)$
- بالنسبة لـ(OJ): $(x,y) \to (-x,y)$
- بالنسبة لـ O: $(x,y) \to (-x,-y)$
للمنتصف: طبق القاعدة.
للتوازي:
- مواز لـ(OI): مستقيم هو مستقيم مواز لـ (OI) (نقاط لها نفس الترتيب).
- مواز لـ(OJ): مستقيم عمودي (نقاط لها نفس الفاصلة).
1) التناظر:
أ- ابحث عن أزواج نقاط لها نفس الفاصلة وترتيبان متقابلان.
ب- ابحث عن أزواج نقاط لها فاصلتان متقابلتان ونفس الترتيب.
ج- ابحث عن أزواج نقاط لها فاصلتان متقابلتان وترتيبان متقابلان.
2) المنتصف: طبق القاعدة مباشرة على A و B.
3) التوازي:
أ- افحص كل أزواج النقاط وابحث عن تلك التي لها نفس الترتيب لتجد المستقيمات الهو مستقيم مواز لـ (OI)ة.
ب- افحص كل أزواج النقاط وابحث عن تلك التي لها نفس الفاصلة لتجد المستقيمات العمودية.
1) أ- التناظر بالنسبة لـ (OI): $A(-4;-2)$ و $F(-4;2)$ ؛ $C(4;-2)$ و $D(4;2)$.
1) ب- التناظر بالنسبة لـ (OJ): $A(-4;-2)$ و $C(4;-2)$ ؛ $F(-4;2)$ و $D(4;2)$.
1) ج- التناظر بالنسبة لـ O: $A(-4;-2)$ و $D(4;2)$ ؛ $F(-4;2)$ و $C(4;-2)$.
2) منتصف [AB]: $K\left(\frac{-4-1}{2}, \frac{-2-4}{2}\right) = K\left(-\frac{5}{2}, -3\right)$.
3) المستقيمات الموازية لـ (OI) (هو مستقيم مواز لـ (OI)ة): (AC) و (DF).
3) المستقيمات الموازية لـ (OJ) (عمودية): (AF) و (CD).
ليكن $(O;I;J)$ معينًا متعامدًا والنقاط: $A(\sqrt{3};-2)$، $B(-4;-2)$، $C(-4;\frac{3}{2})$ و $D(\sqrt{3};\frac{3}{2})$.
1) ما هي الوضعية النسبية للمستقيمين: أ) $(AD)$ و $(OJ)$؟ ب) $(AD)$ و $(OI)$؟ ج) $(AD)$ و $(BC)$؟
2) أ) بيّن أن الرباعي $ABCD$ متوازي أضلاع. ب) بيّن أنه مستطيل.
3) لتكن $G$ نقطة تقاطع المستقيم المار من $J$ والموازي لـ $(OI)$ والمستقيم $(AD)$. ما هي إحداثيات $G$؟
للوضعيات النسبية: حدد طبيعة كل مستقيم (هو مستقيم مواز لـ (OI) أم عمودي) من خلال مقارنة إحداثيات النقاط. (OI) هو هو مستقيم مواز لـ (OI) و (OJ) هو عمودي.
للمستطيل: أثبت أولاً أنه متوازي أضلاع (مثلاً بإثبات أن كل ضلعين متقابلين متوازيان)، ثم أثبت وجود زاوية قائمة (بتبيين أن ضلعين متجاورين أحدهما هو مستقيم مواز لـ (OI) والآخر عمودي).
لنقطة التقاطع G: اكتب معادلة كل من المستقيمين المذكورين. إحداثيات G تحقق المعادلتين معاً.
1) الوضعيات النسبية:
أ- حدد طبيعة (AD) وقارنها بـ(OJ).
ب- حدد طبيعة (AD) وقارنها بـ(OI).
ج- حدد طبيعة (AD) و(BC) وقارنهما.
2) المستطيل:
أ- أثبت أن (AD)//(BC) و (AB)//(DC).
ب- بيّن أن (AB) هو مستقيم مواز لـ (OI) و (AD) عمودي، إذن فهما متعامدان.
3) إحداثيات G:
أ- المستقيم المار من $J(0;1)$ والموازي لـ (OI) هو مستقيم مواز لـ (OI) ؟
ب- المستقيم (AD) هو مستقيم يوازي محور التراتيب (OJ) ؟
ج- حل جملة المعادلتين لإيجاد إحداثيات G.
1) أ. $(AD) // (OJ)$: (AD) عمودي (نفس الفاصلة $\sqrt{3}$)، و (OJ) عمودي. إذن هما متوازيان.
1) ب. $(AD) \perp (OI)$: (AD) عمودي و (OI) هو مستقيم مواز لـ (OI). إذن هما متعامدان.
1) ج. $(AD) // (BC)$: (AD) عمودي و (BC) عمودي (نفس الفاصلة -4). إذن هما متوازيان.
2) أ. $ABCD$ متوازي أضلاع: بينا أن $(AD) // (BC)$. وبالمثل، (AB) هو مستقيم مواز لـ (OI) و (DC) هو مستقيم مواز لـ (OI)، إذن $(AB) // (DC)$. بما أن كل ضلعين متقابلين متوازيان، فهو متوازي أضلاع.
2) ب. $ABCD$ مستطيل: (AB) هو مستقيم مواز لـ (OI) و (AD) عمودي، إذن الزاوية في A قائمة. متوازي أضلاع بزاوية قائمة هو مستطيل.
3) إحداثيات G: المستقيم المار من J ومواز لـ(OI) هو مستقيم مواز لـ (OI) $y=1$. المستقيم (AD) هو مستقيم يوازي محور التراتيب (OJ) $x=\sqrt{3}$. إذن، إحداثيات G هي $(\sqrt{3}; 1)$.