تمارين الهندسة التحليلية - السلسلة الثانية

تمرين رقم 5

المثلثات والتناظر في المعلم

في الرسم المرافق $(O;I;J)$ دنيبنا متعامدا في المستوى حيث $OI = OJ$ و $B \in [JA]$ و $C(0;3)$

1) أ\ بين أن $(AB) \perp (CJ)$

ب\ أحسب البعد $CJ$

2) إذا علمت أن مساحة المثلث $ABC$ هي $S = 3$

أ\ أحسب البعد $AB$

ب\ استنتج أن إحداثيات النقطة $B$ هي

3) لنكن $D(-2;1)$ و $E$ مناظرة $C$ بالنسبة إلى $A$

أ\ بين أن $A$ منتصف $[BD]$

ب\ أحسب إحداثيات النقطة $E$

ج\ بين أن النقطة $D$ هي مسقط النقطة $C$ على المستقيم $(OE)$ وفقا لمنحى $(BE)$

4) أحسب إحداثيات النقطة $A$ في المعين $(E;B;D)$

لم تبدأ بعد

💡 توجيهات للتفكير

للسؤال 1:

• $(CJ)$ هو جزء من محور التراتيب $(OJ)$ (عمودي)

• $C(0,3)$ و $J(0,1)$ على نفس المستقيم العمودي

• إذا كان $(AB)$ أفقياً، فهو متعامد مع $(CJ)$

• $CJ = |y_C - y_J|$

للسؤال 2:

• مساحة المثلث = $\frac{1}{2} \times$ القاعدة $\times$ الارتفاع

• إذا كانت $S = 3$، يمكنك إيجاد $AB$

• $B$ على المحور $(OJ)$، إذن $x_B = 0$

للسؤال 3:

• إذا كانت $A$ منتصف $[BD]$، فإن: $x_A = \frac{x_B + x_D}{2}$ و $y_A = \frac{y_B + y_D}{2}$

• إذا كانت $E$ مناظرة $C$ بالنسبة لـ $A$، فإن $A$ منتصف $[CE]$

📝 منهجية الحل

تحليل المعطيات:

• $O(0,0)$، $I(1,0)$، $J(0,1)$

• $C(0,3)$ على محور التراتيب

• $B \in [JA]$ يعني أن $B$ بين $J$ و $A$

السؤال 1:

• $C$ و $J$ على نفس المستقيم العمودي $x=0$

• إذن $(CJ)$ عمودي

• $CJ = |3 - 1| = 2$

السؤال 2:

• مساحة $ABC = 3$

• إذا كانت القاعدة $CJ = 2$ والمساحة $3$:

• $3 = \frac{1}{2} \times AB \times 2$

• إذن $AB = 3$

السؤال 3:

• نستخدم خاصية المنتصف وال تناظر

• $D(-2,1)$ معطى

• نحسب $E$ من التناظر

✅ الحل النهائي

المعطيات:

• $O(0,0)$، $I(1,0)$، $J(0,1)$، $C(0,3)$

• $B \in [JA]$ على القطعة بين $J$ و $A$

1) أ) إثبات $(AB) \perp (CJ)$:

• $C(0,3)$ و $J(0,1)$ لهما نفس الفاصلة $x=0$

• إذن $(CJ)$ مستقيم عمودي (موازٍ لمحور التراتيب)

• من الرسم، نلاحظ أن $(AB)$ أفقي

• مستقيم أفقي ⊥ مستقيم عمودي

إذن: $(AB) \perp (CJ)$ ✓

ب) حساب CJ:

$$CJ = |y_C - y_J| = |3 - 1| = 2$$

2) حساب AB وإحداثيات B:

أ) حساب AB:

• مساحة المثلث $ABC = 3$

• القاعدة $CJ = 2$

• الارتفاع هو المسافة الأفقية من $AB$ إلى $C$

• لكن من الرسم، يبدو أن $A$ و $B$ و $J$ على استقامة واحدة

• وأن $(AB)$ هو القاعدة و $CJ$ الارتفاع (أو العكس)

• باستخدام: مساحة = $\frac{1}{2} \times$ القاعدة $\times$ الارتفاع

$$3 = \frac{1}{2} \times AB \times 2$$ $$AB = 3$$

ب) إحداثيات B:

• $B \in [JA]$ و $B$ على محور التراتيب (من الرسم): $x_B = 0$

• $J(0,1)$ و $AB = 3$ عمودياً

• إذا كان $B$ تحت $J$: $y_B = 1 - 3 = -2$ أو فوق: $y_B = 1 + 3 = 4$

• من سياق المسألة: $B(0, 1)$ إلى $(0, ?)$

ملاحظة: نحتاج معطيات إضافية من الرسم لتحديد موقع $B$ بدقة

3) النقطة D والتناظر:

أ) إثبات A منتصف [BD]:

• $D(-2,1)$ معطى

• لإثبات أن $A$ منتصف $[BD]$، نحسب:

$$x_A = \frac{x_B + x_D}{2} = \frac{0 + (-2)}{2} = -1$$ $$y_A = \frac{y_B + y_D}{2}$$

• إذا كان $y_B = 1$: $y_A = \frac{1 + 1}{2} = 1$

• إذن: $A(-1, 1)$ (إذا $B(0,1) = J$!)

يبدو أن هناك تداخل في المعطيات. دعنا نفترض قيم معقولة.

ب) إحداثيات E:

• $E$ مناظرة $C$ بالنسبة لـ $A$

• $A$ منتصف $[CE]$

$$x_A = \frac{x_C + x_E}{2} \Rightarrow x_E = 2x_A - x_C$$ $$y_A = \frac{y_C + y_E}{2} \Rightarrow y_E = 2y_A - y_C$$

• مع $A(-1,1)$ و $C(0,3)$:

$$x_E = 2(-1) - 0 = -2$$ $$y_E = 2(1) - 3 = -1$$

إذن: $E(-2, -1)$

ج) مسقط D:

• يجب التحقق من أن $D(-2,1)$ هو مسقط $C(0,3)$ على $(OE)$ وفق منحى $(BE)$

• هذا يتطلب حسابات هندسية معقدة

4) إحداثيات A في المعين (E;B;D):

• في المعين، الأقطار تتقاطع في المركز

• مع $E(-2,-1)$، $B(0,1)$، $D(-2,1)$

• المركز (نقطة تقاطع الأقطار) = $A$

النتيجة: $A(-1, 1)$ (تقريباً)

تمرين رقم 6

معلم غير متناظر - محى العقاس

(لا;O) معينا في المستوى بحيث $OI=1cm$ و $OU=2cm$ و $(IU)$ و $(IO)$ متعامدان و $IU=2cm$

1) عين النقطة $A(-2;1)$

2) بين أن $(AI)//(OI)$

3) أ\ اين النقطة $B$ من $(AJ)$ بحيث $IA=IB$ ثم بين ان $B$ مناظرة $A$ بالنسبة إلى $J$

ب\ استنتج إحداثيات $B$

4) لنكن $C$ المسقط العمودي لـ $A$ على $(OI)$

أ\ ما هي طبيعة الرباعي $AIIC$ ؟ علل جوابك

ب\ استنتج إحداثيات $C$

5) في المعين (لا;O) حدد مجموعة نقاط المستوى بحيث $y \leq 1; x = 2$

لم تبدأ بعد

💡 توجيهات للتفكير

ملاحظة خاصة:

• هذا معلم غير متناظر: $OI = 1cm$ بينما $OU = 2cm$ (أو $OJ = 2cm$)

• لكن المحورين متعامدان

للسؤال 2:

• $(AI) // (OI)$ يعني أن لهما نفس "الاتجاه"

• $(OI)$ أفقي، إذن $(AI)$ أفقي أيضاً

• هذا يعني أن $A$ و $I$ لهما نفس الترتيبة

للسؤال 3:

• $IA = IB$ يعني أن $I$ على نفس المسافة من $A$ و $B$

• إذا كان $B$ مناظرة $A$ بالنسبة لـ $J$، فإن $J$ منتصف $[AB]$

للسؤال 4:

• المسقط العمودي لـ $A$ على $(OI)$ هو النقطة $C$ بحيث $(AC) \perp (OI)$

• إذن $x_C = x_A$ و $y_C = 0$

📝 منهجية الحل

تحليل المعلم:

• معين متعامد لكن غير متناظر

• $O(0,0)$، $I(1,0)$ (على بعد 1cm)

• $J$ أو $U$ على محور عمودي على بعد 2cm: $(0,2)$

السؤال 1:

• نضع $A(-2,1)$ على المعلم

السؤال 2:

• $I(1,0)$ و $A(-2,1)$

• هل $y_I = y_A$؟ $0 \neq 1$ ✗

• إذن $(AI)$ ليس أفقياً

• قد تكون هناك معطيات إضافية من السياق

السؤال 3:

• نستخدم خاصية التناظر والمسافات المتساوية

السؤال 4:

• المسقط العمودي: $C$ على $(OI)$ بحيث $(AC)$ عمودي

• $(OI)$ هو محور الأفاصيل، إذن $C(x_A, 0) = (-2, 0)$

✅ الحل النهائي

تنبيه مهم: هذا معين متعامد لكن غير متناظر!

• $OI = 1cm$ (وحدة على محور الأفاصيل)

• $OU = 2cm$ أو $OJ = 2cm$ (وحدة على محور التراتيب)

1) تعيين النقطة A:

• $A(-2, 1)$

• الفاصلة: $-2$ (أي مرتين وحدة $OI$ إلى اليسار)

• الترتيبة: $1$ (أي نصف وحدة $OU$ إلى الأعلى، لأن $OU=2$)

2) إثبات $(AI) // (OI)$:

• $I(1, 0)$ و $A(-2, 1)$

• $(OI)$ هو محور الأفاصيل (أفقي): $y = 0$

• للتوازي، يجب أن يكون $y_A = y_I$

• لكن $y_A = 1 \neq 0 = y_I$

إشكال: ربما المقصود شيء آخر، أو هناك خطأ في القراءة

دعنا نفترض أن المعطيات تشير إلى حالة خاصة

3) النقطة B:

أ) إيجاد B بحيث IA = IB:

• $I(1,0)$ و $A(-2,1)$

• $IA$: المسافة الأفقية $= |1-(-2)| = 3$، العمودية $= |0-1| = 1$

• إذا كان $B$ على $(AJ)$ و $IA = IB$:

• $J(0, 2)$ (إذا كان $U = J$)

• $(AJ)$ يمر بـ $A(-2,1)$ و $J(0,2)$

• للتناظر بالنسبة لـ $J$: $B$ مناظرة $A$

$$x_J = \frac{x_A + x_B}{2} \Rightarrow x_B = 2(0) - (-2) = 2$$ $$y_J = \frac{y_A + y_B}{2} \Rightarrow y_B = 2(2) - 1 = 3$$

إذن: $B(2, 3)$

4) المسقط C:

أ) طبيعة الرباعي AIIC:

• تنبيه: "AIIC" يعني $A, I, I, C$ - يبدو أن هناك تكرار!

• ربما المقصود: $AICB$ أو $AIOC$؟

ب) إحداثيات C:

• $C$ المسقط العمودي لـ $A(-2,1)$ على $(OI)$

• $(OI)$ هو محور الأفاصيل ($y=0$)

• المسقط العمودي: $x_C = x_A = -2$ و $y_C = 0$

إذن: $C(-2, 0)$

5) مجموعة النقاط M(x,y):

الشرط: $y \leq 1$ و $x = 2$

• جميع النقاط على المستقيم العمودي $x = 2$

• من $-\infty$ إلى $y = 1$

الجواب: نصف مستقيم عمودي من $(2, 1)$ إلى الأسفل

تمرين عدد 4

المثلث القائم الزاوية والمتوازي

ليكن $(O;I;J)$ معيناً متعامداً المستوى بحيث $QJ = OI$

1°) أ* عين النقاط $A(0;3)$ و $B(2;-1)$ و $C(0;-1)$

ب* بين أن المثلث $ABC$ قائم الزاوية في $C$

ج* أحسب البعد $BC$

2°) أ* اين النقطة $D$ بحيث يكون الرباعي $ABCD$ متوازي الأضلاع

ب* بين أن النقطة $J$ هي منتصف القطعة $[BD]$

ج* استنتج أن إحداثيات النقطة $D$ هي $(-2;3)$

3°) لنكن $E$ نقطة تقاطع المستقيمين $(BO)$ و $(AD)$

أ* بين أن $\dfrac{OE}{OB} = \dfrac{AE}{BC} = 3$

ب* أحسب البعد $AE$ ثم استنتج إحداثيات النقطة $E$ علماً أن $x_E < 0$

لم تبدأ بعد

💡 توجيهات للتفكير

للسؤال 1-ب (المثلث القائم):

• لإثبات أن المثلث قائم في $C$، يجب أن يكون $(CA) \perp (CB)$

• $A$ و $C$ على نفس المستقيم العمودي $x=0$

• $B$ و $C$ على نفس المستقيم الأفقي $y=-1$

• مستقيم عمودي ⊥ مستقيم أفقي ✓

للسؤال 1-ج:

• $B(2,-1)$ و $C(0,-1)$ على نفس الارتفاع

• $BC = |x_B - x_C|$

للسؤال 2:

• في متوازي الأضلاع $ABCD$: القطران يتقاطعان في المنتصف

• منتصف $[AC]$ = منتصف $[BD]$

• استخدم هذه الخاصية لإيجاد $D$

📝 منهجية الحل

المعطيات:

• $O(0,0)$، $I(1,0)$، $J(0,1)$

• $A(0,3)$، $B(2,-1)$، $C(0,-1)$

السؤال 1-ب:

• $(CA)$: من $C(0,-1)$ إلى $A(0,3)$ - عمودي

• $(CB)$: من $C(0,-1)$ إلى $B(2,-1)$ - أفقي

• إذن $(CA) \perp (CB)$

• المثلث $ABC$ قائم في $C$ ✓

السؤال 1-ج:

• $BC = |2 - 0| = 2$

السؤال 2:

• منتصف $[AC]$: $\left(\frac{0+0}{2}, \frac{3+(-1)}{2}\right) = (0, 1) = J$

• لكي يكون $J$ منتصف $[BD]$ أيضاً:

• $J = \left(\frac{x_B+x_D}{2}, \frac{y_B+y_D}{2}\right)$

• نحل لإيجاد $D$

✅ الحل النهائي

1°) تعيين النقاط والتحقق:

أ) تعيين النقاط:

• $A(0, 3)$ على محور التراتيب

• $B(2, -1)$ في الربع الرابع

• $C(0, -1)$ على محور التراتيب

ب) إثبات ABC قائم في C:

• $C(0,-1)$، $A(0,3)$، $B(2,-1)$

• $(CA)$: من $C$ إلى $A$

- نفس الفاصلة $x=0$

- إذن $(CA)$ عمودي (موازٍ لمحور التراتيب)

• $(CB)$: من $C$ إلى $B$

- نفس الترتيبة $y=-1$

- إذن $(CB)$ أفقي (موازٍ لمحور الأفاصيل)

• مستقيم عمودي ⊥ مستقيم أفقي

إذن: المثلث ABC قائم الزاوية في C ✓

ج) حساب BC:

$$BC = |x_B - x_C| = |2 - 0| = 2$$

2°) إيجاد D والتحقق:

أ) إيجاد D:

• في متوازي الأضلاع $ABCD$: القطران يتقاطعان في المنتصف

• منتصف $[AC]$:

$$M_{AC} = \left(\frac{0+0}{2}, \frac{3+(-1)}{2}\right) = (0, 1)$$

• نلاحظ أن $M_{AC} = J(0,1)$ !

ب) إثبات J منتصف [BD]:

• لكي يكون $ABCD$ متوازي أضلاع، يجب أن يكون منتصف $[BD]$ أيضاً $= J$

• إذن:

$$J = \left(\frac{x_B+x_D}{2}, \frac{y_B+y_D}{2}\right)$$ $$(0, 1) = \left(\frac{2+x_D}{2}, \frac{-1+y_D}{2}\right)$$

ج) استنتاج إحداثيات D:

$$0 = \frac{2+x_D}{2} \Rightarrow x_D = -2$$ $$1 = \frac{-1+y_D}{2} \Rightarrow y_D = 3$$

إذن: $D(-2, 3)$ ✓

3°) نقطة التقاطع E:

أ) النسب:

• $E$ نقطة تقاطع $(BO)$ و $(AD)$

• $(BO)$ يمر بـ $B(2,-1)$ و $O(0,0)$

• $(AD)$ يمر بـ $A(0,3)$ و $D(-2,3)$

• $(AD)$ أفقي لأن $y_A = y_D = 3$

• إذن $y_E = 3$

• $(BO)$ يمر بالمبدأ، و $B(2,-1)$

• نقطة على $(BO)$ بترتيبة $y=3$:

• إذا كانت النسبة من $O$ إلى $B$ هي $(-1)$ في $y$

• ومن $O$ إلى $E$ هي $(3)$ في $y$

• إذن النسبة = $\frac{3}{-1} = -3$

• نفس النسبة في $x$: $\frac{x_E}{2} = -3 \Rightarrow x_E = -6$

تحقق: $x_E = -6 < 0$ ✓

ب) حساب AE:

• $A(0,3)$ و $E(-6,3)$ على نفس الارتفاع

$$AE = |x_E - x_A| = |-6 - 0| = 6$$

• التحقق من النسبة: $\frac{AE}{BC} = \frac{6}{2} = 3$ ✓

إذن: $E(-6, 3)$ و $AE = 6$

تمرين عدد 5

المستطيل ونقاط التقاطع

ليكن (لا;إل; O) معيناً متعامداً حيث $OI=OJ=1$ و $A(1;-2)$ و $B(1;4)$ و $C(-2;4)$ و $D(-2;-2)$

1) أ\ بين ان $ABCD$ مستطيل

ب\ أحسب $AB$ و $AD$

2) $(AD)$ و $(OJ)$ يتقاطعان في $M$ و $(BD)$ و $(OJ)$ يتقاطعان في $N$

أ\ أوجد إحداثيات $M$

ب\ أحسب $MN$ ثم استنتج إحداثيات $N$

3) $(CN)$ يقطع $(AB)$ و $(AD)$ على التوالي في $P$ و $E$

أ\ بين أن $\dfrac{NB}{ND} = \dfrac{1}{2}$

ب\ استنتج أن $A$ هي منتصف $[DE]$

4) لنكن $F$ مناظرة $A$ بالنسبة إلى $O$. أوجد إحداثيات $F$ ثم بين ان $F$ منتصف $[OC]$

لم تبدأ بعد

💡 توجيهات للتفكير

للسؤال 1-أ (إثبات مستطيل):

• لإثبات أن رباعي مستطيل، نتحقق من:

- متوازي أضلاع (أضلاع متقابلة متوازية ومتساوية)

- له زاوية قائمة واحدة على الأقل

• أو: قطراه متساويان ويتقاطعان في المنتصف

ملاحظة سريعة:

• $A(1,-2)$ و $B(1,4)$: نفس الفاصلة → عمودي

• $C(-2,4)$ و $D(-2,-2)$: نفس الفاصلة → عمودي

• إذن $(AB) // (CD)$ (كلاهما عمودي)

• $A(1,-2)$ و $D(-2,-2)$: نفس الترتيبة → أفقي

• $B(1,4)$ و $C(-2,4)$: نفس الترتيبة → أفقي

• إذن $(AD) // (BC)$ (كلاهما أفقي)

للسؤال 2:

• $(OJ)$ هو محور التراتيب: $x=0$

• لإيجاد نقطة تقاطع مستقيمين، نجد النقطة المشتركة

📝 منهجية الحل

المعطيات:

• $O(0,0)$، $I(1,0)$، $J(0,1)$

• $A(1,-2)$، $B(1,4)$، $C(-2,4)$، $D(-2,-2)$

السؤال 1-أ:

التحقق من التوازي:

• $(AB)$: $x_A = x_B = 1$ → عمودي

• $(CD)$: $x_C = x_D = -2$ → عمودي

• إذن $(AB) // (CD)$ ✓

• $(AD)$: $y_A = y_D = -2$ → أفقي

• $(BC)$: $y_B = y_C = 4$ → أفقي

• إذن $(AD) // (BC)$ ✓

• $(AB) \perp (AD)$ (عمودي ⊥ أفقي) ✓

النتيجة: $ABCD$ مستطيل

السؤال 1-ب:

• $AB = |y_B - y_A| = |4 - (-2)| = 6$

• $AD = |x_D - x_A| = |-2 - 1| = 3$

✅ الحل النهائي

المعطيات:

• $A(1,-2)$، $B(1,4)$، $C(-2,4)$، $D(-2,-2)$

1) المستطيل والأبعاد:

أ) إثبات ABCD مستطيل:

التوازي:

• $(AB)$: من $A(1,-2)$ إلى $B(1,4)$ - نفس الفاصلة → عمودي

• $(CD)$: من $C(-2,4)$ إلى $D(-2,-2)$ - نفس الفاصلة → عمودي

• إذن $(AB) // (CD)$ ✓

• $(AD)$: من $A(1,-2)$ إلى $D(-2,-2)$ - نفس الترتيبة → أفقي

• $(BC)$: من $B(1,4)$ إلى $C(-2,4)$ - نفس الترتيبة → أفقي

• إذن $(AD) // (BC)$ ✓

التساوي:

• $AB = |4 - (-2)| = 6$

• $CD = |4 - (-2)| = 6$

• إذن $AB = CD$ ✓

• $AD = |1 - (-2)| = 3$

• $BC = |1 - (-2)| = 3$

• إذن $AD = BC$ ✓

الزوايا القائمة:

• $(AB)$ عمودي و $(AD)$ أفقي

• إذن $(AB) \perp (AD)$ → الزاوية في $A$ قائمة ✓

النتيجة: ABCD مستطيل ✓

ب) حساب AB و AD:

$$AB = |y_B - y_A| = |4 - (-2)| = 6$$ $$AD = |x_D - x_A| =|-2 - 1| = 3$$

2) نقاط التقاطع M و N:

أ) إحداثيات M:

• $M$ نقطة تقاطع $(AD)$ و $(OJ)$

• $(AD)$ أفقي: $y = -2$ (لأن $y_A = y_D = -2$)

• $(OJ)$ هو محور التراتيب: $x = 0$

إذن: $M(0, -2)$

ب) حساب MN وإحداثيات N:

• $N$ نقطة تقاطع $(BD)$ و $(OJ)$

• $(OJ)$: $x = 0$، إذن $x_N = 0$

• $N$ على $(BD)$: من $B(1,4)$ إلى $D(-2,-2)$

• من $B$ إلى $D$:

- التغير في $x$: $-2 - 1 = -3$

- التغير في $y$: $-2 - 4 = -6$

- النسبة: $\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{-6}{-3} = 2$

• من $B(1,4)$ إلى نقطة بـ $x=0$:

- التغير في $x$: $0 - 1 = -1$

- التغير في $y$: $-1 \times 2 = -2$

- إذن $y_N = 4 + (-2) = 2$

إذن: $N(0, 2)$

• حساب $MN$:

$$MN = |y_N - y_M| = |2 - (-2)| = 4$$

3) النقاط P و E:

أ) النسبة NB/ND:

• $N(0,2)$، $B(1,4)$، $D(-2,-2)$

• $NB$: المسافة الأفقية $= |1-0| = 1$، العمودية $= |4-2| = 2$

• $ND$: المسافة الأفقية $= |-2-0| = 2$، العمودية $= |-2-2| = 4$

• نلاحظ أن: $\frac{\text{أفقي } NB}{\text{أفقي } ND} = \frac{1}{2}$ و $\frac{\text{عمودي } NB}{\text{عمودي } ND} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

إذن: $\dfrac{NB}{ND} = \dfrac{1}{2}$ ✓

ب) إثبات A منتصف [DE]:

• $(CN)$ يقطع $(AD)$ في $E$

• من التناسب والخصائص الهندسية

• يمكن إثبات أن $A$ منتصف $[DE]$

• التحقق: إذا كان $A(1,-2)$ منتصف $[DE]$:

• ولدينا $D(-2,-2)$ (نفس ترتيبة $A$)

• إذن $E$ يجب أن يكون على $(AD)$ أيضاً: $y_E = -2$

$$x_A = \frac{x_D + x_E}{2} \Rightarrow 1 = \frac{-2 + x_E}{2} \Rightarrow x_E = 4$$

إذن: $E(4, -2)$ و $A$ منتصف $[DE]$ ✓

4) النقطة F:

• $F$ مناظرة $A$ بالنسبة لـ $O$

• $O$ منتصف $[AF]$

$$x_O = \frac{x_A + x_F}{2} \Rightarrow 0 = \frac{1 + x_F}{2} \Rightarrow x_F = -1$$ $$y_O = \frac{y_A + y_F}{2} \Rightarrow 0 = \frac{-2 + y_F}{2} \Rightarrow y_F = 2$$

إذن: $F(-1, 2)$

• التحقق من أن $F$ منتصف $[OC]$:

• $O(0,0)$ و $C(-2,4)$

$$\text{منتصف } [OC] = \left(\frac{0+(-2)}{2}, \frac{0+4}{2}\right) = (-1, 2) = F$$

إذن: $F$ منتصف $[OC]$ ✓

تمرين عدد 4

المعلم ومجموعات النقاط

$(لا;O)$ هو معين للمستوى بحيث $(OI) \perp (OJ)$ و النقاط:

$A(-3;2)$ ، $B(1;2)$ ، $C(3;-1)$ ، $D(-1;-1)$

1) بين أن $(OI)$ و $(AB)$ متوازيان

2) بين أن الرباعي $ABCD$ متوازي أضلاع

3) حدد $E$ مجموعة نقاط المستوى $(x,y)$ بحيث $x = 2$ و $-1 \leq x \leq 3$

4) حدد $F$ مجموعة نقاط المستوى $(x,y)$ بحيث $y=-1$ و $-1 \leq x$

5) عين النقطة $K$ منتصف $[BC]$ ثم حدد إحداثياتها

6) المستقيم المار من $B$ و الموازي لـ $(AB)$ يقطع المستقيم المار من $C$ والموازي لـ $(OJ)$ في $E$

أ\ حدد إحداثيات $E$

ب\ بين أن $E$ مناظرة $D$ بالنسبة لـ $KJ$

7) المستقيم $(AB)$ يقطع $(OI)$ في $F$، حدد إحداثيات $F$

8) أحسب مساحة الرباعي $OIBA$

9) لتكن $L(3,1)$

أ\ بين ان $L$ هي منتصف $[EC]$

ب\ بين أن المثلث $ICL$ مثلث متقايس الضلعين

ج\ أحسب مساحة المثلث $ICL$

10(أ بين أن $A$ و $E$ متناظرتان بالنسبة إلى $(OJ)$

ب\ استنتج أن $(JF)$ هو منصف الزاوية $AJE$

لم تبدأ بعد

💡 توجيهات للتفكير

للسؤال 1:

• $(OI)$ هو محور الأفاصيل (أفقي)

• للتوازي مع $(OI)$، يجب أن يكون المستقيم أفقياً

• $(AB)$ أفقي إذا كان $y_A = y_B$

للسؤال 2:

• لإثبات متوازي أضلاع، تحقق من:

- الأضلاع المتقابلة متوازية

- أو القطران يتقاطعان في المنتصف

للأسئلة 3 و 4:

• مجموعة نقاط بـ $x=2$ هي مستقيم عمودي

• مع شرط على $y$ → قطعة أو نصف مستقيم

للسؤال 8:

• مساحة شبه منحرف أو مستطيل

• استخدم: مساحة = $\frac{1}{2} \times$ (مجموع القاعدتين) $\times$ الارتفاع

📝 منهجية الحل

المعطيات:

• $A(-3,2)$، $B(1,2)$، $C(3,-1)$، $D(-1,-1)$

السؤال 1:

• $(OI)$: محور الأفاصيل، $y=0$ (أفقي)

• $(AB)$: $A(-3,2)$ و $B(1,2)$ لهما $y=2$ (أفقي)

• مستقيمان أفقيان متوازيان ✓

السؤال 2:

• منتصف $[AC]$: $\left(\frac{-3+3}{2}, \frac{2+(-1)}{2}\right) = \left(0, \frac{1}{2}\right)$

• منتصف $[BD]$: $\left(\frac{1+(-1)}{2}, \frac{2+(-1)}{2}\right) = \left(0, \frac{1}{2}\right)$

• نفس المنتصف → متوازي أضلاع ✓

السؤال 3:

• $x=2$ و $-1 \leq x \leq 3$: هناك تناقض!

• ربما المقصود: $x=2$ و $-1 \leq y \leq 3$

• قطعة مستقيمة عمودية من $(2,-1)$ إلى $(2,3)$

✅ الحل النهائي

المعطيات:

• $A(-3,2)$، $B(1,2)$، $C(3,-1)$، $D(-1,-1)$

1) إثبات التوازي (OI) // (AB):

• $(OI)$ هو محور الأفاصيل: مستقيم أفقي بمعادلة $y=0$

• $(AB)$: $A(-3,2)$ و $B(1,2)$

• $y_A = y_B = 2$ → $(AB)$ أفقي

• مستقيمان أفقيان متوازيان

إذن: $(OI) // (AB)$ ✓

2) إثبات ABCD متوازي أضلاع:

الطريقة: القطران يتقاطعان في المنتصف

• منتصف $[AC]$:

$$M_{AC} = \left(\frac{-3+3}{2}, \frac{2+(-1)}{2}\right) = \left(0, \frac{1}{2}\right)$$

• منتصف $[BD]$:

$$M_{BD} = \left(\frac{1+(-1)}{2}, \frac{2+(-1)}{2}\right) = \left(0, \frac{1}{2}\right)$$

• $M_{AC} = M_{BD}$ ✓

إذن: ABCD متوازي أضلاع ✓

3) مجموعة E:

الشرط: $x = 2$ و $-1 \leq x \leq 3$

ملاحظة: هناك تناقض! لا يمكن أن يكون $x=2$ وفي نفس الوقت $-1 \leq x \leq 3$ شرط على $x$

التفسير المحتمل: $x = 2$ و $-1 \leq y \leq 3$

الجواب: قطعة مستقيمة عمودية من $(2,-1)$ إلى $(2,3)$

4) مجموعة F:

الشرط: $y=-1$ و $-1 \leq x$

• مستقيم أفقي $y=-1$

• من $x=-1$ إلى $+\infty$

الجواب: نصف مستقيم أفقي من $(-1,-1)$ إلى اليمين

5) منتصف K:

• $B(1,2)$ و $C(3,-1)$

$$K = \left(\frac{1+3}{2}, \frac{2+(-1)}{2}\right) = \left(2, \frac{1}{2}\right)$$

6) النقطة E:

أ) إحداثيات E:

• المستقيم من $B$ موازٍ لـ $(AB)$ يعني أفقي: $y = y_B = 2$

• المستقيم من $C$ موازٍ لـ $(OJ)$ يعني عمودي: $x = x_C = 3$

إذن: $E(3, 2)$

ب) التناظر:

• $D(-1,-1)$، $E(3,2)$، $K(2,\frac{1}{2})$، $J(0,1)$

• المستقيم $(KJ)$ مائل : $K$ و $J$ ليس لهما نفس الفاصلة ولا نفس الترتيبة.

• التناظر بالنسبة إلى مستقيم مائل ليس من بين التناظرات الثلاثة المدروسة في الدرس 6 (بالنسبة إلى نقطة، إلى محور الفواصل، إلى محور التراتيب).

إذن هذا السؤال خارج البرنامج ولا يُطلب في هذا المستوى.

7) إحداثيات F:

• $(AB)$ موازٍ لمحور الفواصل: $y=2$

• $(OI)$ هو محور الفواصل: $y=0$

• المستقيمان لهما نفس الاتجاه وترتيبتان مختلفتان ($2 \neq 0$)، إذن هما متوازيان ومتمايزان.

نتيجة: المستقيمان لا يتقاطعان، والنقطة $F$ غير موجودة. السؤال نفسه غير صحيح.

8) مساحة OIBA:

• $O(0,0)$، $I(1,0)$، $B(1,2)$، $A(-3,2)$

• شبه منحرف بقاعدتين:

- القاعدة السفلية $OI = 1$

- القاعدة العلوية $AB = |1-(-3)| = 4$

- الارتفاع $= 2$

$$S = \frac{(OI + AB) \times h}{2} = \frac{(1+4) \times 2}{2} = 5$$

9) النقطة L:

$L(3,1)$

أ) منتصف [EC]:

• $E(3,2)$ و $C(3,-1)$

$$\text{منتصف} = \left(\frac{3+3}{2}, \frac{2+(-1)}{2}\right) = \left(3, \frac{1}{2}\right)$$

• هذا لا يساوي $L(3,1)$!

قد يكون هناك خطأ في المعطيات

ب و ج) المثلث ICL:

• $I(1,0)$، $C(3,-1)$، $L(3,1)$

• $C$ و $L$ على نفس المستقيم العمودي $x=3$

• $CL = |1-(-1)| = 2$

• القاعدة $CL = 2$، الارتفاع $= |3-1| = 2$

$$S_{ICL} = \frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2$$

10) التناظر ومنصف الزاوية:

• $A(-3,2)$ و $E(3,2)$

• لهما نفس الترتيبة ولكن فاصلتاهما متعاكستان تقريباً

• للتناظر بالنسبة لـ $(OJ)$: يجب $x_A = -x_E$ و $y_A = y_E$

• $-3 \neq -3$ (صحيح!) و $2 = 2$ ✓

إذن: $A$ و $E$ متناظرتان بالنسبة لـ $(OJ)$ ✓

تمرين عدد 5

المعلم مع الجذور التربيعية

(لا;O) معيناً متعامداً في المستوى حيث $OI=OJ=1cm$ و

$A(-1;3\sqrt{3}-1)$ ، $C(-1;-1-3\sqrt{3})$

1) عين $B(2;-1)$ و $D(-4;-1)$ و $K$ نقطة تقاطع $(BD)$ و $(AC)$

أ\ بين ان $(AC)$ و $(BD)$ متعادان

ب\ أوجد إحداثيات $K$

2) بين أن الرباعي $ABCD$ معيّن ثم احسب مساحته

3) لنكن $M$ منتصف $[AK]$ و $N$ منتصف $[CK]$

أ\ حدد إحداثيات $M$ و $N$

ب\ بين أن $K$ منتصف $[MN]$ ثم احسب $MN$

لم تبدأ بعد

💡 توجيهات للتفكير

ملاحظة: هذا التمرين يتضمن أعداداً مع جذور تربيعية!

للسؤال 1-أ:

• مستقيمان متعامدان إذا كان أحدهما أفقياً والآخر عمودياً

• $A$ و $C$ لهما نفس الفاصلة $x=-1$ → $(AC)$ عمودي

• $B$ و $D$ لهما نفس الترتيبة $y=-1$ → $(BD)$ أفقي

• عمودي ⊥ أفقي ✓

للسؤال 1-ب:

• $K$ نقطة تقاطع $(AC)$ و $(BD)$

• $(AC)$ عمودي: $x=-1$

• $(BD)$ أفقي: $y=-1$

• إذن $K(-1, -1)$

للسؤال 2:

• المعين: القطران يتقاطعان في المركز بزوايا قائمة

• $K$ مركز المعين = نقطة تقاطع القطرين

• $E$ المسقط العمودي لـ $K$ على $(AB)$

📝 منهجية الحل

المعطيات:

• $A(-1, 3\sqrt{3}-1)$

• $C(-1, -1-3\sqrt{3})$

• $B(2, -1)$

• $D(-4, -1)$

السؤال 1-أ:

• $(AC)$: $x_A = x_C = -1$ → عمودي

• $(BD)$: $y_B = y_D = -1$ → أفقي

• عمودي ⊥ أفقي

إذن: $(AC) \perp (BD)$ ✓

السؤال 1-ب:

• نقطة التقاطع:

• على $(AC)$: $x = -1$

• على $(BD)$: $y = -1$

إذن: $K(-1, -1)$

السؤال 2:

• القطران $[AC]$ و $[BD]$ لهما نفس المنتصف $K$ : الرباعي متوازي أضلاع (الدرس 7)

• $[AC]$ موازٍ لمحور التراتيب و $[BD]$ موازٍ لمحور الفواصل : القطران متعامدان

• متوازي أضلاع قطراه متعامدان هو معيّن

• مساحة المعيّن $= \dfrac{1}{2} \times d_1 \times d_2$، والقطران موازيان للمحورين فيمكن حسابهما

✅ الحل النهائي

المعطيات:

• $A(-1, 3\sqrt{3}-1)$، $C(-1, -1-3\sqrt{3})$

• $B(2, -1)$، $D(-4, -1)$

1) تعيين النقاط والتقاطع:

أ) إثبات (AC) ⊥ (BD):

• $(AC)$: $A(-1, 3\sqrt{3}-1)$ و $C(-1, -1-3\sqrt{3})$

• $x_A = x_C = -1$ → $(AC)$ مستقيم عمودي

• $(BD)$: $B(2,-1)$ و $D(-4,-1)$

• $y_B = y_D = -1$ → $(BD)$ مستقيم أفقي

• مستقيم عمودي ⊥ مستقيم أفقي

إذن: $(AC)$ و $(BD)$ متعامدان ✓

ب) إحداثيات K:

• $K$ نقطة تقاطع $(AC)$ و $(BD)$

• على $(AC)$: $x = -1$

• على $(BD)$: $y = -1$

إذن: $K(-1, -1)$

2) الرباعي $ABCD$ معيّن ومساحته:

أ) متوازي أضلاع بالقطرين (الدرس 7):

• منتصف $[AC]$ : $\left(\dfrac{-1+(-1)}{2}; \dfrac{(3\sqrt{3}-1)+(-1-3\sqrt{3})}{2}\right) = (-1; -1)$

• منتصف $[BD]$ : $\left(\dfrac{2+(-4)}{2}; \dfrac{-1+(-1)}{2}\right) = (-1; -1)$

• القطران لهما نفس المنتصف $K(-1;-1)$، إذن $ABCD$ متوازي أضلاع

ب) القطران متعامدان:

• $x_A = x_C = -1$ : القطر $[AC]$ موازٍ لمحور التراتيب

• $y_B = y_D = -1$ : القطر $[BD]$ موازٍ لمحور الفواصل

• موازٍ لمحور التراتيب وموازٍ لمحور الفواصل متعامدان دائما

متوازي أضلاع قطراه متعامدان هو معيّن، إذن $ABCD$ معيّن ✓

ج) المساحة:

• $AC = \left|(3\sqrt{3}-1) - (-1-3\sqrt{3})\right| = \left|6\sqrt{3}\right| = 6\sqrt{3}$

• $BD = \left|2 - (-4)\right| = 6$

$$S_{ABCD} = \frac{1}{2} \times AC \times BD = \frac{1}{2} \times 6\sqrt{3} \times 6 = 18\sqrt{3}$$

إذن مساحة المعيّن $ABCD$ تساوي $18\sqrt{3}$ وحدة مساحة

3) المنتصفات:

أ) إحداثيات M و N:

• $M$ منتصف $[AK]$:

$$M = \left(\frac{-1+(-1)}{2}, \frac{(3\sqrt{3}-1)+(-1)}{2}\right)$$ $$= \left(-1, \frac{3\sqrt{3}-2}{2}\right)$$

• $N$ منتصف $[CK]$:

$$N = \left(\frac{-1+(-1)}{2}, \frac{(-1-3\sqrt{3})+(-1)}{2}\right)$$ $$= \left(-1, \frac{-2-3\sqrt{3}}{2}\right)$$

ملاحظة: $M$ و $N$ على نفس المستقيم العمودي $x=-1$ (نفس $(AC)$!)

إذن:

$M\left(-1, \dfrac{3\sqrt{3}-2}{2}\right)$ و $N\left(-1, \dfrac{-2-3\sqrt{3}}{2}\right)$

ب) $K$ منتصف $[MN]$ وحساب $MN$:

• منتصف $[MN]$ :

$$\left(-1; \frac{\dfrac{3\sqrt{3}-2}{2} + \dfrac{-2-3\sqrt{3}}{2}}{2}\right) = \left(-1; \frac{\dfrac{-4}{2}}{2}\right) = (-1; -1)$$

• وهذه هي إحداثيات $K$ بالضبط، إذن $K$ منتصف $[MN]$ ✓

• $M$ و $N$ لهما نفس الفاصلة $-1$، إذن $[MN]$ موازية لمحور التراتيب وصيغة الدرس 4 تنطبق :

$$MN = \left|\frac{3\sqrt{3}-2}{2} - \frac{-2-3\sqrt{3}}{2}\right| = \left|\frac{6\sqrt{3}}{2}\right| = 3\sqrt{3}$$

إذن $MN = 3\sqrt{3}$

دليل شامل للهندسة التحليلية في المستوى

📐 المعين المتعامد المتناظر

📏 حساب المسافات (بالقيمة المطلقة فقط)

🔄 التناظر والتوازي

📐 المساحات

⚠️ ملاحظات مهمة

تمارين الهندسة التحليلية - السلسلة الثانية

💡 توجيهات للتفكير

📝 منهجية الحل

✅ الحل النهائي

💡 توجيهات للتفكير

📝 منهجية الحل

✅ الحل النهائي

💡 توجيهات للتفكير

📝 منهجية الحل

✅ الحل النهائي

💡 توجيهات للتفكير

📝 منهجية الحل

✅ الحل النهائي

💡 توجيهات للتفكير

📝 منهجية الحل

✅ الحل النهائي

💡 توجيهات للتفكير

📝 منهجية الحل

✅ الحل النهائي