⚠️ تحذير: هذه التمارين تحتوي على مفاهيم قد تكون خارج البرنامج الرسمي للسنة 9 أساسي

التمرين عدد 3

📐 الهندسة التحليلية 🔷 المعين المتعامد ⭐ المستوى: 9 أساسي
التمرين 3
الرباعيات في المعين المتعامد
المعطيات:

ليكن (O,I,J) معينا متعامدا بحيث:

$$OI = OJ = 1 \text{ cm}$$
1) عيّن النقاط:
$$A(2,3) \quad B(4,0) \quad C(2,-3)$$
2)
أ) بيّن أن OABC متوازي الأضلاع
ب) ليكن H مركز الرباعي OABC، حدد إحداثيات H معللا جوابك
3)
أ) بيّن أن A و C متناظرتان بالنسبة لـ (IO)
ب) استنتج أن OABC معين
4)
أ) عيّن النقطة D مناظرة C بالنسبة إلى O ثم حدد إحداثياتها
ب) بيّن أن OIAD شبه منحرف
ج) احسب مساحة الرباعي OIAD معللا جوابك
5) أوجد مجموعة النقاط M(x,y) بحيث:
$$x = 2 \quad \text{و} \quad -3 \leq x \leq 3 \quad \text{و} \quad -3 \leq y \leq 3$$
لم تبدأ بعد

💡 توجيهات للتفكير

السؤال 1 - تعيين النقاط:

• ارسم المعين المتعامد (O,I,J) حيث OI = OJ = 1cm

• عيّن النقطة A بالإحداثيات (2,3): ابدأ من O، تقدم 2 وحدة على المحور الأفقي، ثم 3 وحدات رأسيا

• كرر نفس العملية للنقاط B(4,0) و C(2,-3)

السؤال 2أ - متوازي الأضلاع:

• احسب إحداثيات منتصف القطر [OB]

• احسب إحداثيات منتصف القطر [AC]

• إذا تطابقت المنتصفات → متوازي أضلاع

السؤال 2ب - مركز الرباعي:

• مركز متوازي الأضلاع هو نقطة تقاطع القطرين

• احسب منتصف [OB] أو منتصف [AC]

السؤال 3أ - التناظر:

• المحور (IO) هو المحور الأفقي (محور السينات)

• نقطتان متناظرتان بالنسبة للمحور الأفقي إذا كان لهما نفس السين وترتيب متعاكسا

السؤال 3ب - المعين:

• إذا كان متوازي أضلاع وله قطران متعامدان → معين

السؤال 4 - شبه المنحرف والمساحة:

• D مناظرة C بالنسبة لـ O: استخدم التناظر المركزي

• شبه منحرف: له ضلعان متوازيان

• المساحة = (القاعدة الكبرى + القاعدة الصغرى) × الارتفاع ÷ 2

📝 منهجية الحل

1) تعيين النقاط:

ارسم المعين المتعامد وعيّن النقاط حسب إحداثياتها

2أ) إثبات متوازي الأضلاع:

منتصف [OB]:

$$I_{OB} = \left(\frac{0+4}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = (2, 0)$$

منتصف [AC]:

$$I_{AC} = \left(\frac{2+2}{2}, \frac{3+(-3)}{2}\right) = (2, 0)$$

إذن القطران لهما نفس المنتصف → OABC متوازي أضلاع

2ب) مركز الرباعي:

$$H(2, 0)$$

3أ) التناظر:

A(2,3) و C(2,-3) لهما نفس السين x=2

والترتيبان متعاكسان: yA = 3 و yC = -3

إذن A و C متناظرتان بالنسبة لـ (IO)

✅ الحل النهائي

1) تعيين النقاط:

يتم تعيين النقاط A(2,3)، B(4,0)، C(2,-3) على الشكل البياني

2أ) إثبات OABC متوازي أضلاع:

نحسب منتصف القطر [OB]:

$$I_{OB} = \left(\frac{x_O + x_B}{2}, \frac{y_O + y_B}{2}\right) = \left(\frac{0+4}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = (2, 0)$$

نحسب منتصف القطر [AC]:

$$I_{AC} = \left(\frac{x_A + x_C}{2}, \frac{y_A + y_C}{2}\right) = \left(\frac{2+2}{2}, \frac{3+(-3)}{2}\right) = (2, 0)$$

بما أن القطران [OB] و [AC] لهما نفس المنتصف، إذن OABC متوازي أضلاع ✓

2ب) إحداثيات H:

مركز متوازي الأضلاع هو نقطة تقاطع القطرين:

$$H(2, 0)$$

3أ) إثبات التناظر:

A(2, 3) و C(2, -3)

• لهما نفس السين: xA = xC = 2

• الترتيبان متعاكسان: yA = 3 = -yC

إذن A و C متناظرتان بالنسبة للمحور (IO) ✓

3ب) إثبات أن OABC معين:

OABC متوازي أضلاع (من السؤال 2أ)

القطر [AC] عمودي على المحور (IO)

القطر [OB] موازٍ للمحور (IO)

إذن القطران متعامدان → OABC معين ✓

4أ) إحداثيات D:

D مناظرة C بالنسبة لـ O:

$$D = -C = (-2, 3)$$

4ب) إثبات OIAD شبه منحرف:

O(0,0)، I(1,0)، A(2,3)، D(-2,3)

الضلع [OI] موازٍ للمحور الأفقي

الضلع [DA] موازٍ أيضا للمحور الأفقي (نفس الترتيب y=3)

إذن (OI) // (DA) → OIAD شبه منحرف ✓

4ج) مساحة OIAD:

$$\text{المساحة} = \frac{(OI + DA) \times h}{2}$$ $$OI = 1, \quad DA = |2-(-2)| = 4, \quad h = 3$$ $$\text{المساحة} = \frac{(1+4) \times 3}{2} = \frac{15}{2} = 7.5 \text{ cm}^2$$

5) مجموعة النقاط M:

M(x,y) بحيث x=2 و -3≤y≤3

هي قطعة مستقيمة عمودية على المحور الأفقي، طولها 6 وحدات

التمرين عدد 4

📐 الهندسة التحليلية 🔷 الإسقاط العمودي ⭐ المستوى: 9 أساسي
التمرين 4
الإسقاطات والمناظرات
المعطيات:

ليكن (O,I,J) معينا متعامدا للمستوى بحيث:

$$OI = OJ$$

والنقطتين:

$$A(2,0) \quad B(6,6)$$
1)
أ) لتكن النقطة C السقط العمودي للنقطة B على المحور (OI).
أوجد إحداثيات النقطة C وعلّل جوابك
ب) احسب BC و AC
2) المستقيمان (AB) و (OJ) يتقاطعان في النقطة E
أ) بيّن أن:
$$\frac{AB}{AE} = \frac{BC}{OE} = 2$$
ب) استنتج إحداثيات النقطة E إذا علمت أن yE < 0
3) ليكن F مناظرة النقطة E بالنسبة للنقطة O

المستقيم المار من F والعمودي على المحور (OJ) يقطع (AB) في N ويقطع (BC) في M

أ) بيّن أن M(6,3)
ب) استنتج أن M منتصف القطعة [BC]
4)
أ) بيّن أن N منتصف القطعة [AB]
ب) احسب S مساحة شبه المنحرف CMNA
لم تبدأ بعد

💡 توجيهات للتفكير

السؤال 1أ - الإسقاط العمودي:

• السقط العمودي للنقطة B على المحور (OI) هو النقطة C الموجودة على (OI)

• (BC) عمودي على (OI)

• إذن C لها نفس سين B وترتيبها يساوي 0

السؤال 1ب - حساب المسافات:

• استخدم صيغة المسافة بين نقطتين

• BC عمودي → استخدم الفرق في الترتيبات

السؤال 2 - نسب التناسب:

• استخدم خواص تقاطع المستقيمات

• إذا كانت النسب متساوية → مثلثات متشابهة

السؤال 3 - المناظرة والمنتصف:

• F مناظرة E بالنسبة لـ O → إحداثيات F = -إحداثيات E

• المنتصف: احسب معدل الإحداثيات

السؤال 4 - شبه المنحرف:

• المساحة = (القاعدة الكبرى + القاعدة الصغرى) × الارتفاع ÷ 2

📝 منهجية الحل

1أ) إيجاد إحداثيات C:

C هو السقط العمودي لـ B على المحور (OI)

بما أن B(6,6) والمحور (OI) هو محور السينات:

$$C(6, 0)$$

1ب) حساب BC و AC:

$$BC = |y_B - y_C| = |6 - 0| = 6$$
$$AC = |x_C - x_A| = |6 - 2| = 4$$

2أ) إثبات النسب:

استخدم خواص المثلثات المتشابهة والمستقيمات المتوازية

✅ الحل النهائي

1أ) إحداثيات C:

C هو السقط العمودي للنقطة B(6,6) على المحور (OI)

السقط العمودي على المحور الأفقي له نفس السين والترتيب = 0

$$C(6, 0)$$

1ب) حساب BC و AC:

حساب BC: النقطتان $B(6;6)$ و $C(6;0)$ لهما نفس الفاصلة $6$، إذن $[BC]$ موازية لمحور التراتيب:

$$BC = \left|y_C - y_B\right| = \left|0 - 6\right| = 6$$

حساب AC: النقطتان $A(2;0)$ و $C(6;0)$ لهما نفس الترتيبة $0$، إذن $[AC]$ موازية لمحور الفواصل:

$$AC = \left|x_C - x_A\right| = \left|6 - 2\right| = 4$$

2أ) إثبات النسب:

نستخدم خواص المثلثات المتشابهة

المثلثان ABC و AOE متشابهان

$$\frac{AB}{AE} = \frac{BC}{OE} = 2$$

2ب) إحداثيات E:

E على المحور (OJ) إذن xE = 0

من النسبة: OE = BC/2 = 6/2 = 3

بما أن yE < 0:

$$E(0, -3)$$

3أ) إحداثيات M:

F مناظرة E بالنسبة لـ O:

$$F(0, 3)$$

المستقيم المار من F والعمودي على (OJ) له معادلة y = 3

M على هذا المستقيم وعلى [BC]، إذن:

$$M(6, 3)$$

3ب) M منتصف [BC]:

منتصف [BC]:

$$I_{BC} = \left(\frac{6+6}{2}, \frac{6+0}{2}\right) = (6, 3) = M$$

إذن M منتصف [BC] ✓

4أ) N منتصف [AB]:

N على المستقيم y=3 وعلى [AB]

منتصف [AB]:

$$I_{AB} = \left(\frac{2+6}{2}, \frac{0+6}{2}\right) = (4, 3)$$

إذن N(4,3) وهو منتصف [AB] ✓

4ب) مساحة شبه المنحرف CMNA:

CMNA شبه منحرف بقاعدتين [CA] و [MN] وارتفاع h = 3

$$CA = 4, \quad MN = |6-4| = 2$$ $$S = \frac{(CA + MN) \times h}{2} = \frac{(4+2) \times 3}{2} = \frac{18}{2} = 9$$