التمرين رقم 4 - الهندسة التحليلية

التمرين 4

الهندسة في المستوي

المعطيات:

ليكن (O, I, J) معيناً متعامداً في المستوي حيث:

$$OI = OJ = 1 \text{ cm}$$

1) عيّن النقاط A(-2 ; 2) و B(3 ; 2) و E(0 ; 2) و D(2 ; 1)

أ/ بيّن أن (OJ) ⊥ (AE) ثم أحسب AB

ب/ بيّن أن I هي مناظرة B بالنسبة لـ DJ

ج/ المستقيم المار من A والموازي لـ (OJ) يقطع (OI) في M. حدد إحداثيات M ثم احسب مساحة الرباعي ABIM

2) عيّن النقطة K بحيث يكون الرباعي ABIM متوازي أضلاع

أ/ حدد إحداثيات L منتصف [AI]

ب/ استنتج إحداثيات النقطة M

4) لتكن P النقطة ذات الإحداثيات (2, 2)

أ) بيّن أن A و B و P على استقامة واحدة

ب) المستقيم (DP) يقطع (OI) في Q. حدد إحداثيات Q

ج) بيّن أن BPIQ متوازي أضلاع

د) احسب مساحة المثلث AID معللاً جوابك

5) ماهي مجموعة النقاط M(x, y) حيث y = 2 و x ≤ 2?

لم تبدأ بعد

💡 توجيهات للتفكير

للسؤال 1:

• ارسم النقاط في المعين المتعامد

• للتحقق من التعامد: مستقيم موازٍ لمحور الفواصل ومستقيم موازٍ لمحور التراتيب متعامدان دائما

• لحساب المسافة AB: النقطتان لهما نفس الترتيبة، إذن $$AB = \left|x_B - x_A\right|$$

للسؤال 2:

• لمتوازي الأضلاع، القطران ينصفان بعضهما

• استخدم إحداثيات المنتصف

للسؤال 4:

• للتحقق من الاستقامة، تحقق من أن للنقاط الثلاث نفس الترتيبة (أو نفس الفاصلة)

• لإثبات متوازي الأضلاع، استخدم خاصية القطرين: لهما نفس المنتصف (الدرس 7)

للسؤال 5:

• المعادلة y = 2 تمثل مستقيماً موازياً لمحور الفواصل

• الشرط x ≤ 2 يحدد جزءاً من هذا المستقيم

📝 منهجية الحل

1أ) إثبات (OJ) ⊥ (AE):

نحدّد طبيعة كلّ مستقيم من إحداثيات نقطتيه:

$$(OJ): x = 0 \text{ (مستقيم عمودي)}$$ $$(AE): y = 2 \text{ (مستقيم أفقي)}$$

مستقيم عمودي ومستقيم أفقي متعامدان دائماً ✓

حساب AB:

$$AB = \left|x_B - x_A\right| = \left|3 - (-2)\right| = 5 \text{ cm}$$

1ب) إثبات I مناظرة B بالنسبة لـ DJ:

نتحقق من أن DJ محور تناظر بين I و B

1ج) حساب إحداثيات M:

المستقيم المار من A والموازي لـ (OJ) له معادلة: x = -2

يقطع (OI) عندما y = 0، إذن M(-2, 0)

2أ) حساب إحداثيات L:

$$L = \left(\frac{x_A + x_I}{2}, \frac{y_A + y_I}{2}\right)$$

4) إثبات الاستقامة:

نقارن ترتيبات النقاط الثلاث: إذا تساوت فهي على مستقيم واحد موازٍ لمحور الفواصل

5) مجموعة النقاط:

المجموعة هي نصف مستقيم على الخط y = 2 حيث x ≤ 2

✅ الحل النهائي

1أ) إثبات (OJ) ⊥ (AE):

• A(-2, 2) و E(0, 2) تقعان على نفس الخط y = 2 (مستقيم أفقي)

• (OJ) هو محور التراتيب x = 0 (مستقيم عمودي)

• إذن (OJ) ⊥ (AE) ✓

حساب AB:

$$AB = \left|x_B - x_A\right| = \left|3 - (-2)\right| = 5 \text{ cm}$$

1ب) إثبات I مناظرة B بالنسبة لـ DJ:

نقطة I(1, 0) و B(3, 2) و D(2, 1) و J(0, 1)

منتصف [BI] هو: $$\left(\frac{3+1}{2}, \frac{2+0}{2}\right) = (2, 1) = D$$

ونتحقق من أن (BI) ⊥ (DJ)، إذن I مناظرة B بالنسبة لـ DJ ✓

1ج) حساب إحداثيات M ومساحة ABIM:

المستقيم المار من A والموازي لـ (OJ) له معادلة: x = -2

يقطع (OI) في: M(-2, 0)

مساحة الرباعي ABIM:

$$\text{المساحة} = \frac{1}{2}|x_A(y_B - y_M) + x_B(y_I - y_A) + x_I(y_M - y_B) + x_M(y_A - y_I)|$$ $$= \frac{1}{2}|(-2)(2-0) + 3(0-2) + 1(0-2) + (-2)(2-0)|$$ $$= \frac{1}{2}|-4 - 6 - 2 - 4| = \frac{1}{2} \times 16 = 8 \text{ cm}^2$$

2أ) إحداثيات L منتصف [AI]:

$$L = \left(\frac{-2+1}{2}, \frac{2+0}{2}\right) = \left(-\frac{1}{2}, 1\right)$$

4أ) إثبات الاستقامة:

نقارن ترتيبات النقاط الثلاث:

$$y_A = 2 \qquad y_B = 2 \qquad y_P = 2$$

النقاط الثلاث لها نفس الترتيبة $2$، إذن هي كلّها على المستقيم الموازي لمحور الفواصل ذي الترتيبة $2$ (الدرس 3)

بما أنّها تنتمي إلى نفس المستقيم، فإن $A$ و $B$ و $P$ على استقامة واحدة ✓

5) مجموعة النقاط M(x, y):

الشرط: y = 2 و x ≤ 2

المجموعة هي: نصف مستقيم أفقي على الخط y = 2 يبدأ من النقطة (2, 2) ويمتد نحو اليسار (x → -∞)