أ) تعيين النقط:
النقطة A لها الإحداثيات (2;4) أي فاصلتها 2 وترتيبها 4.
النقطة E لها الإحداثيات (4-;4-) أي فاصلتها 4- وترتيبها 4-.
ملاحظة: تم تصحيح خطأ مطبعي في نص التمرين حيث أن السؤال (ب) لا يمكن إثباته إلا إذا كانت للنقطتين A و E نفس الترتيب. يبدو أن النقطة الثانية المذكورة في السؤال "أ" كانت E وليست A أخرى.

ب) إثبات أن (EA) و (OI) متوازيان:
المستقيم (OI) هو محور الفواصل، وهو مستقيم مواز لـ (OI).
لكي يكون المستقيم (EA) موازيا للمستقيم (OI)، يجب أن يكون هو أيضا مستقيما هو مستقيم مواز لـ (OI)ا.
يكون المستقيم هو مستقيم مواز لـ (OI)ا إذا كانت لجميع نقاطه نفس الترتيب.
لدينا ترتيب النقطة A هو 4 وترتيب النقطة E هو 4.
بما أن y_A = y_E = 4، فإن المستقيم (EA) هو مستقيم مواز لـ (OI) y=4.
بما أن (EA) و (OI) كلاهما مستقيمان يوازيان محور الفاصلات، فهما متوازيان.

بما أن النقطتين A و E تقعان على مستقيم هو مستقيم مواز لـ (OI) (لهما نفس الترتيب)، فإن المسافة بينهما تساوي القيمة المطلقة للفرق بين فاصلتيهما.
AE = |x_E - x_A|
AE = |-4 - 2|
AE = |-6|
AE = 6

أ) إيجاد إحداثيات C:
النقطة C هي مناظرة النقطة A(2;4) بالنسبة للمبدأ O(0;0). هذا يعني أن O هي منتصف القطعة [AC].
إحداثيات C هي مقابل إحداثيات A.
x_C = -x_A = -2
y_C = -y_A = -4
إذن، إحداثيات C هي (2-;4-).

ج) استنتاج إحداثيات D:
النقطة D هي نقطة تقاطع المستقيم (EC) والمستقيم (OI).
المستقيم (OI) هو محور الفواصل، إذن ترتيب النقطة D هو 0. أي D(x_D; 0).
بما أن النقطة D تنتمي إلى المستقيم (EC)، فإن النقط E(-4;4) و C(-2;-4) و D(x_D;0) تقع على استقامة واحدة. بتطبيق قاعدة استقامة النقط نجد أن فاصلة D يجب أن تكون -3.
إذن، إحداثيات D هي (3-;0). وهذا يتوافق مع الشرط أن فاصلتها سالبة.

ب) إثبات أن ABCD متوازي أضلاع:
أولاً، نجد إحداثيات النقطة B. النقطة B هي مناظرة D(-3;0) بالنسبة للمبدأ O.
x_B = -x_D = -(-3) = 3
y_B = -y_D = -0 = 0
إذن، إحداثيات B هي (3;0).
لإثبات أن الرباعي ABCD متوازي أضلاع، يكفي أن نثبت أن لقطريه [AC] و [BD] نفس المنتصف.
منتصف القطر [AC]:
( (x_A + x_C)/2 ; (y_A + y_C)/2 ) = ( (2 + (-2))/2 ; (4 + (-4))/2 ) = (0/2 ; 0/2) = (0;0) وهو المبدأ O.
منتصف القطر [BD]:
( (x_B + x_D)/2 ; (y_B + y_D)/2 ) = ( (3 + (-3))/2 ; (0 + 0)/2 ) = (0/2 ; 0/2) = (0;0) وهو المبدأ O.
بما أن قطري الرباعي ABCD يتقاطعان في منتصفهما O، فإن ABCD متوازي أضلاع.

لدينا A(2;4)، D(-3;0)، B(3;0)، C(-2;-4).
المستقيم (OJ) هو محور التراتيب (محور الصادات)، x=0.
النقطة H هي تقاطع (AD) و (OJ)، إذن فاصلة H هي 0.
النقطة K هي تقاطع (BC) و (OJ)، إذن فاصلة K هي 0.
بما أن C هي مناظرة A بالنسبة لـ O، و B هي مناظرة D بالنسبة لـ O، فإن المستقيم (BC) هو مناظر المستقيم (AD) بالنسبة للمبدأ O.
وبما أن H تنتمي لـ (AD) و K تنتمي لـ (BC)، و H و K تنتميان لمحور التراتيب (OJ) الذي هو ثابت بالنسبة للتناظر المركزي حول O، فإن النقطة K هي مناظرة النقطة H بالنسبة للمبدأ O.
هذا يعني أن O هي منتصف القطعة [HK].
لإثبات أن AHCK متوازي أضلاع، نتحقق من منتصفات القطرين [AC] و [HK].
منتصف [AC] هو النقطة O(0;0) كما رأينا سابقا.
بما أن K هي مناظرة H بالنسبة لـ O، فإن منتصف [HK] هو النقطة O(0;0).
بما أن للقطرين [AC] و [HK] نفس المنتصف (النقطة O)، فإن الرباعي AHCK متوازي أضلاع.

أ) تبيين أن EF=AC:
لدينا E(-4;4)، F(-8;-4)، A(2;4)، C(-2;-4).
بدلاً من حساب المسافات مباشرة (القطعتان مائلتان ولا توجد صيغة لطولهما في هذا المستوى)، يمكننا إثبات أن الرباعي EFCA متوازي أضلاع. إذا كان كذلك، فإن أضلاعه المتقابلة تكون متقايسة، أي EF=AC.
نحسب منتصف القطر [EC]:
( (x_E + x_C)/2 ; (y_E + y_C)/2 ) = ( (-4 + (-2))/2 ; (4 + (-4))/2 ) = (-6/2 ; 0/2) = (-3;0).
نحسب منتصف القطر [AF]:
( (x_A + x_F)/2 ; (y_A + y_F)/2 ) = ( (2 + (-8))/2 ; (4 + (-4))/2 ) = (-6/2 ; 0/2) = (-3;0).
بما أن للقطرين [EC] و [AF] نفس المنتصف، فإن الرباعي EFCA هو متوازي أضلاع.
وبالتالي، فإن ضلعيه المتقابلين [EF] و [AC] متقايسان، أي EF = AC.

ب) حساب OG:
لدينا F(-8;-4) و C(-2;-4). نلاحظ أن للنقطتين نفس الترتيب y=-4.
إذن المستقيم (FC) هو مستقيم مواز لـ (OI) y=-4.
النقطة G هي نقطة تقاطع المستقيم (FC) مع المستقيم (OJ) (محور التراتيب، الذي x=0).
إحداثيات G هي إذن (0;-4).
المسافة OG هي المسافة بين المبدأ O(0;0) والنقطة G(0;-4).
بما أن النقطتين O و G تقعان على محور التراتيب، فإن المسافة بينهما هي القيمة المطلقة للفرق بين ترتيبيهما.
OG = |y_G - y_O| = |-4 - 0| = |-4| = 4.
إذن OG = 4.

2) إثبات أن (AB) // (CD):
لدينا A(-4; 2) و B(-4; -4). نلاحظ أن للنقطتين A و B نفس الفاصلة x = -4.
إذن، المستقيم (AB) هو مستقيم يوازي محور التراتيب (OJ) (يوازي محور التراتيب).
لدينا C(4; -4) و D(4; 3). نلاحظ أن للنقطتين C و D نفس الفاصلة x = 4.
إذن، المستقيم (CD) هو مستقيم يوازي محور التراتيب (OJ) (يوازي محور التراتيب).
بما أن كلا المستقيمين (AB) و (CD) عموديان (موازيان لمحور التراتيب)، فإنهما متوازيان فيما بينهما.
إذن (AB) // (CD).

E هي منتصف القطعة [AB]. نطبق قاعدة إحداثيات المنتصف:
x_E = (x_A + x_B) / 2 = (-4 + (-4)) / 2 = -8 / 2 = -4.
y_E = (y_A + y_B) / 2 = (2 + (-4)) / 2 = -2 / 2 = -1.
إذن، إحداثيات E هي (-4; -1).

أولاً، نحدد إحداثيات النقطة F.
لدينا B(-4; -4) و C(4; -4). نلاحظ أن لهما نفس الترتيب y=-4. إذن المستقيم (BC) هو مستقيم مواز لـ (OI).
المستقيم المار من E(-4; -1) والموازي لـ (BC) يجب أن يكون هو مستقيم مواز لـ (OI)اً أيضاً، وبالتالي هي y = -1.
النقطة F هي تقاطع هذا المستقيم (y=-1) مع محور التراتيب (OJ) (الذي x=0).
إذن، إحداثيات F هي (0; -1).

أ) تبيين أن F منتصف [AC]:
لدينا A(-4; 2) و C(4; -4). نحسب إحداثيات منتصف [AC]:
x_منتصف = (x_A + x_C) / 2 = (-4 + 4) / 2 = 0 / 2 = 0.
y_منتصف = (y_A + y_C) / 2 = (2 + (-4)) / 2 = -2 / 2 = -1.
إحداثيات منتصف [AC] هي (0; -1)، وهي نفسها إحداثيات النقطة F. إذن F هي منتصف [AC].

ب) تبيين أن 2EF=BC:
نحسب المسافة EF. النقطتان E(-4; -1) و F(0; -1) تقعان على مستقيم هو مستقيم مواز لـ (OI).
EF = |x_F - x_E| = |0 - (-4)| = |4| = 4.
إذن 2EF = 2 * 4 = 8.
نحسب المسافة BC. النقطتان B(-4; -4) و C(4; -4) تقعان على مستقيم هو مستقيم مواز لـ (OI).
BC = |x_C - x_B| = |4 - (-4)| = |8| = 8.
نستنتج أن 2EF = BC.

K هي مسقط E على (OJ) وفقا لمنحى (OI) يعني أن K هي نقطة تقاطع محور التراتيب (OJ) مع المستقيم المار من E والموازي للمستقيم (OI) (الدرس 1).
لدينا E(-4; -1).
المستقيم المار من E والموازي لـ(OI) موازٍ لمحور الفواصل: جميع نقاطه لها الترتيبة -1.
بما أن K تقع على محور التراتيب، فإن فاصلتها هي 0.
إذن، إحداثيات K هي (0; -1).

G هي مناظرة E(-4; -1) بالنسبة للمبدأ O(0;0).
x_G = -x_E = -(-4) = 4.
y_G = -y_E = -(-1) = 1.
إذن، إحداثيات G هي (4; 1).
لدينا المستقيم (CD) يمر بالنقطتين C(4; -4) و D(4; 3).
بما أن x_C = x_D = 4، فإن المستقيم (CD) هو مستقيم يوازي محور التراتيب (OJ) x=4.
لكي تنتمي النقطة G إلى المستقيم (CD)، يجب أن تكون فاصلتها تساوي 4.
فاصلة النقطة G هي 4، إذن G تنتمي إلى المستقيم (CD).

الشرط x=-4 يحدد جميع النقاط التي تقع على المستقيم العمودي المار بالفاصلة -4.
الشرط y≤2 يحدد جميع النقاط التي ترتيبها أصغر من أو يساوي 2، أي النقاط التي تقع على أو أسفل المستقيم الهو مستقيم مواز لـ (OI) y=2.
مجموعة النقاط M التي تحقق الشرطين معاً هي تقاطع هذين الشرطين.
هذه المجموعة هي جميع النقاط على المستقيم العمودي x=-4 والتي ترتيبها أصغر من أو يساوي 2.
هذه المجموعة تمثل نصف مستقيم.
نعرف أن النقطة A لها الإحداثيات (-4; 2).
إذن، مجموعة النقاط هي نصف المستقيم الذي يبدأ من النقطة A و يمتد إلى الأسفل على طول المستقيم العمودي x=-4. يمكن أن نرمز له بنصف المستقيم [A'A) حيث A' نقطة فاصلتها -4 وترتيبها يتجه نحو اللانهاية السالبة. وهو يضم القطعة [AB].