تمارين الإحداثيات في المستوى

التمرين 4

متوازي أضلاع في المعلم

المعطيات:

ليكن $(O; I; J)$ معيناً متعامداً للمستوى بحيث $OI = OJ$

$$A(0; 3), \quad B(2; 1), \quad C(0; -1)$$

1°)

أ) عيّن النقاط $A$ و $B$ و $C$

ب) بيّن أن المثلث $ABC$ قائم الزاوية في $C$

ج) أحسب البعد $BC$

2°)

أ) ابن النقطة $D$ بحيث يكون الرباعي $ABCD$ متوازي الأضلاع

ب) بيّن أن النقطة $J$ هي منتصف القطعة $[BD]$

ج) استنتج أن إحداثيات النقطة $D$ هي $(3; -2)$

3°) لتكن $E$ نقطة تقاطع المستقيمين $(BO)$ و $(AD)$

أ) بيّن أن $\frac{OE}{OB} = \frac{AE}{BC} = 3$

ب) أحسب البعد $AE$ ثم استنتج إحداثيات النقطة $E$ علماً أن $x_E < 0$

💡 توجيهات للتفكير

⚠️ أدوات مسموحة فقط:

✅ مقارنة الإحداثيات مباشرة
✅ صيغة المنتصف: $\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)$
✅ طول عمودي: $|y_2 - y_1|$ (عندما $x_1 = x_2$)
✅ طول أفقي: $|x_2 - x_1|$ (عندما $y_1 = y_2$)
✅ مستقيمان لهما نفس $x$ أو نفس $y$ متوازيان

السؤال 1ب: مثلث قائم في $C$ إذا كان $(CA)$ و $(CB)$ متعامدين

مستقيمان متعامدان: أحدهما أفقي والآخر عمودي

السؤال 1ج: استخدم القيمة المطلقة لحساب المسافة

السؤال 2أ: متوازي الأضلاع → القطران ينصفان بعضهما

السؤال 2ب: احسب منتصف $[BD]$

السؤال 3: استخدم النسب والمسافات

📝 منهجية الحل

1ب) إثبات التعامد:

• $A(0, 3)$ و $C(0, -1)$ لهما $x = 0$ → $(AC)$ عمودي

• $B(2, 1)$ و $C(0, -1)$ لهما $y$ مختلفة و $x$ مختلفة

• لكن $B(2, 1)$ و $C(0, -1)$: نحتاج للتحقق من الأفقية

• في الواقع، $(CB)$ ليس أفقياً ولا عمودياً مباشرة

• لنتحقق: هل $(CA)$ عمودي؟ نعم. هل توجد نقطة على $(CB)$ لها نفس $x$ مع $B$ أو $C$؟

1ج) حساب $BC$:

• $B(2, 1)$ و $C(0, -1)$

• لا يمكن استخدام المسافة المباشرة لأنهما ليسا على نفس الخط الأفقي أو العمودي

• نحتاج لطريقة أخرى...

2أ) إيجاد $D$:

منتصف $[AC]$:

$$\left(\frac{0+0}{2}, \frac{3+(-1)}{2}\right) = (0, 1)$$

منتصف $[BD]$ يجب أن يكون $(0, 1)$

إذا كان $D(x_D, y_D)$:

$$\left(\frac{2+x_D}{2}, \frac{1+y_D}{2}\right) = (0, 1)$$

نحل: $\frac{2+x_D}{2} = 0$ → $x_D = -2$

و: $\frac{1+y_D}{2} = 1$ → $y_D = 1$

إذن $D(-2, 1)$

✅ الحل النهائي

1أ) تعيين النقاط:

نضع النقاط في المعلم $(O; I; J)$

1ب) المثلث $ABC$ قائم في $C$:

• $A(0, 3)$ و $C(0, -1)$: نفس $x = 0$ → $(CA)$ عمودي

• $C(0, -1)$ و $B(2, 1)$: لنتحقق من الأفقية أو العمودية

• نلاحظ أن: من $C$ إلى $B$: $\Delta x = 2 - 0 = 2$ و $\Delta y = 1 - (-1) = 2$

• بما أن المستقيمان ليسا واضحين، لكن يمكن ملاحظة أن:

• $(CA)$ عمودي (موازي لمحور $y$)

• نحتاج لإثبات أن $(CB)$ أفقي أو عمودي أو استخدام طريقة أخرى

• في الواقع، المثلث قائم إذا كانت الأضلاع المتجاورة متعامدة

ملاحظة: هذا السؤال يتطلب معلومات إضافية أو استخدام أدوات غير مسموح بها

1ج) البعد $BC$:

• بما أن $B(2, 1)$ و $C(0, -1)$

• لا يمكن حساب المسافة مباشرة لأنهما ليسا على نفس الخط الأفقي أو العمودي

• نحتاج لتحليل هندسي آخر

2أ) النقطة $D$:

• منتصف $[AC]$ = $(0, 1)$

• لكي يكون $ABCD$ متوازي أضلاع: منتصف $[BD]$ = $(0, 1)$

• إذا $D(x_D, y_D)$:

$$\frac{2 + x_D}{2} = 0 \Rightarrow x_D = -2$$ $$\frac{1 + y_D}{2} = 1 \Rightarrow y_D = 1$$

إذن: $D(-2, 1)$ ✓

2ب) $J$ منتصف $[BD]$:

• $B(2, 1)$ و $D(-2, 1)$

• منتصف $[BD]$:

$$\left(\frac{2 + (-2)}{2}, \frac{1 + 1}{2}\right) = (0, 1)$$

• لكن $J$ له إحداثيات $(0, 1)$ في المعين المتعامد

• إذن $J$ منتصف $[BD]$ ✓

2ج) إحداثيات $D$:

• السؤال يطلب إثبات $D(-2, -2)$ لكن حساباتنا أعطت $D(-2, 1)$

• هناك تناقض في البيانات، الإجابة الصحيحة حسب الحسابات: $D(-2, 1)$

ملاحظة هامة: بعض الأسئلة تتطلب أدوات غير مسموح بها في هذا التمرين

التمرين عدد 4

💡 توجيهات للتفكير

📝 منهجية الحل

✅ الحل النهائي

التمرين عدد 5

💡 توجيهات للتفكير

📝 منهجية الحل

✅ الحل النهائي