شبه المنحرف هو رباعي له ضلعان متقابلان متوازيان. كيف يمكنك إثبات أن مستقيمين متوازيين باستخدام الإحداثيات؟
الخطوات:
إثبات أن الرباعي OJAB شبه منحرف:
1) طبيعة المستقيم (OJ):
بما أن \( x_O = x_J = 0 \)، فإن المستقيم \( (OJ) \) عمودي ( \( x = 0 \)، وهو محور التراتيب).
2) طبيعة المستقيم (AB):
بما أن \( x_A = x_B = -2 \)، فإن المستقيم \( (AB) \) عمودي ( \( x = -2 \)).
3) مقارنة المستقيمين:
كلا المستقيمين \( (OJ) \) و \( (AB) \) عموديان (موازيان لمحور التراتيب)، إذن \( (OJ) // (AB) \).
4) استنتاج:
الرباعي \( OJAB \) له ضلعان متقابلان متوازيان (\( OJ \) و \( AB \))، لذا فهو شبه منحرف.
لإثبات أن \( IA = IB \):
الخطوات:
إثبات أن \( IA = IB \):
لدينا \( A(-2,\sqrt{3}) \), \( B(-2,-\sqrt{3}) \), و \( I(1,0) \).
الخطوة 1: \( A \) و \( B \) متناظرتان بالنسبة إلى \( (OI) \)
التناظر بالنسبة إلى محور الفواصل \( (OI) \) يحافظ على الفاصلة ويغيّر إشارة الترتيبة (الدرس 6).
• \( x_A = x_B = -2 \) : نفس الفاصلة.
• \( y_A = \sqrt{3} \) و \( y_B = -\sqrt{3} \) : ترتيبتان متقابلتان.
إذن \( B \) هي مناظرة \( A \) بالنسبة إلى \( (OI) \).
الخطوة 2: الاستنتاج
النقطة \( I(1\,;\,0) \) ترتيبتها معدومة، إذن هي تقع على محور التناظر \( (OI) \)، ومناظرتها هي \( I \) نفسها.
والتناظر المحوري يحافظ على الأبعاد، إذن صورة القطعة \( [IA] \) هي القطعة \( [IB] \).
إذن \( IA = IB \) ✓
ملاحظة: القطعتان \( [IA] \) و \( [IB] \) مائلتان، فلا توجد صيغة لحساب طولهما في برنامج هذه السنة. لكنّ التناظر يكفي لإثبات تساويهما دون أيّ حساب.
لإثبات أن المثلث \( OAB \) متقايس الضلعين:
الخطوات:
إثبات أن المثلث OAB متقايس الضلعين:
لدينا \( O(0,0) \), \( A(-2,\sqrt{3}) \), \( B(-2,-\sqrt{3}) \).
النقطتان \( A \) و \( B \) لهما نفس الفاصلة \( x = -2 \) وترتيبتان متقابلتان (\( \sqrt{3} \) و \( -\sqrt{3} \))، إذن هما متناظرتان بالنسبة لمحور الفواصل \( (OI) \).
النقطة \( O(0\,;\,0) \) ترتيبتها معدومة، إذن هي تقع على محور التناظر \( (OI) \)، ومناظرتها هي \( O \) نفسها.
والتناظر المحوري يحافظ على الأبعاد، إذن صورة القطعة \( [OA] \) هي القطعة \( [OB] \)، ومنه \( OA = OB \).
إذن المثلث \( OAB \) متقايس الضلعين في الرأس \( O \) ✓
ملاحظة: نفس المبدأ : \( [OA] \) و \( [OB] \) مائلتان ولا تُحسبان في هذا المستوى، لكنّ التناظر يثبت تساويهما مباشرة.
ليكن (O,I,J) معينا في المستوي و النقاط \( A(-2, \sqrt{3}) \) و \( B(-2, -\sqrt{3}) \).
بيّن أنّ الرباعي OJAB شبه منحرف.
شبه المنحرف هو رباعي له ضلعان متقابلان متوازيان. كيف يمكنك إثبات أن مستقيمين متوازيين باستخدام الإحداثيات؟ فكر في المستقيمات الهو مستقيم مواز لـ (OI)ة والعمودية.
لدينا \( O(0,0) \), \( J(0,1) \), \( A(-2, \sqrt{3}) \), \( B(-2, -\sqrt{3}) \).
المستقيم \( (OJ) \) يمر بنقطتين لهما نفس الفاصلة (0)، إذن هو مستقيم يوازي محور التراتيب (OJ).
المستقيم \( (AB) \) يمر بنقطتين لهما نفس الفاصلة (-2)، إذن هو مستقيم يوازي محور التراتيب (OJ).
بما أن المستقيمين \( (OJ) \) و \( (AB) \) كلاهما عموديان، فإنهما متوازيان. وبما أن للرباعي OJAB ضلعين متقابلين متوازيين، فهو شبه منحرف.
ليكن (O,I,J) معينا في المستوي و النقاط \( A(3, \sqrt{3}) \), \( B(-2, -\sqrt{5}) \), \( C(\frac{7}{4}, -\sqrt{5}) \), و \( D(-2.5, \sqrt{3}) \).
بيّن أنّ الرباعي ACBD شبه منحرف.
لإثبات أن الرباعي شبه منحرف، ابحث عن ضلعين متقابلين متوازيين. انتبه إلى ترتيب النقاط في اسم الرباعي (ACBD) لتحديد الأضلاع المتقابلة: (AD) و (CB).
لدينا \( A(3, \sqrt{3}) \) و \( D(-2.5, \sqrt{3}) \). لهما نفس الترتيب \( \sqrt{3} \)، إذن المستقيم (AD) هو مستقيم مواز لـ (OI).
لدينا \( C(\frac{7}{4}, -\sqrt{5}) \) و \( B(-2, -\sqrt{5}) \). لهما نفس الترتيب \( -\sqrt{5} \)، إذن المستقيم (CB) هو مستقيم مواز لـ (OI).
بما أن المستقيمين (AD) و (CB) كلاهما هو مستقيم مواز لـ (OI)ان، فإنهما متوازيان. وعليه، الرباعي ACBD شبه منحرف.
ليكن (O,I,J) معينا في المستوي و النقاط \( A(-1, 4) \), \( B(3, 4) \), \( C(3, -2) \), و \( D(-1, -2) \).
بيّن أنّ الرباعي ABCD متوازي أضلاع.
متوازي الأضلاع هو رباعي فيه كل ضلعين متقابلين متوازيان. يجب عليك إثبات توازي (AB) مع (DC) ثم توازي (AD) مع (BC).
المستقيم (AB) هو مستقيم مواز لـ (OI) (نفس الترتيب 4). المستقيم (DC) هو مستقيم مواز لـ (OI) (نفس الترتيب -2). إذن \((AB) // (DC)\).
المستقيم (AD) عمودي (نفس الفاصلة -1). المستقيم (BC) عمودي (نفس الفاصلة 3). إذن \((AD) // (BC)\).
بما أن كل ضلعين متقابلين متوازيان، فإن الرباعي ABCD متوازي أضلاع. (وهو مستطيل في هذه الحالة).
ليكن (O,I,J) معينا في المستوي و النقاط \( A(-1, 4) \), \( B(\sqrt{3}, -2) \), \( C(1, -4) \), و \( D(-\sqrt{3}, 2) \).
بيّن أنّ الرباعي ABCD متوازي أضلاع.
هناك طريقة أخرى لإثبات أن رباعيا هو متوازي أضلاع: إذا كان لقطريه نفس المنتصف. تذكر قاعدة حساب إحداثيات المنتصف.
منتصف [AC]: \( (\frac{-1+1}{2}, \frac{4-4}{2}) = (\frac{0}{2}, \frac{0}{2}) = (0,0) \). إذن منتصف [AC] هو النقطة O.
منتصف [BD]: \( (\frac{\sqrt{3}-\sqrt{3}}{2}, \frac{-2+2}{2}) = (\frac{0}{2}, \frac{0}{2}) = (0,0) \). إذن منتصف [BD] هو النقطة O.
بما أن للقطرين نفس المنتصف O، فإن الرباعي ABCD متوازي أضلاع.
ليكن (O,I,J) معينا في المستوي و النقاط \( A(-2, -5) \), \( B(-2, -\frac{3}{7}) \), \( C(-\sqrt{5}, \sqrt{3}-2) \), و \( D(0, \sqrt{3}-2) \).
لتكن E نقطة تقاطع (AB) و (CD). حدد إحداثيات النقطة E.
نقطة التقاطع تنتمي لكلا المستقيمين. لاحظ إحداثيات النقاط: ما الإحداثيّة المشتركة بين نقاط كلّ مستقيم ؟ نقاط المستقيم الموازي لمحور التراتيب لها نفس الفاصلة، ونقاط المستقيم الموازي لمحور الفواصل لها نفس الترتيبة.
المستقيم (AB) يمر من \( A(-2, ...) \) و \( B(-2, ...) \). لهما نفس الفاصلة، إذن (AB) مستقيم عمودي \( x = -2 \).
المستقيم (CD) يمر من \( C(..., \sqrt{3}-2) \) و \( D(..., \sqrt{3}-2) \). لهما نفس الترتيب، إذن (CD) مستقيم هو مستقيم مواز لـ (OI) \( y = \sqrt{3}-2 \).
نقطة التقاطع E تحقق المعادلتين، إذن فاصلتها هي -2 وترتيبها هو \( \sqrt{3}-2 \). إحداثيات E هي \( (-2, \sqrt{3}-2) \).
ليكن (O,I,J) معينا في المستوي و النقاط \( A(-3, 1) \), \( B(\frac{7}{3}, -1) \), \( C(7, 5) \), \( D(\frac{5}{3}, 7) \), و \( K(2, 3) \).
1) بيّن أنّ K منتصف [AC].
2) بيّن أنّ الرباعي ABCD متوازي أضلاع.
هذا التمرين يدمج سؤالين مترابطين. استخدم قاعدة المنتصف مرتين. كيف يمكن لنتيجة السؤال الأول أن تساعدك في السؤال الثاني؟
1) منتصف [AC]: \( (\frac{-3+7}{2}, \frac{1+5}{2}) = (\frac{4}{2}, \frac{6}{2}) = (2,3) \). هذه هي إحداثيات K، إذن K منتصف [AC].
2) متوازي الأضلاع: نحسب منتصف [BD]: \( (\frac{\frac{7}{3}+\frac{5}{3}}{2}, \frac{-1+7}{2}) = (\frac{12/3}{2}, \frac{6}{2}) = (\frac{4}{2}, 3) = (2,3) \). منتصف [BD] هو أيضا K.
بما أن للقطرين نفس المنتصف K، فإن الرباعي ABCD متوازي أضلاع.
ليكن (O,I,J) معينا متعامدا في المستوي و النقاط \( A(\sqrt{7}, -\frac{5}{13}) \) و \( B(\sqrt{7}, -\pi) \).
بيّن أنّ \( (AB) \perp (OI) \).
ما هي طبيعة المستقيم (OI) في أي معين؟ وماذا يعني أن يكون المعين "متعامدا"؟ كيف يؤثر ذلك على العلاقة بين المستقيمات الهو مستقيم مواز لـ (OI)ة والعمودية؟
المستقيم (OI) هو محور الفواصل، وهو مستقيم مواز لـ (OI).
المستقيم (AB) يمر بنقطتين لهما نفس الفاصلة \( \sqrt{7} \)، إذن هو مستقيم يوازي محور التراتيب (OJ).
في معين متعامد، كل مستقيم هو مستقيم مواز لـ (OI) يعامد كل مستقيم عمودي. إذن، \( (AB) \perp (OI) \).
ليكن (O,I,J) معينا متعامدا في المستوي و النقاط \( A(\sqrt{2}, -\frac{3}{7}) \) و \( B(\sqrt{2}, \frac{3}{7}) \).
1) بيّن أنّ \( (AB) \perp (OI) \).
2) بيّن أنّ \( IA = IB \).
3) بيّن أنّ المثلث OAB متقايس الضلعين.
للسؤالين 2 و 3: لإثبات أن مثلثا متقايس الضلعين، يمكنك إثبات أن المتوسط المتعلق بأحد الأضلاع هو أيضا ارتفاع. ما هي العلاقة بين النقطتين A و B؟ هل هما متناظرتان بالنسبة لمحور؟
1) (AB) مستقيم عمودي (نفس الفاصلة). (OI) مستقيم هو مستقيم مواز لـ (OI) (محور الفواصل). في معين متعامد، \( (AB) \perp (OI) \).
2) النقطتان A و B لهما نفس الفاصلة وترتيبان متقابلان. إذن، هما متناظرتان بالنسبة لمحور الفواصل (OI). بما أن النقطة I(1,0) تنتمي لمحور التناظر (OI)، فإنها متساوية البعد عن A و B. إذن \( IA = IB \).
3) بنفس الطريقة، النقطة O(0,0) تنتمي لمحور التناظر (OI). إذن، هي متساوية البعد عن A و B، مما يعني أن \( OA = OB \). وبالتالي، المثلث OAB متقايس الضلعين في الرأس O.