حلول التمارين الهندسية (كود 2222)

في هذا القسم، ستجد الطرق والحلول الكاملة للتمارين المتعلقة بمتوازيات الأضلاع، المستقيمات المتوازية، المسافات البسيطة، وحساب المنتصف في نظام إحداثي.

التمرين 1: المساعدة

السؤال 1: إثبات أن \( (OI) \parallel (AB) \)

📝 الطريقة

لإثبات توازي مستقيمين، نتحقق من أن لهما نفس الاتجاه (هو مستقيم مواز لـ (OI) أو عمودي).

1. فحص إحداثيات النقاط لتحديد اتجاه المستقيمين.
2. إذا كان لنقطتين نفس الإحداثية \( y \)، فإن المستقيم هو مستقيم مواز لـ (OI).
3. إذا كان المستقيمان هو مستقيم مواز لـ (OI)ين، فهما متوازيان.

✅ الحل الكامل

النقاط المعطاة: \( A(-3,2) \)، \( B(1,2) \)

• النقطتان \( A \) و \( B \) لهما نفس الإحداثية \( y = 2 \rightarrow \) المستقيم \( (AB) \) هو مستقيم مواز لـ (OI).
• المستقيم \( (OI) \) يمر عبر \( O(0,0) \) و \( I(1,0) \)، لهما \( y = 0 \rightarrow \) المستقيم \( (OI) \) هو مستقيم مواز لـ (OI).
• مستقيمان يوازيان محور الفاصلات متوازيان \( \rightarrow (OI) \parallel (AB) \).

السؤال 2: إثبات أن \( ABCD \) متوازي أضلاع

📝 الطريقة

لإثبات أن رباعياً متوازي أضلاع، نبين أن الأضلاع المتقابلة متوازية ومتساوية الطول.

1. فحص توازي الأضلاع المتقابلة باستخدام إحداثيات النقاط.
2. حساب أطوال الأضلاع المتقابلة باستخدام صيغة المسافة.
3. إذا كان ضلعان متقابلان متوازيان ومتساويان، فإن الضلعين الآخرين كذلك.

✅ الحل الكامل

النقاط: \( A(-3,2) \)، \( B(1,2) \)، \( C(3,-1) \)، \( D(-1,-1) \)

الخطوة 1: فحص التوازي

• الضلع \( AB \): \( A(-3,2) \)، \( B(1,2) \): نفس \( y = 2 \rightarrow \) هو مستقيم مواز لـ (OI).
• الضلع \( DC \): \( D(-1,-1) \)، \( C(3,-1) \): نفس \( y = -1 \rightarrow \) هو مستقيم مواز لـ (OI).
• \( AB \parallel DC \).

الخطوة 2: فحص الأطوال

• طول \( AB \): \( |1 - (-3)| = 4 \).
• طول \( DC \): \( |3 - (-1)| = 4 \).
• \( AB = DC = 4 \).

الخطوة 3: الاستنتاج

بما أن \( AB \parallel DC \) و \( AB = DC \)، فإن \( ABCD \) متوازي أضلاع.

السؤال 5: حساب منتصف \( K \) للقطعة \( [BC] \)

📝 الطريقة

منتصف قطعة له إحداثيات تساوي متوسط إحداثيات الطرفين.

صيغة المنتصف: \( x_K = \frac{x_B + x_C}{2} \), \( y_K = \frac{y_B + y_C}{2} \)

✅ الحل الكامل

النقاط: \( B(1,2) \)، \( C(3,-1) \)

• \( x_K = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2 \)
• \( y_K = \frac{2 + (-1)}{2} = \frac{1}{2} = 0.5 \)
• إحداثيات \( K \): \( (2, 0.5) \)

التمرين 2: المساعدة

السؤال 1: تحديد علاقة \( (EA) \) و \( (OI) \)

📝 الطريقة

لإثبات توازي أو تعامد مستقيمين، نتحقق من اتجاههما (هو مستقيم مواز لـ (OI) أو عمودي).

1. فحص إحداثيات النقاط لتحديد اتجاه كل مستقيم.
2. إذا كان أحدهما هو مستقيم مواز لـ (OI) والآخر عمودي، فهما متعامدان.

✅ الحل الكامل

النقاط: \( E(4,-4) \)، \( A(4,2) \)

• \( E \) و \( A \): نفس \( x = 4 \rightarrow (EA) \) عمودي.
• \( O(0,0) \)، \( I(1,0) \): نفس \( y = 0 \rightarrow (OI) \) هو مستقيم مواز لـ (OI).
• مستقيم عمودي ومستقيم هو مستقيم مواز لـ (OI) متعامدان \( \rightarrow (EA) \perp (OI) \).

التمرين 4: المساعدة

السؤال 2: إثبات أن \( (AB) \parallel (CD) \)

📝 الطريقة

مستقيمان متوازيان إذا كان لهما نفس الاتجاه.

1. فحص إحداثيات النقاط لتحديد اتجاه كل مستقيم.
2. إذا كانا عموديين أو هو مستقيم مواز لـ (OI)ين معًا، فهما متوازيان.

✅ الحل الكامل

النقاط: \( A(-4,2) \)، \( B(-4,-4) \)، \( C(4,-4) \)، \( D(4,3) \)

• \( A \) و \( B \): نفس \( x = -4 \rightarrow (AB) \) عمودي.
• \( C \) و \( D \): نفس \( x = 4 \rightarrow (CD) \) عمودي.
• المستقيمان عموديان \( \rightarrow (AB) \parallel (CD) \).

السؤال 3: حساب منتصف \( E \) للقطعة \( [AB] \)

📝 الطريقة

منتصف قطعة له إحداثيات تساوي متوسط إحداثيات الطرفين.

صيغة المنتصف: \( x_E = \frac{x_A + x_B}{2} \), \( y_E = \frac{y_A + y_B}{2} \)

✅ الحل الكامل

النقاط: \( A(-4,2) \)، \( B(-4,-4) \)

• \( x_E = \frac{(-4) + (-4)}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \)
• \( y_E = \frac{2 + (-4)}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \)
• إحداثيات \( E \): \( (-4, -1) \)

السؤال 4: إيجاد النقطة \( F \) وإثبات العلاقات

📝 الطريقة

إيجاد مستقيم موازٍ لـ \( (BC) \) يمر عبر \( E \)، ثم تقاطعه مع \( (OJ) \). التحقق من أن \( F \) منتصف \( [AC] \) وأن \( 2EF = BC \).

1. تحديد اتجاه \( (BC) \).
2. إنشاء مستقيم موازٍ يمر عبر \( E \).
3. إيجاد نقطة التقاطع مع \( (OJ) \).
4. حساب المسافات \( EF \) و \( BC \) والتحقق من العلاقة.

✅ الحل الكامل

النقاط: \( B(-4,-4) \)، \( C(4,-4) \)، \( E(-4,-1) \)

تحليل \( (BC) \):

• \( B \) و \( C \): نفس \( y = -4 \rightarrow (BC) \) هو مستقيم مواز لـ (OI).

مستقيم موازٍ لـ \( (BC) \) عبر \( E \):

• \( E(-4,-1) \): مستقيم هو مستقيم مواز لـ (OI) \( y = -1 \).

التقاطع مع \( (OJ) \):

• \( (OJ) \): \( x = 0 \).
• التقاطع: \( x = 0 \)، \( y = -1 \rightarrow F(0,-1) \).

التحقق من أن \( F \) منتصف \( [AC] \):

• \( A(-4,2) \)، \( C(4,-4) \)
• منتصف \( [AC] \): \( \left( \frac{-4+4}{2}, \frac{2+(-4)}{2} \right) = (0, -1) = F \).

التحقق من \( 2EF = BC \):

• \( EF \): من \( E(-4,-1) \) إلى \( F(0,-1) \): \( |0 - (-4)| = 4 \).
• \( BC \): من \( B(-4,-4) \) إلى \( C(4,-4) \): \( |4 - (-4)| = 8 \).
• \( 2EF = 2 \times 4 = 8 = BC \).