تمارين الهندسة التحليلية في المستوي المتعامد

✅ الحل النهائي

1°) أ) إثبات أن ABC مثلث قائم وإيجاد $x_C$:

بما أن $ABC$ متقايس الضلعين في $A$، فإن: $AB = AC$

والزاويتان القاعديتان متساويتان: $\widehat{ABC} = \widehat{ACB} = 45°$

مجموع زوايا المثلث:

إذن $ABC$ مثلث قائم الزاوية في $A$

بما أن $A(-1;1)$ و $B(2;1)$ لهما نفس الترتيبة ($y_A = y_B = 1$)، فإن $(AB)$ يوازي محور الفواصل (أفقي)

وبما أن المثلث قائم في $A$ فإن $(AC) \perp (AB)$

إذن $(AC)$ محصور بين مستقيمين (يوازي محور التراتيب)، أي أن $A$ و $C$ لهما نفس الفاصلة

بالتالي: $x_C = x_A = -1$ ✓

ب) حساب $AC$ وإيجاد $y_C$:

بما أن $AB = AC = 3$

و $C(x_C; y_C) = C(-1; y_C)$

بما أن $C$ ذات ترتيبة موجبة: $y_C > 0$ و $y_C > 1$

إذن: $C(-1; 4)$ ✓

2°) إحداثيات النقطة D:

في متوازي الأضلاع $ABDC$، القطران يتقاطعان في منتصفيهما

منتصف $[AD] = $ منتصف $[BC]$

منتصف $[BC]$:

إذا كانت $D(x_D; y_D)$، فمنتصف $[AD]$:

إذن: $D(2; 4)$ ✓

3°) إثبات أن E مسقط D على (AB) وفقاً لمنحى (BC):

$E(5;1)$ هو مسقط $D$ على $(AB)$ وفقاً لمنحى $(BC)$ إذا كان:

• $E$ على المستقيم $(AB)$

• $(DE) \parallel (BC)$

التحقق من $E$ على $(AB)$:

المستقيم $(AB)$ له معادلة: $y = 1$ (أفقي)

$E(5;1)$ يحقق المعادلة ✓

التحقق من $(DE) \parallel (BC)$:

نبيّن أن الرباعي $EBCD$ متوازي أضلاع بإثبات أن قطريه $[EC]$ و $[BD]$ لهما نفس المنتصف:

القطران $[EC]$ و $[BD]$ لهما نفس المنتصف، إذن $EBCD$ متوازي أضلاع

وبالتالي ضلعاه المتقابلان $[DE]$ و $[BC]$ متوازيان: $(DE) \parallel (BC)$ ✓

بالتالي: $E$ هو مسقط $D$ على $(AB)$ وفقاً لمنحى $(BC)$ ✓

✅ الحل النهائي

1) إثبات أن B(1;-4):

$B$ مناظرة $A$ بالنسبة لـ $M$ يعني أن $M$ منتصف $[AB]$

إذن: $B(1;-4)$ ✓

2) إثبات أن C(4;-1):

$AJBC$ متوازي أضلاع، حيث $A(3;4)$، $J(0;1)$، $B(1;-4)$

في متوازي الأضلاع القطران يتقاطعان في منتصفيهما، أي أن للقطرين $[AB]$ و $[JC]$ نفس المنتصف

منتصف $[AB]$:

إذا كانت $C(x_C; y_C)$، فمنتصف $[JC]$:

إذن: $C(4;-1)$ ✓

3) مركز الدائرة $(\ell)$:

مركز الدائرة هو منتصف قطرها $[JC]$، حيث $J(0;1)$ و $C(4;-1)$

نحسب منتصف $[JC]$ (الدرس 5):

وهذه هي إحداثيات النقطة $M(2;0)$ المعطاة في التمرين

إذن مركز الدائرة $(\ell)$ هو النقطة $M$ ✓

4) النقطة E:

أ) $E$ مناظرة $C$ بالنسبة لـ $(OI)$ (المحور الأفقي)

ب) التناظر بالنسبة للمحور $Ox$: $(x;y) \to (x;-y)$

5) النقاط P و Q والمساحة:

أ) المستقيم من $B(1;-4)$ موازٍ لـ $(OI)$ له معادلة: $y = -4$

تقاطعه مع $(OJ)$ (المحور $y$): $Q(0;-4)$ ✓

تقاطعه مع $(EC)$:

معادلة $(EC)$: من $E(4;1)$ إلى $C(4;-1)$

هذا مستقيم محصور بين مستقيمين: $x = 4$

التقاطع: $P(4;-4)$ ✓

ب) مساحة الرباعي $OJCP$:

الرؤوس: $O(0;0)$, $J(0;1)$, $C(4;-1)$, $P(4;-4)$

نستخدم صيغة المساحة بالإحداثيات أو نجزئ:

أو نستخدم شبه المنحرف: القاعدتان $OJ = 1$ و $CP = 3$، الارتفاع $= 4$

✅ الحل النهائي

1) أ) تعيين النقاط:

نضع النقاط على المعلم: $A(2,\sqrt{2})$، $B(4,0)$، $C(2,-2)$، $F(0,-2)$ ✓

ب) إثبات $(AC) \perp (OI)$:

النقطتان $A(2,\sqrt{2})$ و $C(2,-2)$ لهما نفس الفاصلة:

إذن المستقيم $(AC)$ محصور بين مستقيمين (يوازي محور التراتيب)

و $(OI)$ هو المحور الأفقي (محور الفواصل)

وبما أن محورَي المعين متعامدان، فكل مستقيم محصور بين مستقيمين يكون عمودياً على كل مستقيم أفقي

بما أن $(AC)$ محصور بين مستقيمين و $(OI)$ أفقي، فإن: $(AC) \perp (OI)$ ✓

2) أ) إحداثيات K:

بما أن $x_A = x_C = 2$، فإن $(AC)$ مستقيم محصور بين مستقيمين

وكل نقطة من $(AC)$ لها الفاصلة $x = 2$

$K$ نقطة تقاطع $(AC)$ و $(OI)$:

• $K$ على $(AC)$: $x = 2$

• $K$ على $(OI)$: $y = 0$

إذن: $K(2; 0)$ ✓

ب) إثبات أن AOLB معيّن:

$L$ مناظرة $A$ بالنسبة لـ $K$:

إذن: $L(2; -\sqrt{2})$

قطرا الرباعي $AOLB$ هما $[AL]$ و $[OB]$. نثبت أنّ لهما نفس المنتصف:

القطران لهما نفس المنتصف $K$، إذن $AOLB$ متوازي أضلاع (الدرس 7)

ثم نثبت أنّ القطرين متعامدان:

• $x_A = x_L = 2$ : القطر $[AL]$ موازٍ لمحور التراتيب

• $y_O = y_B = 0$ : القطر $[OB]$ محمول على محور الفواصل

• موازٍ لمحور التراتيب ⊥ محور الفواصل دائما

متوازي أضلاع قطراه متعامدان هو معيّن: $AOLB$ معيّن ✓

ج) مساحة AOLB:

مساحة المعيّن = $\frac{1}{2} \times d_1 \times d_2$ حيث $d_1$ و $d_2$ القطران $[AL]$ و $[OB]$

القطران موازيان للمحورين، فيمكن حسابهما (الدرس 4):

المساحة:

3) إحداثيات T:

المستقيم الموازي لـ $(AC)$ من $B$:

• $(AC)$ له معادلة $x = 2$ (محصور بين مستقيمين)

• الموازي من $B(4;0)$ له معادلة: $x = 4$

معادلة $(FC)$ من $F(0;-2)$ إلى $C(2;-2)$:

• كلاهما له نفس الترتيبة: $y = -2$ (أفقي)

التقاطع:

إذن: $T(4; -2)$ ✓

4) مجموعة النقاط M:

الشرط: $y = -2$ و $0 \leq x \leq 4$

• $y = -2$ يمثل مستقيماً أفقياً

• $0 \leq x \leq 4$ يحدد مقطعاً على هذا المستقيم

الجواب: مجموعة النقاط هي المقطع $[FT]$ حيث $F(0;-2)$ و $T(4;-2)$ ✓

✅ الحل الكامل

1) أ) تعيين النقاط:

نضع: $A(2,\sqrt{2})$، $B(4,0)$، $C(2,-2)$، $F(0,-2)$ ✓

ب) إثبات $(AC) \perp (OI)$:

$A(2,\sqrt{2})$ و $C(2,-2)$ لهما نفس الفاصلة: $x = 2$

إذن $(AC)$ مستقيم محصور بين مستقيمين

$(OI)$ هو المحور الأفقي

المحصور بين مستقيمين ⊥ الأفقي

إذن: $(AC) \perp (OI)$ ✓

2) أ) إحداثيات K:

$K$ تقاطع $(AC)$ و $(OI)$:

• على $(AC)$ (محصور بين مستقيمين): $x_K = 2$

• على $(OI)$ (أفقي): $y_K = 0$

إذن: $K(2;0)$ ✓

ب) إثبات أن AOLB معيّن:

$L$ مناظرة $A$ بالنسبة لـ $K$:

$K = \frac{A+L}{2}$

$(2;0) = \frac{(2;\sqrt{2})+(x_L;y_L)}{2}$

$x_L = 2$، $y_L = -\sqrt{2}$

إذن: $L(2;-\sqrt{2})$

نحسب الأضلاع:

$AO$: أفقي $2$، محصور بين مستقيمين $\sqrt{2}$

$OL$: أفقي $2$، محصور بين مستقيمين $\sqrt{2}$

$LB$: أفقي $2$، محصور بين مستقيمين $\sqrt{2}$

$BA$: أفقي $2$، محصور بين مستقيمين $\sqrt{2}$

جميعها متساوية → معيّن ✓

ج) مساحة AOLB:

القطران: $[AL]$ و $[OB]$

$AL$ (محصور بين مستقيمين): $|\sqrt{2}-(-\sqrt{2})| = 2\sqrt{2}$

$OB$ (أفقي): $|4-0| = 4$

المساحة = $\frac{1}{2} \times 2\sqrt{2} \times 4 = 4\sqrt{2}$ cm² ✓

3) إحداثيات T:

الموازي لـ $(AC)$ من $B$:

• $(AC)$ محصور بين مستقيمين: $x = 2$

• الموازي من $B(4;0)$: $x = 4$

$(FC)$: من $F(0;-2)$ إلى $C(2;-2)$

• كلاهما $y = -2$ (أفقي)

التقاطع: $x = 4$ و $y = -2$

إذن: $T(4;-2)$ ✓

4) مجموعة النقاط M:

$y = -2$ و $0 \leq x \leq 4$

• $y = -2$: مستقيم أفقي

• $0 \leq x \leq 4$: مقطع

الجواب: المقطع $[FT]$ من $F(0;-2)$ إلى $T(4;-2)$ ✓