مبدأ أساسي:
ب) إيجاد إحداثيات N:
للرباعي ABON متوازي أضلاع، القطران [AO] و [BN] لهما نفس المنتصف.
منتصف [AO]: \( \left( \frac{5+0}{2}, \frac{0+0}{2} \right) = (2.5, 0) \).
منتصف [BN] = منتصف [AO] = (2.5, 0).
إذن: \( \frac{0 + x_N}{2} = 2.5 \) و \( \frac{3 + y_N}{2} = 0 \).
ج) فحص الاستقامة:
تحقق من أن النقاط A(5,0), M(5,3), N(x_N, y_N) لها نفس الفاصلة x = 5 (مستقيم عمودي).
أ) رسم النقاط A و B و M بحيث ABON متوازي الأضلاع:
النقاط المعطاة: A(5,0), B(0,3), M(5,3). O(0,0).
لجعل ABON متوازي أضلاع، استخدم خاصية القطران.
ب) زوج إحداثيات النقطة N:
منتصف [AO] = (2.5, 0).
منتصف [BN] = (2.5, 0).
\( \frac{0 + x_N}{2} = 2.5 \implies x_N = 5 \).
\( \frac{3 + y_N}{2} = 0 \implies y_N = -3 \).
إذن N(5, -3).
ج) استنتاج أن A و M و N على استقامة واحدة:
النقاط A(5,0), M(5,3), N(5,-3) لها نفس الفاصلة x = 5, لذا على مستقيم عمودي مواز لمحور التراتيب.
لاحظ أن:
تحليل الشروط:
الحل:
المجموعة F هي مجموعة النقاط التي ترتيبها ثابت ويساوي 3، وفاصلتها أصغر من أو تساوي 5.
هذه المجموعة تمثل نصف مستقيم هو مستقيم مواز لـ (OI)، يبدأ من النقطة (5, 3) (وهي النقطة M) ويمتد إلى اليسار.
هذا المستقيم يمر أيضاً عبر النقطة B(0,3).
وصف هندسي: نصف مستقيم هو مستقيم مواز لـ (OI) يبدأ من M ويمتد إلى ما لا نهاية في الاتجاه السالب للفواصل.
\( (O,I,J) \) معين من المستوى بحيث \( (OI) \) و \( (OJ) \) متعامدان و \( OI=OJ=1cm \).
النقط: \( A(5,0) \), \( B(0,3) \), \( M(5,3) \).
أ) ارسم النقاط A و B و M بحيث ABON متوازي الأضلاع.
ب) ما هو زوج إحداثيات النقطة N؟
ج) استنتج أن A و M و N على استقامة واحدة.
مبدأ أساسي:
ب) إيجاد إحداثيات N:
للرباعي ABON متوازي أضلاع، القطران [AO] و [BN] لهما نفس المنتصف
منتصف [AO]: \( (\frac{5+0}{2}, \frac{0+0}{2}) = (2.5, 0) \)
منتصف [BN] = منتصف [AO] = (2.5, 0)
إذن: \( \frac{0+x_N}{2} = 2.5 \) و \( \frac{3+y_N}{2} = 0 \)
ج) فحص الاستقامة:
بعد إيجاد N، نفحص إحداثيات A, M, N
ب) إحداثيات النقطة N:
لكي يكون الرباعي \( ABON \) متوازي أضلاع، يجب أن يكون لقطريه \( [AO] \) و \( [BN] \) نفس المنتصف.
نحسب إحداثيات منتصف القطر \( [AO] \):
\( (\frac{x_A + x_O}{2}, \frac{y_A + y_O}{2}) = (\frac{5 + 0}{2}, \frac{0 + 0}{2}) = (2.5, 0) \)
نسمي منتصف \( [BN] \) بالنقطة \( P \). يجب أن تكون \( P(2.5, 0) \).
\( x_P = \frac{x_B + x_N}{2} \implies 2.5 = \frac{0 + x_N}{2} \implies x_N = 5 \)
\( y_P = \frac{y_B + y_N}{2} \implies 0 = \frac{3 + y_N}{2} \implies y_N = -3 \)
إذن، إحداثيات النقطة \( N \) هي \( (5, -3) \).
ج) استقامة النقاط:
لدينا النقاط \( A(5,0) \)، \( M(5,3) \)، و \( N(5,-3) \).
نلاحظ أن كل هذه النقاط لها نفس الفاصلة (x-coordinate) وهي 5.
إذن، جميعها تقع على المستقيم العمودي الذي يوازي \( (OJ) \) ويمر بالنقطة \( (5,0) \).
وبالتالي، فإن النقاط A و M و N على استقامة واحدة.
أ) بيّن أن \( (BM) // (OI) \) وأن \( (AM) // (OJ) \).
ب) بيّن أن الرباعي AMBO مستطيل، سمّ مركزه L.
للتوازي:
للمستطيل:
أ) إثبات التوازي:
• فحص B(0,3) و M(5,3): نفس الترتيب → (BM) هو مستقيم مواز لـ (OI)
• (OI) محور الفواصل → هو مستقيم مواز لـ (OI)
• إذن (BM) // (OI)
• فحص A(5,0) و M(5,3): نفس الفاصلة → (AM) عمودي
• (OJ) محور التراتيب → عمودي
• إذن (AM) // (OJ)
ب) إثبات أنه مستطيل:
• المحوران (OI) و (OJ) متعامدان
• (AM) // (OJ) و (BM) // (OI)
• إذن (AM) ⊥ (BM)
• فحص باقي الزوايا...
أ) التوازي:
لدينا \( B(0,3) \) و \( M(5,3) \). للنقطتين نفس الترتيب \(y=3\)، إذن المستقيم \( (BM) \) هو مستقيم مواز لـ (OI) ويوازي محور الفواصل.
المستقيم \( (OI) \) (محور الفواصل) هو أيضا هو مستقيم مواز لـ (OI). إذن \( (BM) // (OI) \).
لدينا \( A(5,0) \) و \( M(5,3) \). للنقطتين نفس الفاصلة \(x=5\)، إذن المستقيم \( (AM) \) عمودي ويوازي محور التراتيب.
المستقيم \( (OJ) \) (محور التراتيب) هو أيضا عمودي. إذن \( (AM) // (OJ) \).
ب) تبيين أن AMBO مستطيل:
من السؤال السابق، \( (AM) // (OJ) \) و \( (BM) // (OI) \).
بما أن المحورين \( (OI) \) و \( (OJ) \) متعامدان، فإن المستقيمين \( (AM) \) و \( (BM) \) متعامدان.
إذن، الزاوية \( \widehat{AMB} \) قائمة.
النقطة \(A\) على محور الفواصل و \(M\) على المستقيم العمودي المار بـ \(A\). الزاوية \( \widehat{OAM} \) قائمة.
النقطة \(B\) على محور التراتيب و \(M\) على المستقيم الهو مستقيم مواز لـ (OI) المار بـ \(B\). الزاوية \( \widehat{OBM} \) قائمة.
الزاوية في \(O\) قائمة لأن المحورين متعامدان.
الرباعي \( AMBO \) له أربع زوايا قائمة، فهو إذن مستطيل.
مركز المستطيل \(L\) هو منتصف أحد قطريه، مثلا \( [OM] \).
إحداثيات \(L\): \( (\frac{x_O + x_M}{2}, \frac{y_O + y_M}{2}) = (\frac{0 + 5}{2}, \frac{0 + 3}{2}) = (2.5, 1.5) \)
المستقيم المار من A والموازي للمستقيم (OL) يقطع (ON) في النقطة K.
أ) بيّن أن الرباعي ALOK معين.
ب) استنتج أن \( (LK) // (MN) \) وأن K منتصف \( [ON] \).
للمعين:
لإيجاد K:
إيجاد إحداثيات K:
• المستقيم (ON): يمر من O(0,0) و N(5,-3)
• المستقيم (OL): يمر من O(0,0) و L(2.5,1.5)
• المستقيم المار من A(5,0) والموازي لـ (OL)
• تقاطع مع (ON) لإيجاد K
إثبات المعين:
• فحص أن القطرين [AO] و [LK] لهما نفس المنتصف
• فحص تعامد القطرين باستخدام التوازي مع المحاور
أ) تبيين أن ALOK معين:
المعين هو متوازي أضلاع أقطاره متعامدة. لنتحقق أولا أن \( ALOK \) متوازي أضلاع عبر تبيين أن قطريه \( [AO] \) و \( [LK] \) لهما نفس المنتصف.
منتصف القطر \( [AO] \): \( (\frac{5+0}{2}, \frac{0+0}{2}) = (2.5, 0) \)
لإيجاد منتصف \( [LK] \)، يجب أولاً إيجاد إحداثيات \( K \). K هي نقطة تقاطع المستقيم المار من A الموازي لـ(OL) مع (ON).
المستقيم (OL) يمر من \(O(0,0)\) و \(L(2.5, 1.5)\). بما أن L له إحداثيات موجبة، فالمستقيم (OL) يصعد من اليسار إلى اليمين.
المستقيم (ON) يمر من \(O(0,0)\) و \(N(5, -3)\). بما أن N له ترتيب سالب، فالمستقيم (ON) ينحدر من اليسار إلى اليمين.
نلاحظ أن المستقيمين (OL) و (ON) لهما اتجاهان مختلفان: أحدهما صاعد والآخر هابط، مما يعني أنهما متعامدان تقريباً.
للتحقق من التعامد: إذا كان (OL) يمر من O إلى L(2.5, 1.5)، فاتجاهه يشبه اتجاه المحورين المتعامدين. وإذا كان (ON) يمر من O إلى N(5, -3)، فله اتجاه مختلف.
نجد أن K تقع في النقطة (2.5, -1.5) لأن المستقيم الموازي لـ(OL) المار من A سيقطع (ON) في هذه النقطة.
الآن، منتصف القطر \( [LK] \): \( (\frac{2.5+2.5}{2}, \frac{1.5 + (-1.5)}{2}) = (2.5, 0) \)
بما أن للقطرين \( [AO] \) و \( [LK] \) نفس المنتصف، فإن \( ALOK \) متوازي أضلاع.
لنتحقق من تعامد القطرين: القطر \( [AO] \) يقع على محور الفواصل (هو مستقيم مواز لـ (OI)). القطر \( [LK] \) يصل بين \( L(2.5, 1.5) \) و \( K(2.5, -1.5) \). بما أن لهما نفس الفاصلة، فالقطر \( [LK] \) عمودي. بما أن القطرين أحدهما هو مستقيم مواز لـ (OI) والآخر عمودي، فهما متعامدان. إذن، الرباعي \( ALOK \) معين.
ب) الاستنتاجات:
المستقيم \( (LK) \) عمودي لأن \(x_L=x_K=2.5\). المستقيم \( (MN) \) عمودي لأن \(x_M=x_N=5\). بما أن كلا المستقيمين عموديان، فإنهما متوازيان: \( (LK) // (MN) \).
لنحسب منتصف القطعة \( [ON] \): \( (\frac{0+5}{2}, \frac{0+(-3)}{2}) = (2.5, -1.5) \). هذه هي بالضبط إحداثيات النقطة \( K \). إذن، \( K \) هي منتصف \( [ON] \).
السؤال: حدد E مجموعة نقاط المستوى \( M(x,y) \) بحيث \( x=5 \) و \( -3 \le y \le 3 \).
فكر في:
تحليل الشروط:
• الشرط الأول: x = 5 (فاصلة ثابتة)
• الشرط الثاني: -3 ≤ y ≤ 3 (ترتيب في مجال محدد)
• هذا يعطي مستقيماً عمودياً محدود الطول
• النقطتان الطرفيتان: (5,-3) و (5,3)
• وهما N و M من السؤال الأول
المجموعة \( E \) هي مجموعة النقاط التي فاصلتها ثابتة وتساوي 5، وترتيبها يتغير من -3 إلى 3.
هذه المجموعة تمثل قطعة مستقيمة عمودية تصل بين النقطتين \( (5, -3) \) (وهي النقطة N) و \( (5, 3) \) (وهي النقطة M).
إذن، المجموعة E هي القطعة المستقيمة \( [NM] \).
وصف هندسي: قطعة مستقيمة عمودية بطول 6 وحدات (من y=-3 إلى y=3).
السؤال: حدد F مجموعة نقاط المستوى \( M(x,y) \) بحيث \( y=3 \) و \( x \le 5 \).
لاحظ أن:
تحليل الشروط:
• الشرط الأول: y = 3 (ترتيب ثابت)
• الشرط الثاني: x ≤ 5 (فاصلة أصغر من أو تساوي 5)
• هذا يعطي نصف مستقيم هو مستقيم مواز لـ (OI)
• نقطة البداية: (5,3) وهي النقطة M
• الاتجاه: امتداد لا نهائي نحو اليسار
• يمر أيضاً عبر النقطة B(0,3)
المجموعة \( F \) هي مجموعة النقاط التي ترتيبها ثابت ويساوي 3، وفاصلتها أصغر من أو تساوي 5.
هذه المجموعة تمثل نصف مستقيم هو مستقيم مواز لـ (OI)، يبدأ من النقطة \( (5, 3) \) (وهي النقطة M) ويمتد إلى اليسار.
هذا المستقيم يمر أيضاً عبر النقطة \( B(0,3) \).
وصف هندسي: نصف مستقيم هو مستقيم مواز لـ (OI) يبدأ من M ويمتد إلى ما لا نهاية في الاتجاه السالب للفواصل.