تمارين المعالم والإحداثيات

تمرين 5: المستقيمات الموازية للمحاور ومجموعات النقاط

💡 مؤشر

أساسيات المستقيمات الموازية للمحاور:

المحور $ (OI) $ مواز لمحور الفواصل: جميع النقاط عليه لها $ y = 0 $.
المستقيمات الموازية لـ $ (OI) $ هي المستقيمات التي تحافظ على نفس الترتيب $ y $.
المحور $ (OJ) $ مواز لمحور التراتيب: جميع النقاط عليه لها $ x = 0 $.
المستقيمات الموازية لـ $ (OJ) $ هي المستقيمات التي تحافظ على نفس الفاصلة $ x $.

ابحث عن: النقاط التي لها نفس الإحداثية $ y $ أو نفس الإحداثية $ x $.

📝 الطريقة خطوة بخطوة

1) المستقيمات الموازية لـ $ (OI) $:

نبحث عن النقاط التي لها نفس الإحداثية $ y $:

النقاط $ A(-3,2) $ و $ C(3,2) $: كلاهما له $ y = 2 $.
النقاط $ E(4,-2), B(2,-2), H(-1,-2) $: كلها لها $ y = -2 $.
النقاط $ D(-1,3), K(2,3), L(-3,3) $: كلها لها $ y = 3 $.
النقاط $ G(4,4) $ و $ F(-1,4) $: كلاهما له $ y = 4 $.

2) المستقيمات الموازية لـ $ (OJ) $:

نبحث عن النقاط التي لها نفس الإحداثية $ x $:

النقاط $ A(-3,2) $ و $ L(-3,3) $: كلاهما له $ x = -3 $.
النقاط $ D(-1,3), F(-1,4), H(-1,-2) $: كلها لها $ x = -1 $.
النقاط $ B(2,-2) $ و $ K(2,3) $: كلاهما له $ x = 2 $.
النقاط $ E(4,-2) $ و $ G(4,4) $: كلاهما له $ x = 4 $.

✅ الحل الكامل

الجزء الأول - المستقيمات الموازية لـ $ (OI) $:

المحور $ (OI) $ مواز لمحور الفواصل، لذلك المستقيمات الموازية له هي:

$ (AC) $: يمر بـ $ A(-3,2) $ و $ C(3,2) $ - مواز لمحور الفواصل ($ y = 2 $).
$ (BEH) $: يمر بـ $ B(2,-2) $, $ E(4,-2) $, $ H(-1,-2) $ - مواز لمحور الفواصل ($ y = -2 $).
$ (DLK) $: يمر بـ $ D(-1,3) $, $ L(-3,3) $, $ K(2,3) $ - مواز لمحور الفواصل ($ y = 3 $).
$ (FG) $: يمر بـ $ F(-1,4) $ و $ G(4,4) $ - مواز لمحور الفواصل ($ y = 4 $).

الجزء الثاني - المستقيمات الموازية لـ $ (OJ) $:

المحور $ (OJ) $ مواز لمحور التراتيب، لذلك المستقيمات الموازية له هي:

$ (AL) $: يمر بـ $ A(-3,2) $ و $ L(-3,3) $ - مواز لمحور التراتيب ($ x = -3 $).
$ (DFH) $: يمر بـ $ D(-1,3) $, $ F(-1,4) $, $ H(-1,-2) $ - مواز لمحور التراتيب ($ x = -1 $).
$ (BK) $: يمر بـ $ B(2,-2) $ و $ K(2,3) $ - مواز لمحور التراتيب ($ x = 2 $).
$ (EG) $: يمر بـ $ E(4,-2) $ و $ G(4,4) $ - مواز لمحور التراتيب ($ x = 4 $).

تمرين 8: المساعدة

💡 مؤشر

تحليل النقاط:

$ A(-4,2) $ و $ B(-4,-4) $: نفس الفاصلة $ x = -4 $ → $ (AB) $ مواز لمحور التراتيب.
$ C(4,-4) $ و $ D(4,3) $: نفس الفاصلة $ x = 4 $ → $ (CD) $ مواز لمحور التراتيب.
$ B(-4,-4) $ و $ C(4,-4) $: نفس الترتيب $ y = -4 $ → $ (BC) $ مواز لمحور الفواصل.

خط الوسط: في المثلث، خط الوسط يوازي القاعدة وطوله نصف طولها.

المستطيل: رباعي بأضلاع متقابلة متوازية ومتساوية وزوايا قائمة.

📝 الطريقة

1) إثبات التوازي $ (AB) \parallel (CD) $:

كلا المستقيمين مواز لمحور التراتيب:

$ (AB) $: $ x = -4 $.
$ (CD) $: $ x = 4 $.

إذن $ (AB) \parallel (CD) $.

2) حساب منتصف $ [AB] $:

$ A(-4,2) $ و $ B(-4,-4) $ على نفس المستقيم الموازي لمحور التراتيب.

$ E = (-4, \frac{2+(-4)}{2}) = (-4, -1) $.

3) تطبيق خاصية خط الوسط:

في المثلث $ ABC $، إذا كان $ E $ منتصف $ [AB] $ و $ F $ منتصف $ [AC] $، فإن $ (EF) \parallel (BC) $ و $ EF = \frac{1}{2}BC $.

✅ الحل الكامل

1) التوازي:

$ (AB) \parallel (CD) $ لأن كلاهما مواز لمحور التراتيب.

2) المنتصف:

$ E $ منتصف $ [AB] $: $ (-4, -1) $.

3) خط الوسط:

إثبات أن $ F $ منتصف $ [AC] $:

المستقيم المار من $ E(-4,-1) $ وموازي لـ $ (BC) $ : $ y = -1 $.

منتصف $ [AC] $: $ A(3,4) $ و $ C(-4,4) $ → منتصف = $ (-0.5, 4) $.

لكن التقاطع مع هذا المستقيم يعطي: $ F = (0, -1) $.

حساب الأطوال:

$ BC $: من $ (-4,-4) $ إلى $ (4,-4) $ = 8 وحدات.
$ EF $: من $ (-4,-1) $ إلى $ (0,-1) $ = 4 وحدات.

إذن $ BC = 2EF $ (خاصية خط الوسط).

4) المستطيل $ EFKB $:

تقاطع $ (BC) $ مع محور التراتيب: $ K = (0, -4) $.

رؤوس المستطيل: $ E(-4,-1), F(0,-1), K(0,-4), B(-4,-4) $.

إثبات أنه مستطيل:

$ [EF] $ و $ [BK] $: موازيان لمحور الفواصل وطولهما 4.
$ [EB] $ و $ [FK] $: موازيان لمحور التراتيب وطولهما 3.
جميع الزوايا قائمة (تقاطع مستقيمات موازية للمحاور).

إذن $ EFKB $ مستطيل.

ملاحظة: هذا التمرين يوضح أهمية خصائص خط الوسط في المثلث وعلاقتها بالمستطيلات.

المستقيمات الموازية للمحاور ومجموعات النقاط

تمرين 5

المعطيات: نعتبر معيناً متعامداً $(O,I,J)$

النقاط: $A(-3,2), B(2,-2), C(3,2), D(-1,3), E(4,-2), F(-1,4), G(4,4), H(-1,-2), K(2,3), L(-3,3)$

أسئلة متعددة:

1) حدد المستقيمات الموازية لـ $(OI)$ ثم بين هذا التوازي

2) حدد المستقيمات الموازية لـ $(OJ)$ ثم بين هذا التوازي

3) حدد المجموعات التالية لنقاط المستوي $M(x,y)$

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

أساسيات المستقيمات الموازية للمحاور:

المحور $(OI)$ مواز لمحور الفواصل: جميع النقاط عليه لها $y = 0$
المستقيمات الموازية لـ $(OI)$ هي المستقيمات التي تحافظ على نفس الترتيب $y$
المحور $(OJ)$ مواز لمحور التراتيب: جميع النقاط عليه لها $x = 0$
المستقيمات الموازية لـ $(OJ)$ هي المستقيمات التي تحافظ على نفس الفاصلة $x$

ابحث عن: النقاط التي لها نفس الإحداثية $y$ أو نفس الإحداثية $x$

📝 الطريقة خطوة بخطوة

1) المستقيمات الموازية لـ $(OI)$:

نبحث عن النقاط التي لها نفس الإحداثية $y$:

النقاط $A(-3,2)$ و $C(3,2)$: كلاهما له $y = 2$
النقاط $E(4,-2), B(2,-2), H(-1,-2)$: كلها لها $y = -2$
النقاط $D(-1,3), K(2,3), L(-3,3)$: كلها لها $y = 3$
النقاط $G(4,4)$ و $F(-1,4)$: كلاهما له $y = 4$

2) المستقيمات الموازية لـ $(OJ)$:

نبحث عن النقاط التي لها نفس الإحداثية $x$:

النقاط $A(-3,2)$ و $L(-3,3)$: كلاهما له $x = -3$
النقاط $D(-1,3), F(-1,4), H(-1,-2)$: كلها لها $x = -1$
النقاط $B(2,-2)$ و $K(2,3)$: كلاهما له $x = 2$
النقاط $E(4,-2)$ و $G(4,4)$: كلاهما له $x = 4$

✅ الحل الكامل

الجزء الأول - المستقيمات الموازية لـ $(OI)$:

المحور $(OI)$ مواز لمحور الفواصل، لذلك المستقيمات الموازية له هي:

$(AC)$: يمر بـ $A(-3,2)$ و $C(3,2)$ - مواز لمحور الفواصل
$(EBH)$: يمر بـ $E(4,-2), B(2,-2), H(-1,-2)$
$(DKL)$: يمر بـ $D(-1,3), K(2,3), L(-3,3)$
$(GF)$: يمر بـ $G(4,4)$ و $F(-1,4)$

الجزء الثاني - المستقيمات الموازية لـ $(OJ)$:

المحور $(OJ)$ مواز لمحور التراتيب، لذلك المستقيمات الموازية له هي:

$(AL)$: يمر بـ $A(-3,2)$ و $L(-3,3)$
$(DFH)$: يمر بـ $D(-1,3), F(-1,4), H(-1,-2)$
$(BK)$: يمر بـ $B(2,-2)$ و $K(2,3)$
$(EG)$: يمر بـ $E(4,-2)$ و $G(4,4)$

الجزء الثالث - مجموعات النقاط:

أمثلة على المجموعات:

$2 ≤ y ≤ 3, x = -3$: قطعة مستقيم موازية لمحور التراتيب من $(-3,2)$ إلى $(-3,3)$
$x ≤ 4, y = 4$: نصف مستقيم مواز لمحور الفواصل ينتهي عند $(4,4)$
$-1 ≤ x ≤ 2, y = -2$: قطعة مستقيم موازية لمحور الفواصل من $(-1,-2)$ إلى $(2,-2)$

المنتصفات والمناظرات ومتوازي الأضلاع

تمرين 6

المعطيات: نعتبر معيناً متعامداً $(O,I,J)$

النقاط: $A(-3,2), B(2,-2), C(3,2), D(-1,3), E(4,-2), F(-1,4), G(4,4), H(-1,-2)$

الأسئلة:

1) حدد إحداثيات المنتصفات: $K$ منتصف $[AF]$، $L$ منتصف $[BG]$، $M$ منتصف $[DH]$، $N$ منتصف $[BE]$

2) حدد إحداثيات المناظرات: $P$ مناظرة $A$ بالنسبة لـ $F$، $Q$ مناظرة $D$ بالنسبة لـ $I$

3) حدد النقاط لتكوين متواziات الأضلاع مع النقاط المعطاة

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

قواعد أساسية:

المنتصف: للنقطتين $A(x_1,y_1)$ و $B(x_2,y_2)$، المنتصف هو $(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2})$
المناظرة: إذا كانت $M$ مناظرة $A$ بالنسبة لـ $B$، فإن $B$ منتصف $[AM]$
متوازي الأضلاع: القطران يتقاطعان في منتصف كل منهما

حالات خاصة: إذا كانت النقطتان على نفس المستقيم الموازي للمحاور، فالحساب أبسط

📝 الطريقة

1) حساب المنتصفات:

$K$ منتصف $[AF]$: $A(-3,2)$ و $F(-1,4)$

$K = (\frac{-3+(-1)}{2}, \frac{2+4}{2}) = (-2, 3)$

للنقاط على نفس المستقيم الموازي للمحاور:

$M$ منتصف $[DH]$: $D(-1,3)$ و $H(-1,-2)$ (نفس $x$)

$M = (-1, \frac{3+(-2)}{2}) = (-1, 0.5)$

2) حساب المناظرات:

إذا كانت $P$ مناظرة $A$ بالنسبة لـ $F$، فإن:

$F$ منتصف $[AP]$ ← $P = 2F - A$

✅ الحل الكامل

1) المنتصفات:

$K$ منتصف $[AF]$: $(-2, 3)$
$L$ منتصف $[BG]$: $(3, 1)$
$M$ منتصف $[DH]$: $(-1, 0.5)$
$N$ منتصف $[BE]$: $(3, -2)$

2) المناظرات:

$P$ مناظرة $A$ بالنسبة لـ $F$:

من $A(-3,2)$ إلى $F(-1,4)$: نتحرك $2$ يميناً و $2$ أعلى

من $F$ إلى $P$: نفس الحركة → $P = (-1+2, 4+2) = $ $(1, 6)$

$Q$ مناظرة $D$ بالنسبة لـ $I$:

$I(1,0)$، من $D(-1,3)$ إلى $I$: نتحرك $2$ يميناً و $3$ أسفل

من $I$ إلى $Q$: نفس الحركة → $Q = (1+2, 0-3) = $ $(3, -3)$

3) متواليات الأضلاع:

$T$ بحيث يكون $ABTC$ متوازي أضلاع:

منتصف $[AC] = (0, 2)$ يجب أن يساوي منتصف $[BT]$

$B(2,-2)$ → منتصف $(0,2)$ → $T$

$T = $ $(-2, 6)$

نصيحة: في متوازي الأضلاع، استخدم دائماً خاصية تقاطع القطرين في منتصف كل منهما

التقاطعات والمساحات والتناظرات

تمرين 7

المعطيات: نعتبر معيناً متعامداً $(O,I,J)$

النقاط: $A(3,4), B(3,6), C(-4,4)$

الأسئلة:

1) تقاطع المستقيمات: $(AC)$ و $(OJ)$ في $E$، $(AB)$ و $(OI)$ في $F$

2) الموازي لـ $(OI)$ المار من $B$ يقطع $(OJ)$ في $G$. احسب مساحة شبه المنحرف $ABGC$

3) النقاط $M$ مناظرة $A$ بالنسبة إلى $(OI)$، $N$ مناظرة $B$ بالنسبة إلى $(OJ)$، $P$ مناظرة $A$ بالنسبة إلى $O$

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

تحليل المعطيات:

$A(3,4)$ و $C(-4,4)$: نفس الترتيب $y = 4$ → $(AC)$ مواز لمحور الفواصل
$A(3,4)$ و $B(3,6)$: نفس الفاصلة $x = 3$ → $(AB)$ مواز لمحور التراتيب
للتقاطع مع المحاور: استخدم إحداثيات المحاور

المناظرات:

بالنسبة لمحور الفواصل: $x$ يبقى، $y$ يتغير الإشارة
بالنسبة لمحور التراتيب: $y$ يبقى، $x$ يتغير الإشارة
بالنسبة للأصل: كلا الإحداثيتين تتغير الإشارة

📝 الطريقة

1) إيجاد التقاطعات:

النقطة $E$ (تقاطع $(AC)$ مع $(OJ)$):

$(AC)$ مواز لمحور الفواصل بمعادلة: $y = 4$

$(OJ)$ هو محور التراتيب: $x = 0$

التقاطع: $E = (0, 4)$

النقطة $F$ (تقاطع $(AB)$ مع $(OI)$):

$(AB)$ مواز لمحور التراتيب بمعادلة: $x = 3$

$(OI)$ هو محور الفواصل: $y = 0$

التقاطع: $F = (3, 0)$

2) حساب المساحة:

المستقيم الموازي لـ $(OI)$ والمار من $B(3,6)$: $y = 6$

تقاطعه مع $(OJ)$: $G = (0, 6)$

✅ الحل الكامل

1) نقاط التقاطع:

$E$ (تقاطع $(AC)$ و $(OJ)$): $(0, 4)$
$F$ (تقاطع $(AB)$ و $(OI)$): $(3, 0)$
$G$ (تقاطع الموازي لـ $(OI)$ من $B$ مع $(OJ)$): $(0, 6)$

2) مساحة شبه المنحرف $ABGC$:

القاعدتان المتوازيتان:

$BG$: من $(3,6)$ إلى $(0,6)$ - طول = $3$
$AC$: من $(3,4)$ إلى $(-4,4)$ - طول = $7$

الارتفاع = المسافة بين $y = 6$ و $y = 4$ = $2$

$$\text{المساحة} = \frac{(3 + 7) \times 2}{2} = \frac{10 \times 2}{2} = 10 \text{ وحدة مساحة}$$

3) النقاط المناظرة:

$M$ مناظرة $A(3,4)$ بالنسبة لـ $(OI)$: $(3, -4)$
$N$ مناظرة $B(3,6)$ بالنسبة لـ $(OJ)$: $(-3, 6)$
$P$ مناظرة $A(3,4)$ بالنسبة لـ $O$: $(-3, -4)$

4) خصائص إضافية:

المثلث $OAM$ متساوي الساقين لأن $M$ مناظرة $A$ بالنسبة لمحور الفواصل، وبالتالي $OA = OM$

التوازي والمستطيل وخط الوسط

تمرين 8

المعطيات: معين $(O,I,J)$ بحيث $(OI)$ و $(OJ)$ متعامدان و $OI = OJ = 1cm$

النقاط: $A(-4,2), B(-4,-4), C(4,-4), D(4,3)$

الأسئلة:

1) بين أن $(AB) \parallel (CD)$

2) إحداثيات $E$ منتصف $[AB]$

3) المستقيم المار من $E$ موازي لـ $(BC)$ يقطع $[AC]$ في $F$. بين أن $F$ منتصف $[AC]$ وأن $BC = 2EF$

4) بين أن الرباعي $EFKB$ مستطيل حيث $K$ تقاطع $(BC)$ مع محور التراتيب

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

تحليل النقاط:

$A(-4,2)$ و $B(-4,-4)$: نفس الفاصلة $x = -4$ → $(AB)$ مواز لمحور التراتيب
$C(4,-4)$ و $D(4,3)$: نفس الفاصلة $x = 4$ → $(CD)$ مواز لمحور التراتيب
$B(-4,-4)$ و $C(4,-4)$: نفس الترتيب $y = -4$ → $(BC)$ مواز لمحور الفواصل

خط الوسط: في المثلث، خط الوسط يوازي القاعدة وطوله نصف طولها

المستطيل: رباعي بأضلاع متقابلة متوازية ومتساوية وزوايا قائمة

📝 الطريقة

1) إثبات التوازي $(AB) \parallel (CD)$:

كلا المستقيمين مواز لمحور التراتيب:

$(AB)$: $x = -4$
$(CD)$: $x = 4$

إذن $(AB) \parallel (CD)$ ✓

2) حساب منتصف $[AB]$:

$A(-4,2)$ و $B(-4,-4)$ على نفس المستقيم الموازي لمحور التراتيب

$E = (-4, \frac{2+(-4)}{2}) = (-4, -1)$

3) تطبيق خاصية خط الوسط:

في المثلث $ABC$، إذا كان $E$ منتصف $[AB]$ و $F$ منتصف $[AC]$

فإن $(EF) \parallel (BC)$ و $EF = \frac{1}{2}BC$

✅ الحل الكامل

1) التوازي:

$(AB) \parallel (CD)$ لأن كلاهما مواز لمحور التراتيب

2) المنتصف:

$E$ منتصف $[AB]$: $(-4, -1)$

3) خط الوسط:

إثبات أن $F$ منتصف $[AC]$:

المستقيم المار من $E(-4,-1)$ وموازي لـ $(BC)$ : $y = -1$

منتصف $[AC]$: $A(3,4)$ و $C(-4,4)$ → منتصف = $(-0.5, 4)$

لكن التقاطع مع هذا المستقيم يعطي: $F = (0, -1)$ ✓

حساب الأطوال:

$BC$: من $(-4,-4)$ إلى $(4,-4)$ = $8$ وحدات
$EF$: من $(-4,-1)$ إلى $(0,-1)$ = $4$ وحدات

إذن $BC = 2EF$ ✓ (خاصية خط الوسط)

4) المستطيل $EFKB$:

تقاطع $(BC)$ مع محور التراتيب: $K = (0, -4)$

رؤوس المستطيل: $E(-4,-1), F(0,-1), K(0,-4), B(-4,-4)$

إثبات أنه مستطيل:

$[EF]$ و $[BK]$: موازيان لمحور الفواصل وطولهما $4$
$[EB]$ و $[FK]$: موازيان لمحور التراتيب وطولهما $3$
جميع الزوايا قائمة (تقاطع مستقيمات موازية للمحاور)

إذن $EFKB$ مستطيل ✓

ملاحظة: هذا التمرين يوضح أهمية خصائص خط الوسط في المثلث وعلاقتها بالمستطيلات