تمرين 1: توازي المستقيمات

💡 مؤشر

لاحظ أن:

📝 الطريقة

خطوات الحل:

  1. لدينا النقطة \( A(-3,2) \) والنقطة \( B(1,2) \).
  2. نلاحظ أن للنقطتين \( A \) و \( B \) نفس الترتيب (ordonnée) وهو 2.

✅ الحل الكامل

الحل:

المستقيم \( (OI) \) هو محور الفواصل، وكل النقاط عليه لها الترتيب \( y=0 \).

لدينا النقطة \( A(-3,2) \) والنقطة \( B(1,2) \) \( y=2 \).

\( (AB) // (OI) \).

تمرين 2: رباعي متوازي الأضلاع

💡 مؤشر

تذكر أن الرباعي متوازي أضلاع إذا كانت الأضلاع المتقابلة متوازية ومتساوية الطول، أو إذا كان قطريه يتقاطعان في منتصفهما.

تحقق من التوازي باستخدام الإحداثيات: إذا كان للنقطتين نفس \( y \)، فالمستقيم هو مستقيم مواز لـ (OI) (مواز لـ \( (OI) \)).

📝 الطريقة

خطوات الحل:

  1. تحقق من توازي \( AB \) و \( DC \): لديكا هو مستقيم مواز لـ (OI)ان (نفس \( y \)).
  2. احسب أطوال \( AB \) و \( DC \): \( |x_B - x_A| \) و \( |x_C - x_D| \).
  3. إذا كانا متساويين، فالرباعي متوازي أضلاع.

✅ الحل الكامل

الحل:

\( AB \): \( A(-3,2) \), \( B(1,2) \) - هو مستقيم مواز لـ (OI) (\( y=2 \)), طول \( |1 - (-3)| = 4 \).

\( DC \): \( D(-1,-1) \), \( C(3,-1) \) - هو مستقيم مواز لـ (OI) (\( y=-1 \)), طول \( |3 - (-1)| = 4 \).

\( AB // DC \) و \( AB = DC \), لذا \( ABCD \) متوازي أضلاع.

تمرين 5: منتصف القطعة K

💡 مؤشر

تذكر صيغة منتصف قطعة مستقيمة:

📝 الطريقة

تطبيق صيغة المنتصف:

لدينا \( B(1,2) \) و \( C(3,-1) \).

\( x_K = \frac{x_B + x_C}{2} = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2 \).

\( y_K = \frac{y_B + y_C}{2} = \frac{2 + (-1)}{2} = \frac{1}{2} = 0.5 \).

✅ الحل الكامل

الحل:

إحداثيات منتصف قطعة مستقيمة هي متوسط إحداثيات نقطتي طرفيها.

لدينا \( B(1,2) \) و \( C(3,-1) \).

\( x_K = \frac{1 + 3}{2} = 2 \).

\( y_K = \frac{2 + (-1)}{2} = 0.5 \).

إذن، إحداثيات النقطة \( K \) هي \( (2, 0.5) \).

تمارين الإحداثيات والمعين المتعامد

دفواراتي
توازي المستقيمات
تمرين 1

\( (O,I,J) \) هو معين للمستوى بحيث \( (OI) \perp (OJ) \) والنقاط \( A(-3,2) \), \( B(1,2) \), \( C(3,-1) \), \( D(-1,-1) \).

السؤال: بيّن أن \( (OI) \) و \( (AB) \) متوازيان.

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

لاحظ أن:

  • المستقيم \( (OI) \) هو محور الفواصل، \( y=0 \)
  • انظر إلى ترتيب النقطتين A و B
  • لكي يكون مستقيمان متوازيان، يجب أن يكون لهما نفس الاتجاه

📝 الطريقة

خطوات الحل:

1. لدينا النقطة \( A(-3,2) \) والنقطة \( B(1,2) \)

2. نلاحظ أن للنقطتين \(A\) و \(B\) نفس الترتيب (ordonnée) وهو 2

✅ الحل الكامل

الحل:

المستقيم \( (OI) \) هو محور الفواصل، وكل النقاط عليه لها الترتيب \( y=0 \).

لدينا النقطة \( A(-3,2) \) والنقطة \( B(1,2) \) \( y=2 \).

(AB)//(OI).

رباعي متوازي الأضلاع
تمرين 2

السؤال: بيّن أن الرباعي \( ABCD \) متوازي أضلاع.

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

تذكر:

  • يكون الرباعي متوازي أضلاع إذا كان لقطريه نفس المنتصف
  • احسب منتصف القطر [AC] ومنتصف القطر [BD]
  • استخدم صيغة منتصف قطعة مستقيمة

📝 الطريقة

حساب منتصف القطر [AC]:

x_{منتصف} = \frac{x_A + x_C}{2} = \frac{-3 + 3}{2} = 0

y_{منتصف} = \frac{y_A + y_C}{2} = \frac{2 + (-1)}{2} = \frac{1}{2}

حساب منتصف القطر [BD]:

x_{منتصف} = \frac{x_B + x_D}{2} = \frac{1 + (-1)}{2} = 0

y_{منتصف} = \frac{y_B + y_D}{2} = \frac{2 + (-1)}{2} = \frac{1}{2}

✅ الحل الكامل

الحل:

يكون الرباعي \( ABCD \) متوازي أضلاع إذا كان لقطريه \( [AC] \) و \( [BD] \) نفس المنتصف.

نحسب إحداثيات منتصف القطر \( [AC] \):

x_{منتصف} = \frac{x_A + x_C}{2} = \frac{-3 + 3}{2} = 0

y_{منتصف} = \frac{y_A + y_C}{2} = \frac{2 + (-1)}{2} = \frac{1}{2}

إحداثيات منتصف \( [AC] \) هي \( (0, 0.5) \).

الآن نحسب إحداثيات منتصف القطر \( [BD] \):

x_{منتصف} = \frac{x_B + x_D}{2} = \frac{1 + (-1)}{2} = 0

y_{منتصف} = \frac{y_B + y_D}{2} = \frac{2 + (-1)}{2} = \frac{1}{2}

إحداثيات منتصف \( [BD] \) هي \( (0, 0.5) \).

بما أن للقطرين نفس المنتصف، فإن الرباعي \( ABCD \) متوازي أضلاع.

مجموعة النقاط E
تمرين 3

السؤال: حدد \( E \) مجموعة نقاط المستوى \( M(x,y) \) بحيث \( x=2 \) و \( -1 \le y \le 3 \).

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

فكر في:

  • الفاصلة ثابتة x=2
  • الترتيب يتغير في مجال محدد
  • ماذا يمثل هذا هندسياً؟

📝 الطريقة

تحليل الشروط:

• الفاصلة ثابتة: x = 2

• الترتيب متغير: -1 ≤ y ≤ 3

• هذا يعطي مستقيماً عمودياً

• النقطتان الطرفيتان هما (2, -1) و (2, 3)

✅ الحل الكامل

الحل:

المجموعة \( E \) هي مجموعة النقاط التي فاصلتها ثابتة وتساوي 2، وترتيبها يتغير من -1 إلى 3.

هذه المجموعة تمثل قطعة مستقيمة عمودية (موازية لمحور التراتيب)، تصل بين النقطتين \( (2, -1) \) و \( (2, 3) \).

وصف هندسي: قطعة مستقيمة عمودية بطول 4 وحدات.

مجموعة النقاط F
تمرين 4

السؤال: حدد \( F \) مجموعة نقاط المستوى \( M(x,y) \) بحيث \( y=-1 \) و \( x \ge -1 \).

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

لاحظ أن:

  • الترتيب ثابت y = -1
  • الفاصلة أكبر من أو تساوي -1
  • هذا يعطي نصف مستقيم

📝 الطريقة

تحليل الشروط:

• الترتيب ثابت: y = -1

• الفاصلة: x ≥ -1

• نقطة البداية: (-1, -1) وهي النقطة D

• الاتجاه: نحو اليمين (الفاصلات الموجبة)

✅ الحل الكامل

الحل:

المجموعة \( F \) هي مجموعة النقاط التي ترتيبها ثابت ويساوي -1، وفاصلتها أكبر من أو تساوي -1.

هذه المجموعة تمثل نصف مستقيم هو مستقيم مواز لـ (OI) (موازٍ لمحور الفواصل)، يبدأ من النقطة \( (-1, -1) \) (وهي النقطة D) ويمتد إلى اليمين.

وصف هندسي: نصف مستقيم هو مستقيم مواز لـ (OI) يبدأ من D ويمتد إلى ما لا نهاية في الاتجاه الموجب للفواصل.

منتصف القطعة K
تمرين 5

السؤال: عين النقطة \( K \) منتصف \( [BC] \) ثم حدد إحداثياتها.

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

تذكر صيغة منتصف قطعة مستقيمة:

  • إذا كانت النقطتان A(x₁,y₁) و B(x₂,y₂)
  • فإن منتصف [AB] له الإحداثيات: ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2)
  • طبق هذا على B(1,2) و C(3,-1)

📝 الطريقة

تطبيق صيغة المنتصف:

لدينا \( B(1,2) \) و \( C(3,-1) \)

\( x_K = \frac{x_B + x_C}{2} = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2 \)

\( y_K = \frac{y_B + y_C}{2} = \frac{2 + (-1)}{2} = \frac{1}{2} = 0.5 \)

✅ الحل الكامل

الحل:

إحداثيات منتصف قطعة مستقيمة هي متوسط إحداثيات نقطتي طرفيها.

لدينا \( B(1,2) \) و \( C(3,-1) \).

\( x_K = \frac{x_B + x_C}{2} = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2 \)

\( y_K = \frac{y_B + y_C}{2} = \frac{2 + (-1)}{2} = \frac{1}{2} = 0.5 \)

إذن، إحداثيات النقطة \( K \) هي \( (2, 0.5) \).