1) لإثبات أن مستقيماً هو موسط عمودي لقطعة، يجب إثبات شرطين: التعامد، والمرور من المنتصف.
1) للموسط العمودي:
أ- بيّن أن المستقيم \( (AB) \) مواز لمحور الفواصل:
بما أن \( y_A = y_B = -2 \)، فإن \( (AB) \) هو مستقيم مواز لـ (OI) (مواز لمحور الفواصل \( (OI) \)).
ب- احسب إحداثيات منتصف \( [AB] \):
استخدم صيغة المنتصف: \( \left( \frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2} \right) \).
تحقق مما إذا كانت هذه النقطة تقع على \( (OJ) \) (حيث \( x = 0 \)).
إثبات أن \( (OJ) \) هو الموسط العمودي لـ \( [AB] \):
لدينا \( A(-\sqrt{2} + 1, -2) \) و \( B(\sqrt{2} - 1, -2) \).
أ) التعامد:
بما أن \( y_A = y_B = -2 \)، فإن \( (AB) \) هو مستقيم مواز لـ (OI) ( \( y = -2 \)).
\( (OJ) \) هو محور التراتيب (عمودي، \( x = 0 \))، لذا \( (AB) \perp (OJ) \).
ب) المرور من المنتصف:
إحداثيات منتصف \( [AB] \):
\( x_{\text{منتصف}} = \frac{(-\sqrt{2} + 1) + (\sqrt{2} - 1)}{2} = \frac{0}{2} = 0 \).
\( y_{\text{منتصف}} = \frac{-2 + (-2)}{2} = -2 \).
منتصف \( [AB] \) هو \( (0, -2) \)، والذي يقع على \( (OJ) \) (حيث \( x = 0 \)).
إذن، \( (OJ) \) هو الموسط العمودي لـ \( [AB] \).
2) تذكر خاصية الموسط العمودي: كل نقطة تنتمي إليه تكون متساوية البعد عن طرفي القطعة.
إثبات أن \( KA = KB \):
النقطة \( K(0, \frac{9}{7}) \) لها \( x = 0 \)، لذا تقع على \( (OJ) \).
بما أن \( (OJ) \) هو الموسط العمودي لـ \( [AB] \)، فإن أي نقطة على \( (OJ) \) متساوية البعد عن \( A \) و \( B \).
هذا يكفي للبرهان: لا حاجة لحساب \( KA \) و \( KB \)، وهما قطعتان مائلتان لا صيغة لطولهما في هذا المستوى.
إثبات أن \( KA = KB \):
لدينا \( K(0, \frac{9}{7}) \), \( A(-\sqrt{2} + 1, -2) \), \( B(\sqrt{2} - 1, -2) \).
بما أن \( x_K = 0 \)، فإن \( K \) تقع على \( (OJ) \).
بما أن \( (OJ) \) هو الموسط العمودي لـ \( [AB] \)، فإن \( KA = KB \).
التحقق بالحساب:
\( KA = \sqrt{(0 - (-\sqrt{2} + 1))^2 + \left(\frac{9}{7} - (-2)\right)^2} = \sqrt{(\sqrt{2} - 1)^2 + \left(\frac{23}{7}\right)^2} \).
\( KB = \sqrt{(0 - (\sqrt{2} - 1))^2 + \left(\frac{9}{7} - (-2)\right)^2} = \sqrt{(1 - \sqrt{2})^2 + \left(\frac{23}{7}\right)^2} = \sqrt{(\sqrt{2} - 1)^2 + \left(\frac{23}{7}\right)^2} \).
إذن، \( KA = KB \).
1) في المعين \( (A,D,C) \):
2) في المعين \( (B,A,D) \): استخدم نفس الخاصية مع الإحداثيات الجديدة.
1) في المعين \( (A,D,C) \):
\( O \) منتصف القطر \( [AC] \).
استخدم صيغة المنتصف: \( \left( \frac{x_A + x_C}{2}, \frac{y_A + y_C}{2} \right) \).
2) في المعين \( (B,A,D) \):
\( O \) منتصف القطر \( [AD] \) أو استخدم الإحداثيات الجديدة.
1) إحداثيات \( O \) في المعين \( (A,D,C) \):
\( O \) هو منتصف القطر \( [AC] \).
إحداثيات \( O \) هي \( (0, \frac{1}{2}) \).
2) إحداثيات \( O \) في المعين \( (B,A,D) \):
إحداثيات \( O \) هي \( (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) \).
ليكن $(O,I,J)$ معيناً متعامداً في المستوي والنقاط $A(-\sqrt{2}+1; -2)$ و $B(\sqrt{2}-1; -2)$.
1) بيّن أن $(OJ)$ هو الموسط العمودي لـ $[AB]$.
2) لتكن النقطة $K(0; \frac{9}{7})$. بيّن أن $KA = KB$.
1) لإثبات أن مستقيماً هو موسط عمودي لقطعة، يجب إثبات شرطين: التعامد، والمرور من المنتصف.
2) تذكر خاصية الموسط العمودي: كل نقطة تنتمي إليه تكون متساوية البعد عن طرفي القطعة.
1) للموسط العمودي:
أ- بيّن أن المستقيم $(AB)$ مواز لمحور الفواصل. استنتج أنه يعامد $(OJ)$.
ب- احسب إحداثيات منتصف $[AB]$. تحقق مما إذا كانت هذه النقطة تنتمي إلى $(OJ)$ (فاصلتها تساوي 0).
2) لتساوي المسافتين:
أ- تحقق من أن النقطة K تنتمي للمستقيم $(OJ)$.
ب- بما أن $(OJ)$ هو الموسط العمودي لـ $[AB]$، استنتج مباشرة تساوي المسافتين $KA$ و $KB$.
1) $(OJ)$ موسط عمودي لـ $[AB]$:
لدينا $y_A = y_B = -2$, إذن $(AB)$ مستقيم مواز لمحور الفواصل. بما أن $(OJ)$ مواز لمحور التراتيب، فإن $(OJ) \perp (AB)$.
منتصف $[AB]$ هو $M(\frac{-\sqrt{2}+1+\sqrt{2}-1}{2}, \frac{-2-2}{2}) = M(0, -2)$. بما أن فاصلة M هي 0, فإن $M \in (OJ)$.
إذن $(OJ)$ هو الموسط العمودي لـ $[AB]$.
2) $KA=KB$:
لدينا $K(0, \frac{9}{7})$. فاصلتها 0, إذن $K \in (OJ)$.
بما أن K تنتمي للموسط العمودي لـ $[AB]$, فإنها متساوية البعد عن طرفي القطعة. إذن، $KA=KB$.
ليكن $(O,I,J)$ معيناً متعامداً في المستوي والنقاط: $A(1; 2), B(4; 2), C(4; -3)$ و $D(1; -3)$.
1) بيّن أن الرباعي $ABCD$ مستطيل.
2) بيّن أن: $AC = BD$.
1) لإثبات أن رباعياً هو مستطيل، يمكنك إثبات أنه متوازي أضلاع وبه زاوية قائمة. كيف تبرهن أن ضلعين متجاورين متعامدان؟
2) ما هي الخاصية المميزة لقطري المستطيل؟
1) لإثبات أنه مستطيل:
أ- بيّن أن $(AB)$ و $(DC)$ موازيان لمحور الفواصل، وأن $(AD)$ و $(BC)$ موازيان لمحور التراتيب. استنتج أنه متوازي أضلاع.
ب- بما أن $(AB)$ مواز لمحور الفواصل و $(AD)$ مواز لمحور التراتيب، استنتج وجود زاوية قائمة.
2) لتساوي القطرين:
بما أنك أثبت أنه مستطيل، استنتج مباشرة الخاصية المتعلقة بقطريه.
1) $ABCD$ مستطيل:
$(AB)$ مواز لمحور الفواصل ($y=2$) و $(DC)$ مواز لمحور الفواصل ($y=-3$) $\implies (AB)//(DC)$.
$(AD)$ مواز لمحور التراتيب ($x=1$) و $(BC)$ مواز لمحور التراتيب ($x=4$) $\implies (AD)//(BC)$.
إذن $ABCD$ متوازي أضلاع.
بما أن $(AB)$ مواز لمحور الفواصل و $(AD)$ مواز لمحور التراتيب، فهما متعامدان. إذن $ABCD$ متوازي أضلاع به زاوية قائمة، فهو مستطيل.
2) $AC=BD$:
من خصائص المستطيل أن قطريه متقايسان. بما أن $ABCD$ مستطيل, فإن $AC = BD$.
ليكن $(O,I,J)$ معيناً متعامداً في المستوي والنقاط: $A(1; 5)$, $B(\frac{5}{3}; 5)$ و $C(\frac{5}{3}; \sqrt{2})$.
1) بيّن أن المثلث $ABC$ مثلث قائم.
2) احسب البعد $AB$.
1) لإثبات أن مثلثاً قائم، بيّن أن ضلعين منه متعامدان. ابحث عن ضلع مواز لمحور الفواصل وآخر مواز لمحور التراتيب.
2) لحساب البعد بين نقطتين على مستقيم مواز لمحور الفواصل، ما هي القاعدة البسيطة التي يمكن استخدامها؟
1) للمثلث القائم:
أ- حدد طبيعة المستقيم $(AB)$ من خلال ترتيبي A و B.
ب- حدد طبيعة المستقيم $(BC)$ من خلال فاصلتي B و C.
ج- استنتج العلاقة بين $(AB)$ و $(BC)$.
2) لحساب البعد:
بما أن $(AB)$ مواز لمحور الفواصل، فإن $AB = |x_B - x_A|$. قم بالحساب.
1) المثلث $ABC$ قائم:
لدينا $y_A = y_B = 5$, إذن $(AB)$ مواز لمحور الفواصل.
لدينا $x_B = x_C = \frac{5}{3}$, إذن $(BC)$ مواز لمحور التراتيب.
بما أن $(AB) \perp (BC)$, فإن المثلث $ABC$ قائم في $B$.
2) البعد $AB$:
$AB = |x_B - x_A| = |\frac{5}{3} - 1| = |\frac{5-3}{3}| = |\frac{2}{3}| = \frac{2}{3}$.
إذن، $AB = \frac{2}{3}$.
ليكن $(O,I,J)$ معيناً متعامداً حيث $OI = OJ$ والنقاط: $A(5; 3), B(0; 3), C(0; -2)$ و $D(5; -2)$.
بيّن أن الرباعي $ABCD$ مربع.
لإثبات أن رباعياً هو مربع، يمكنك إثبات أنه مستطيل (أنظر التمرين 10) ثم إثبات أن له ضلعين متجاورين متقايسين.
1. إثبات أنه مستطيل:
$(AB)$ مواز لمحور الفواصل ($y=3$), $(DC)$ مواز لمحور الفواصل ($y=-2$) $\implies (AB)//(DC)$.
$(BC)$ مواز لمحور التراتيب ($x=0$), $(AD)$ مواز لمحور التراتيب ($x=5$) $\implies (BC)//(AD)$.
إذن $ABCD$ متوازي أضلاع. وبما أن $(AB) \perp (AD)$, فهو مستطيل.
2. إثبات تقايس ضلعين متجاورين:
الطول $AB = |x_B - x_A| = |0-5| = 5$.
الطول $AD = |y_D - y_A| = |-2-3| = 5$.
لدينا $AB = AD$.
الاستنتاج: بما أن $ABCD$ مستطيل وله ضلعان متجاوران متقايسان، فهو مربع.
ليكن $(O,I,J)$ معيناً متعامداً حيث $OI = OJ$ والنقاط: $I(1;0), J(0;1), K(-1; 0)$ و $L(0; -1)$.
بيّن أن الرباعي $IJKL$ مربع.
لإثبات أن رباعياً هو مربع، يمكنك استخدام خصائص قطريه. ما هي خصائص قطري المربع؟ (المنتصف، التعامد، التقايس).
1. المنتصف:
منتصف $[IK]$ هو $(\frac{1-1}{2}, \frac{0+0}{2}) = (0,0) = O$.
منتصف $[JL]$ هو $(\frac{0+0}{2}, \frac{1-1}{2}) = (0,0) = O$.
إذن $IJKL$ متوازي أضلاع.
2. التعامد والتقايس:
$(IK)$ هو محور الفواصل (مواز لمحور الفواصل). $(JL)$ هو محور التراتيب (مواز لمحور التراتيب). إذن القطران متعامدان، فالرباعي معين.
$IK = |-1-1| = 2$. $JL = |-1-1| = 2$. القطران متقايسان.
الاستنتاج: بما أن $IJKL$ معين وقطراه متقايسان، فهو مربع.
ليكن $(O,I,J)$ معيناً في المستوي والنقطة $A(1;1)$.
ما هي إحداثيات النقطة $O$ في المعين $(A,I,J)$؟
في المعين الجديد $(A,I,J)$, النقطة $A$ هي المبدأ الجديد. للحصول على الإحداثيات الجديدة لنقطة $M$، اطرح إحداثيات المبدأ الجديد $A$ من إحداثيات $M$.
نبحث عن إحداثيات $O$ في المعين $(A,I,J)$ الذي مبدؤه $A$.
نطرح إحداثيات $A$ من إحداثيات $O$ : $(x_O - x_A \,;\, y_O - y_A) = (0-1 \,;\, 0-1) = (-1 \,;\, -1)$.
إذن، إحداثيات $O$ في المعين $(A,I,J)$ هي $(-1;-1)$.
ليكن $ABCD$ متوازي أضلاع.
1) ما هي إحداثيات النقطة $B$ في المعين $(A,D,C)$؟
2) ما هي إحداثيات النقطة $B$ في المعين $(A,C,D)$؟
استعمل خاصية القطرين (الدرس 7): في متوازي الأضلاع $ABCD$, القطران $[AC]$ و $[BD]$ لهما نفس المنتصف. ابدأ بكتابة إحداثيات $A$ و $C$ و $D$ في المعين المطلوب، ثم استخرج $B$.
1) في المعين $(A,D,C)$: المبدأ هو $A(0;0)$, نقطة الوحدة على محور الفواصل هي $D(1;0)$, وعلى محور التراتيب هي $C(0;1)$.
2) في المعين $(A,C,D)$: المبدأ هو $A(0;0)$, نقطة الوحدة على محور الفواصل هي $C(1;0)$, وعلى محور التراتيب هي $D(0;1)$.
في كلّ حالة: احسب منتصف $[AC]$، ثم استنتج $B$ من كون هذا المنتصف هو أيضا منتصف $[BD]$.
في متوازي الأضلاع $ABCD$, القطران $[AC]$ و $[BD]$ لهما نفس المنتصف (الدرس 7). نستعمل هذه الخاصية في كلّ معين.
1) في المعين $(A,D,C)$: لدينا $A(0;0)$, $D(1;0)$, $C(0;1)$.
منتصف $[AC] = \left(\dfrac{0+0}{2} \,;\, \dfrac{0+1}{2}\right) = \left(0 \,;\, \dfrac{1}{2}\right)$.
هذا المنتصف هو أيضا منتصف $[BD]$, إذن $x_B = 2(0) - 1 = -1$ و $y_B = 2\left(\dfrac{1}{2}\right) - 0 = 1$.
إذن إحداثيات $B$ هي $(-1 \,;\, 1)$.
2) في المعين $(A,C,D)$: لدينا $A(0;0)$, $C(1;0)$, $D(0;1)$.
منتصف $[AC] = \left(\dfrac{0+1}{2} \,;\, \dfrac{0+0}{2}\right) = \left(\dfrac{1}{2} \,;\, 0\right)$.
هذا المنتصف هو أيضا منتصف $[BD]$, إذن $x_B = 2\left(\dfrac{1}{2}\right) - 0 = 1$ و $y_B = 2(0) - 1 = -1$.
إذن إحداثيات $B$ هي $(1 \,;\, -1)$.
ليكن $ABCD$ متوازي أضلاع مركزه $O$.
1) ما هي إحداثيات النقطة $O$ في المعين $(A,D,C)$؟
2) ما هي إحداثيات النقطة $O$ في المعين $(B,A,D)$؟
1) في المعين $(A,D,C)$؟
النقطة $O$ هي مركز متوازي الأضلاع, إذن היא منتصف القطرين. استخدم علاقة المنتصف الشعاعية
1) في المعين $(A,D,C)$: .
2) في المعين $(B,A,D)$:
إحداثيات O هي $(0, \frac{1}{2})$.
2) في المعين $(B,A,D)$:
إحداثيات O هي $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$.