نقاط مهمة:
إثبات أن \( (OJ) \) منصف عمودي لـ \( [AB] \):
أ) التعامد:
بما أن \( y_A = y_B = -2 \)، فإن المستقيم \( (AB) \) هو مستقيم مواز لـ (OI).
المنصف العمودي لـ \( (AB) \) يجب أن يكون عموديًا، أي موازيًا لمحور التراتيب \( (OJ) \).
ب) منتصف القطعة:
احسب إحداثيات منتصف \( [AB] \): \( \left( \frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2} \right) \).
تحقق مما إذا كان المنتصف يقع على \( (OJ) \) (حيث \( x = 0 \)).
إثبات أن \( (OJ) \) منصف عمودي لـ \( [AB] \):
لدينا \( A(-\sqrt{2} + 1, -2) \) و \( B(\sqrt{2} - 1, -2) \).
أ) التعامد:
بما أن \( y_A = y_B = -2 \)، فإن \( (AB) \) هو مستقيم مواز لـ (OI) ( \( y = -2 \)).
المنصف العمودي لـ \( (AB) \) يجب أن يكون عموديًا، أي موازيًا لمحور التراتيب \( (OJ) \) (حيث \( x = 0 \)).
ب) منتصف القطعة:
إحداثيات منتصف \( [AB] \):
\( x_{\text{منتصف}} = \frac{(-\sqrt{2} + 1) + (\sqrt{2} - 1)}{2} = \frac{-\sqrt{2} + 1 + \sqrt{2} - 1}{2} = \frac{0}{2} = 0 \).
\( y_{\text{منتصف}} = \frac{-2 + (-2)}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \).
منتصف \( [AB] \) هو \( (0, -2) \).
بما أن \( x = 0 \)، فإن المنتصف يقع على \( (OJ) \).
إذن، \( (OJ) \) هو المنصف العمودي لـ \( [AB] \) لأنه عمودي على \( (AB) \) ويمر بمنتصفه.
نقاط مهمة:
إثبات أن \( KA = KB \):
النقطة \( K(0, \frac{9}{7}) \) تقع على \( (OJ) \) (لأن \( x = 0 \)).
بما أن \( (OJ) \) هو المنصف العمودي لـ \( [AB] \)، فإن أي نقطة على \( (OJ) \) متساوية البعد عن \( A \) و \( B \).
هذا يكفي للبرهان: لا حاجة لحساب \( KA \) و \( KB \)، وهما قطعتان مائلتان لا صيغة لطولهما في هذا المستوى.
إثبات أن \( KA = KB \):
لدينا \( K(0, \frac{9}{7}) \), \( A(-\sqrt{2} + 1, -2) \), \( B(\sqrt{2} - 1, -2) \).
بما أن \( K \) تقع على \( (OJ) \) (حيث \( x = 0 \))، و \( (OJ) \) هو المنصف العمودي لـ \( [AB] \)، فإن \( KA = KB \).
للتحقق بالحساب:
\( KA = \sqrt{(0 - (-\sqrt{2} + 1))^2 + \left(\frac{9}{7} - (-2)\right)^2} = \sqrt{(\sqrt{2} - 1)^2 + \left(\frac{9}{7} + 2\right)^2} = \sqrt{(\sqrt{2} - 1)^2 + \left(\frac{23}{7}\right)^2} \).
\( KB = \sqrt{(0 - (\sqrt{2} - 1))^2 + \left(\frac{9}{7} - (-2)\right)^2} = \sqrt{(\sqrt{2} - 1)^2 + \left(\frac{23}{7}\right)^2} \).
بما أن التعبيرين متساويان، فإن \( KA = KB \).
إذن، \( K \) متساوية البعد عن \( A \) و \( B \).
نقاط مهمة:
الهدف: تحديد موقع \( O \) بالنسبة للمحاور الجديدة.
الخطوات:
إيجاد إحداثيات \( O \) في المعين \( (B,A,D) \):
المنهجية:
في المعين \( (B,A,D) \)، نحدد موقع \( O \) بالنسبة للمحورين الجديدين.
الحل:
لدينا \( B(\sqrt{2} - 1, -2) \)، لكنّ نصّ التمرين لا يعرّف النقطة \( D \) في أيّ موضع.
ملاحظة: لا يمكن تحديد إحداثيات \( O \) في المعين \( (B,A,D) \) دون معرفة النقطة \( D \). هذا السؤال ناقص المعطيات ولا يُطلب حلّه.
ليكن $(O,I,J)$ معيناً متعامداً في المستوي والنقاط $A(-\sqrt{2}+1; -2)$ و $B(\sqrt{2}-1; -2)$.
1) بيّن أن $(OJ)$ هو المنصف العمودي لـ $[AB]$.
2) لتكن النقطة $K(0; \frac{9}{7})$. بيّن أن $KA = KB$.
نقاط مهمة:
ابدأ بحساب: إحداثيات منتصف $[AB]$ وتحقق من انتمائه لمحور الترتيب
1) إثبات أن $(OJ)$ منصف عمودي لـ $[AB]$:
أ) التعامد:
بما أن $y_A = y_B = -2$، فإن المستقيم $(AB)$ هو مستقيم مواز لـ (OI).
المستقيم $(OJ)$ هو محور الترتيب (عمودي).
المستقيم الهو مستقيم مواز لـ (OI) والعمودي متعامدان دائماً، إذن $(OJ) \perp (AB)$.
ب) المرور من المنتصف:
منتصف $[AB]$ له الإحداثيات:
$x_M = \frac{(-\sqrt{2}+1) + (\sqrt{2}-1)}{2} = \frac{0}{2} = 0$
$y_M = \frac{-2 + (-2)}{2} = \frac{-4}{2} = -2$
إذن المنتصف $(0, -2)$ ينتمي لمحور الترتيب $(OJ)$.
الجزء 1 - المنصف العمودي:
$(OJ)$ هو المنصف العمودي لـ $[AB]$ لأنه:
الجزء 2 - تساوي المسافات:
بما أن $K(0; \frac{9}{7})$ تنتمي لمحور الترتيب $(OJ)$، وأن $(OJ)$ هو المنصف العمودي لـ $[AB]$، فإن:
$KA = KB$ ✓
خاصية: كل نقطة على المنصف العمودي لقطعة مستقيم متساوية البعد عن طرفي القطعة.
ليكن $(O,I,J)$ معيناً متعامداً في المستوي والنقاط: $A(1; 2), B(4; 2), C(4; -3)$ و $D(1; -3)$.
1) بيّن أن الرباعي $ABCD$ مستطيل.
2) بيّن أن: $AC = BD$.
للمستطيل نحتاج:
لاحظ:
1) إثبات أنه مستطيل:
• إثبات أنه متوازي أضلاع:
- $(AB)$ و $(DC)$ هو مستقيم مواز لـ (OI)ان ← $(AB) \parallel (DC)$
- $(AD)$ و $(BC)$ عموديان ← $(AD) \parallel (BC)$
إذن $ABCD$ متوازي أضلاع.
• إثبات وجود زاوية قائمة:
$(AB)$ هو مستقيم مواز لـ (OI) و $(AD)$ عمودي ← $(AB) \perp (AD)$
إذن الزاوية في $A$ قائمة.
الاستنتاج: $ABCD$ مستطيل.
1) إثبات المستطيل:
$ABCD$ مستطيل لأنه متوازي أضلاع وله زاوية قائمة في $A$.
2) تقايس القطرين:
من خصائص المستطيل أن قطريه متقايسان.
بما أننا أثبتنا في السؤال السابق أن $ABCD$ مستطيل، فإن قطريه $[AC]$ و $[BD]$ متقايسان.
إذن، $AC = BD$ ✓
ليكن $(O,I,J)$ معيناً متعامداً في المستوي والنقاط: $A(1; 5)$, $B(\frac{5}{3}; 5)$ و $C(\frac{5}{3}; \sqrt{2})$.
1) بيّن أن المثلث $ABC$ مثلث قائم.
2) احسب البعد $AB$.
لاحظ الإحداثيات:
للمسافة بين نقطتين على مستقيم هو مستقيم مواز لـ (OI):
المسافة = القيمة المطلقة للفرق بين الفواصل
1) إثبات أن المثلث قائم:
• المستقيم $(AB)$ هو مستقيم مواز لـ (OI) لأن $y_A = y_B = 5$
• المستقيم $(BC)$ عمودي لأن $x_B = x_C = \frac{5}{3}$
• المستقيم الهو مستقيم مواز لـ (OI) والعمودي متعامدان
← الزاوية $ABC$ قائمة
2) حساب المسافة $AB$:
بما أن النقطتين $A$ و $B$ تقعان على مستقيم هو مستقيم مواز لـ (OI):
$AB = |x_B - x_A|$
1) المثلث القائم:
المثلث $ABC$ قائم في $B$ لأن $(AB) \perp (BC)$
2) حساب $AB$:
$$AB = |x_B - x_A| = \left|\frac{5}{3} - 1\right| = \left|\frac{5}{3} - \frac{3}{3}\right| = \left|\frac{2}{3}\right| = \frac{2}{3}$$
إذن، $AB = \frac{2}{3}$ ✓
ليكن $(O,I,J)$ معيناً متعامداً حيث $OI = OJ$ والنقاط: $A(5; 3), B(0; 3), C(0; -2)$ و $D(5; -2)$.
بيّن أن الرباعي $ABCD$ مربع.
لإثبات المربع نحتاج:
أو نستخدم خصائص القطرين:
1. إثبات أنه مستطيل:
• الأضلاع المتقابلة متوازية
• له زاوية قائمة في $A$
2. إثبات تقايس ضلعين متجاورين:
• $AB = |x_B - x_A| = |0 - 5| = 5$
• $AD = |y_D - y_A| = |-2 - 3| = 5$
• $AB = AD$
إثبات أن $ABCD$ مربع:
1. مستطيل:
- $(AB) \parallel (DC)$ و $(AD) \parallel (BC)$ (أضلاع متقابلة متوازية)
- $(AB) \perp (AD)$ (زاوية قائمة في $A$)
← $ABCD$ مستطيل
2. تقايس الأضلاع المتجاورة:
- $AB = 5$ (مسافة هو مستقيم مواز لـ (OI)ة)
- $AD = 5$ (مسافة عمودية)
← $AB = AD$
الاستنتاج: بما أن $ABCD$ مستطيل وله ضلعان متجاوران متقايسان، فهو مربع ✓
ليكن $(O,I,J)$ معيناً متعامداً حيث $OI = OJ$ والنقاط: $I(1;0), J(0;1), K(-1; 0)$ و $L(0; -1)$.
بيّن أن الرباعي $IJKL$ مربع.
لاحظ النقاط:
للمربع: ندرس خصائص القطرين (التناصف، التعامد، التقايس)
1. التناصف:
• منتصف $[IK]$: $(\frac{1+(-1)}{2}; \frac{0+0}{2}) = (0;0) = O$
• منتصف $[JL]$: $(\frac{0+0}{2}; \frac{1+(-1)}{2}) = (0;0) = O$
← القطران متناصفان في $O$
2. التعامد:
• $(IK)$ على محور الفواصل (هو مستقيم مواز لـ (OI))
• $(JL)$ على محور التراتيب (عمودي)
← القطران متعامدان
3. التقايس:
• $IK = |1-(-1)| = 2$
• $JL = |1-(-1)| = 2$
← القطران متقايسان
إثبات أن $IJKL$ مربع:
خصائص القطرين $[IK]$ و $[JL]$:
1. التناصف:
كل من القطرين له نفس المنتصف $O(0;0)$، إذن $IJKL$ متوازي أضلاع.
2. التعامد:
$(IK)$ هو محور الفواصل و $(JL)$ هو محور التراتيب، وهما متعامدان.
متوازي الأضلاع الذي قطراه متعامدان هو معين.
3. التقايس:
$IK = JL = 2$، إذن قطرا المعين متقايسان.
الاستنتاج: المعين $IJKL$ الذي قطراه متقايسان هو مربع ✓
ليكن $(O,I,J)$ معيناً في المستوي والنقطة $A(1;1)$.
ما هي إحداثيات النقطة $O$ في المعين $(A,I,J)$؟
تغيير المعين:
الصيغة:
إذا كانت $M(x;y)$ في المعين الأصلي و $A(a;b)$ المبدأ الجديد، فإن:
إحداثيات $M$ في المعين الجديد هي $(x-a; y-b)$
المعطيات:
• إحداثيات $O$ في المعين الأصلي: $(0;0)$
• إحداثيات $A$ في المعين الأصلي: $(1;1)$
• المطلوب: إحداثيات $O$ في المعين $(A,I,J)$
التطبيق:
الفاصلة الجديدة: $x' = x_O - x_A$
الترتيب الجديد: $y' = y_O - y_A$
حساب إحداثيات $O$ في المعين $(A,I,J)$:
المعطيات:
- $O(0;0)$ في المعين الأصلي $(O,I,J)$
- $A(1;1)$ هو المبدأ الجديد
الحساب:
الفاصلة الجديدة: $x' = x_O - x_A = 0 - 1 = -1$
الترتيب الجديد: $y' = y_O - y_A = 0 - 1 = -1$
النتيجة: إحداثيات $O$ في المعين $(A,I,J)$ هي $(-1; -1)$ ✓
ليكن $ABCD$ متوازي أضلاع.
ما هي إحداثيات النقطة $B$ في المعين $(A,C,D)$؟
المعين $(A,C,D)$:
تذكر: في متوازي الأضلاع $ABCD$، القطران $[AC]$ و $[BD]$ لهما نفس المنتصف.
استخدم هذه الخاصية لإيجاد إحداثيات $B$ انطلاقًا من إحداثيات $A$ و $C$ و $D$.
الهدف: إيجاد إحداثيات $B(x_B;y_B)$ في المعين $(A,C,D)$
الخطوات:
1) في المعين $(A,C,D)$: $A(0;0)$ و $C(1;0)$ و $D(0;1)$
2) $ABCD$ متوازي أضلاع، فالقطران $[AC]$ و $[BD]$ لهما نفس المنتصف:
$x_A + x_C = x_B + x_D$ و $y_A + y_C = y_B + y_D$
3) نستخرج إحداثيات $B$:
$x_B = x_A + x_C - x_D$ و $y_B = y_A + y_C - y_D$
إيجاد إحداثيات $B$ في المعين $(A,C,D)$:
المنهجية:
في المعين $(A,C,D)$ نعتمد إحداثيات النقاط، ثم نستعمل خاصية قطري متوازي الأضلاع.
الحل:
1) في المعين $(A,C,D)$:
$A(0;0)$ و $C(1;0)$ و $D(0;1)$
2) $ABCD$ متوازي أضلاع، إذن القطران $[AC]$ و $[BD]$ لهما نفس المنتصف:
$x_A + x_C = x_B + x_D$ و $y_A + y_C = y_B + y_D$
3) نستخرج إحداثيات $B$:
$x_B = x_A + x_C - x_D = 0 + 1 - 0 = 1$
$y_B = y_A + y_C - y_D = 0 + 0 - 1 = -1$
النتيجة: إحداثيات النقطة $B$ في المعين $(A,C,D)$ هي $(1; -1)$ ✓
ليكن $ABCD$ متوازي أضلاع مركزه $O$.
ما هي إحداثيات النقطة $O$ في المعين $(B,A,D)$؟
المعين $(B,A,D)$:
خاصية مهمة:
$O$ مركز متوازي الأضلاع ← $O$ منتصف القطر $[BD]$
إذن $O$ يقع في منتصف المسافة من $B$ إلى $D$ على المحور الثاني
الهدف: تحديد موقع $O$ بالنسبة للمحاور الجديدة
الخطوات:
1) $O$ هو مركز متوازي الأضلاع $ABCD$
2) إذن $O$ منتصف القطر $[BD]$
3) للانتقال من $B$ إلى $O$:
- لا نتحرك على المحور الأول (من $B$ إلى $A$)
- نتحرك نصف المسافة على المحور الثاني (من $B$ إلى $D$)
إيجاد إحداثيات $O$ في المعين $(B,A,D)$:
المنهجية:
في المعين $(B,A,D)$، نحدد موقع $O$ بالنسبة للمحورين الجديدين
الحل:
1) $O$ هو مركز متوازي الأضلاع $ABCD$
2) من خصائص المركز: $O$ منتصف القطر $[BD]$
3) للانتقال من $B$ إلى $O$:
- المسافة على المحور الأول = $0$ (لا انتقال باتجاه $A$)
- المسافة على المحور الثاني = $\frac{1}{2}$ (نصف المسافة باتجاه $D$)
النتيجة: إحداثيات النقطة $O$ في المعين $(B,A,D)$ هي $(0; \frac{1}{2})$ ✓