التمرين رقم 2: تعيين النقاط والتوازي

💡 مؤشر

للتوازي:

📝 الطريقة

أ) تعيين النقاط:

ب) إثبات التوازي:

✅ الحل الكامل

أ) تعيين النقاط:

النقطة \( A \) لها الإحداثيات \( (2;4) \).

النقطة \( E \) لها الإحداثيات \( (-4;4) \).

ب) إثبات أن \( (EA) \) و \( (OI) \) متوازيان:

المستقيم \( (OI) \) هو محور الفواصل، وهو مستقيم مواز لـ (OI) ( \( y = 0 \)).

لدينا ترتيب النقطة \( A \) هو 4 وترتيب النقطة \( E \) هو 4.

بما أن \( y_A = y_E = 4 \)، فإن المستقيم \( (EA) \) هو مستقيم مواز لـ (OI) \( y = 4 \).

بما أن \( (EA) \) و \( (OI) \) كلاهما مستقيمان يوازيان محور الفاصلات، فهما متوازيان.

التمرين رقم 4: مجموعة النقاط M

💡 مؤشر

تحليل الشروط:

📝 الطريقة

تحليل الشروط:

✅ الحل الكامل

الحل:

الشرط \( x = -4 \) يحدد جميع النقاط التي تقع على المستقيم العمودي المار بالفاصلة -4.

الشرط \( y \leq 2 \) يحدد جميع النقاط التي ترتيبها أصغر من أو يساوي 2، أي النقاط التي تقع على أو أسفل المستقيم الهو مستقيم مواز لـ (OI) \( y = 2 \).

مجموعة النقاط \( M \) التي تحقق الشرطين معًا هي تقاطع هذين الشرطين.

هذه المجموعة هي جميع النقاط على المستقيم العمودي \( x = -4 \) والتي ترتيبها أصغر من أو يساوي 2.

هذه المجموعة تمثل نصف مستقيم.

نعرف أن النقطة \( A \) لها الإحداثيات \( (-4; 2) \).

إذن، مجموعة النقاط هي نصف المستقيم الذي يبدأ من النقطة \( A(-4, 2) \) ويمتد إلى الأسفل على طول المستقيم العمودي \( x = -4 \). وهو يضم القطعة \( [AB] \).

تصحيح التمارين - النسخة التفاعلية

التمرين رقم 2 • التمرين رقم 4
التمرين رقم 2
التمرين الأول

نص التمرين

(O;I;J) معين في المستوى حيث (OI) عمودي على (OJ).

أ) عيّن النقط A(2;4) و E(-4;4).

ب) بيّن أن المستقيمين (EA) و (OI) متوازيان.

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

للتوازي:

  • المستقيم (OI) هو محور الفواصل - هو مستقيم مواز لـ (OI)
  • للتوازي مع محور الفواصل، يجب أن يكون المستقيم هو مستقيم مواز لـ (OI)اً أيضاً
  • المستقيم هو مستقيم مواز لـ (OI) إذا كان لجميع نقاطه نفس الترتيب
  • فحص ترتيبات النقاط A و E

📝 الطريقة

أ) تعيين النقاط:

• النقطة A لها الإحداثيات (2;4) أي فاصلتها 2 وترتيبها 4

• النقطة E لها الإحداثيات (-4;4) أي فاصلتها -4 وترتيبها 4

ب) إثبات التوازي:

• المستقيم (OI) هو محور الفواصل، وهو مستقيم مواز لـ (OI)

• لكي يكون المستقيم (EA) موازياً للمستقيم (OI)، يجب أن يكون هو أيضا مستقيماً هو مستقيم مواز لـ (OI)اً

• يكون المستقيم هو مستقيم مواز لـ (OI)اً إذا كانت لجميع نقاطه نفس الترتيب

✅ الحل الكامل

أ) تعيين النقط:

النقطة A لها الإحداثيات (2;4) أي فاصلتها 2 وترتيبها 4.

النقطة E لها الإحداثيات (-4;4) أي فاصلتها -4 وترتيبها 4.

ب) إثبات أن (EA) و (OI) متوازيان:

المستقيم (OI) هو محور الفواصل، وهو مستقيم مواز لـ (OI).

لكي يكون المستقيم (EA) موازياً للمستقيم (OI)، يجب أن يكون هو أيضا مستقيماً هو مستقيم مواز لـ (OI)اً.

يكون المستقيم هو مستقيم مواز لـ (OI)اً إذا كانت لجميع نقاطه نفس الترتيب.

لدينا ترتيب النقطة A هو 4 وترتيب النقطة E هو 4.

بما أن \( y_A = y_E = 4 \)، فإن المستقيم (EA) هو مستقيم مواز لـ (OI).

بما أن (EA) و (OI) كلاهما مستقيمان يوازيان محور الفاصلات، فهما متوازيان.

حساب المسافة AE
السؤال 2

السؤال

احسب AE.

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

لحساب المسافة:

  • النقطتان A و E على مستقيم هو مستقيم مواز لـ (OI) (نفس الترتيب)
  • المسافة بين نقطتين على مستقيم هو مستقيم مواز لـ (OI) = القيمة المطلقة للفرق بين فاصلتيهما
  • استخدم الصيغة: المسافة = |x₂ - x₁|

📝 الطريقة

حساب المسافة AE:

• النقطتان A(2;4) و E(-4;4) تقعان على مستقيم هو مستقيم مواز لـ (OI)

• المسافة بين نقطتين على مستقيم هو مستقيم مواز لـ (OI) تساوي القيمة المطلقة للفرق بين فاصلتيهما

• نطبق الصيغة: AE = |x_E - x_A|

✅ الحل الكامل

بما أن النقطتين A و E تقعان على مستقيم هو مستقيم مواز لـ (OI) (لهما نفس الترتيب)، فإن المسافة بينهما تساوي القيمة المطلقة للفرق بين فاصلتيهما.

AE = |xE - xA|

AE = |-4 - 2|

AE = |-6|

AE = 6

التمرين رقم 4
التمرين الثاني

نص التمرين

(O, I, J) معين من المستوى بحيث (OI) و (OJ) متعامدان و OI=OJ=1cm.

ارسم النقط A(-4; 2), B(-4; -4), C(4, -4), D(4,3).

السؤال: بيّن أن (AB) // (CD).

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

للتوازي:

  • فحص إحداثيات النقاط A و B
  • فحص إحداثيات النقاط C و D
  • المستقيمان عموديان إذا كانت لنقاطهما نفس الفاصلة
  • مستقيمان عموديان متوازيان فيما بينهما

📝 الطريقة

إثبات أن (AB) // (CD):

• فحص النقطتين A(-4; 2) و B(-4; -4)

• نلاحظ أن للنقطتين A و B نفس الفاصلة x = -4

• إذن، المستقيم (AB) هو مستقيم يوازي محور التراتيب (OJ)

• فحص النقطتين C(4; -4) و D(4; 3)

• نلاحظ أن للنقطتين C و D نفس الفاصلة x = 4

• إذن، المستقيم (CD) هو مستقيم يوازي محور التراتيب (OJ)

✅ الحل الكامل

إثبات أن (AB) // (CD):

لدينا A(-4; 2) و B(-4; -4). نلاحظ أن للنقطتين A و B نفس الفاصلة x = -4.

إذن، المستقيم (AB) هو مستقيم يوازي محور التراتيب (OJ) (يوازي محور التراتيب).

لدينا C(4; -4) و D(4; 3). نلاحظ أن للنقطتين C و D نفس الفاصلة x = 4.

إذن، المستقيم (CD) هو مستقيم يوازي محور التراتيب (OJ) (يوازي محور التراتيب).

بما أن كلا المستقيمين (AB) و (CD) عموديان (موازيان لمحور التراتيب)، فإنهما متوازيان فيما بينهما.

إذن (AB) // (CD).

منتصف القطعة
السؤال 3

السؤال

لتكن E منتصف [AB]. حدد إحداثيات E.

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

لإيجاد المنتصف:

  • استخدم قاعدة إحداثيات المنتصف
  • فاصلة المنتصف = متوسط فاصلتي الطرفين
  • ترتيب المنتصف = متوسط ترتيبي الطرفين
  • الصيغة: ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2)

📝 الطريقة

إيجاد إحداثيات المنتصف E:

• نطبق قاعدة إحداثيات المنتصف

• A(-4; 2) و B(-4; -4)

• فاصلة المنتصف: x_E = (x_A + x_B) / 2

• ترتيب المنتصف: y_E = (y_A + y_B) / 2

✅ الحل الكامل

E هي منتصف القطعة [AB]. نطبق قاعدة إحداثيات المنتصف:

xE = (xA + xB) / 2 = (-4 + (-4)) / 2 = -8 / 2 = -4

yE = (yA + yB) / 2 = (2 + (-4)) / 2 = -2 / 2 = -1

إذن، إحداثيات E هي (-4; -1).

مجموعة النقاط
السؤال 7

السؤال

ما هي مجموعة نقاط المستوى M(x,y) بحيث y≤2 و x=-4.

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

تحليل الشروط:

  • الشرط الأول: x = -4 (فاصلة ثابتة)
  • الشرط الثاني: y ≤ 2 (ترتيب محدود)
  • الفاصلة الثابتة → مستقيم عمودي
  • الترتيب المحدود → نصف مستقيم

📝 الطريقة

تحليل الشروط:

• الشرط x=-4 يحدد جميع النقاط التي تقع على المستقيم العمودي المار بالفاصلة -4

• الشرط y≤2 يحدد جميع النقاط التي ترتيبها أصغر من أو يساوي 2

• مجموعة النقاط M التي تحقق الشرطين معاً هي تقاطع هذين الشرطين

• النتيجة: نصف مستقيم على الخط العمودي x=-4

✅ الحل الكامل

الشرط x=-4 يحدد جميع النقاط التي تقع على المستقيم العمودي المار بالفاصلة -4.

الشرط y≤2 يحدد جميع النقاط التي ترتيبها أصغر من أو يساوي 2، أي النقاط التي تقع على أو أسفل المستقيم الهو مستقيم مواز لـ (OI) y=2.

مجموعة النقاط M التي تحقق الشرطين معاً هي تقاطع هذين الشرطين.

هذه المجموعة هي جميع النقاط على المستقيم العمودي x=-4 والتي ترتيبها أصغر من أو يساوي 2.

هذه المجموعة تمثل نصف مستقيم.

نعرف أن النقطة A لها الإحداثيات (-4; 2).

إذن، مجموعة النقاط هي نصف المستقيم الذي يبدأ من النقطة A ويمتد إلى الأسفل على طول المستقيم العمودي x=-4. وهو يضم القطعة [AB].