كيف أفعل؟ - العلاقات القياسية في المثلث القائم

📐 نظرية بيتاغور

🎯 النصّ: في مثلث قائم الزاوية، مربّع طول الوتر يساوي مجموع مربّعي طولي الضلعين القائمين. القاعدة الأساس

إذا كان \(ABC\) قائماً في \(A\) فإنّ: \(BC^2 = AB^2 + AC^2\)

💡 مثال: ضلعان قائمان طولاهما \(3\) و \(4\)
الوتر \(= \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\)

🔄 عكس نظرية بيتاغور

🎯 النصّ: إذا كان مربّع طول أطول ضلع يساوي مجموع مربّعي طولي الضلعين الآخرين، فإنّ الزاوية المقابلة لهذا الضلع قائمة. إثبات الزاوية القائمة

إذا كان \(BC^2 = AB^2 + AC^2\) فإنّ المثلث قائم في \(A\)

💡 مثال: أطوال \(5\)، \(12\)، \(13\)
\(13^2 = 169\) و \(5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169\)
الطرفان متساويان ← المثلث قائم الزاوية المقابلة للضلع \(13\).

📏 العلاقات القياسية الأربع

🎯 المعطى: مثلث قائم \(ABC\) قائم في \(A\)، و\(H\) المسقط العمودي للنقطة \(A\) على \([BC]\). العلاقات القياسية

\(1)\ \ AH \times BC = AB \times AC\)
\(2)\ \ AH^2 = BH \times CH\)
\(3)\ \ AB^2 = BH \times BC\)
\(4)\ \ AC^2 = CH \times BC\)

💡 تطبيق: \(AB = 6\)، \(AC = 8\)، \(BC = 10\)
الارتفاع \(AH = \dfrac{AB \times AC}{BC} = \dfrac{6 \times 8}{10} = \dfrac{48}{10} = 4{,}8\)

🔤 المفردات الأساسية

🎯 مفردات لا بدّ من ضبطها:

• الوتر: الضلع المقابل للزاوية القائمة، وهو دائماً أطول الأضلاع.
• الضلعان القائمان: الضلعان المكوّنان للزاوية القائمة.
• الارتفاع \(AH\): العمود النازل من رأس الزاوية القائمة \(A\) على الوتر \([BC]\).
• المسقطان \(BH\) و \(CH\): مسقطا الضلعين القائمين على الوتر، ويحقّقان \(BH + CH = BC\).

🌟 المثلثات القائمة الشهيرة

🎯 مثلثات تُحفَظ:

1) \(3\text{–}4\text{–}5\) : \(3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2\) ✓
2) \(5\text{–}12\text{–}13\) : \(5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2\) ✓
3) \(8\text{–}15\text{–}17\) : \(8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289 = 17^2\) ✓
4) \(7\text{–}24\text{–}25\) : \(7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 = 25^2\) ✓

💡 حفظ هذه المثلثات يسرّع التعرّف على الأطوال في التمارين.

🔢 مضاعفات المثلثات القائمة

🎯 القاعدة: إذا كان \((a,b,c)\) مثلثاً قائماً فإنّ \((ka,kb,kc)\) قائم أيضاً لأيّ عدد \(k>0\).

انطلاقاً من \(3\text{–}4\text{–}5\):
• \((6,8,10) = 2\times(3,4,5)\)
• \((9,12,15) = 3\times(3,4,5)\)
• \((15,20,25) = 5\times(3,4,5)\)

🔍 التحقّق أنّ مثلثاً قائم الزاوية

🎯 باستعمال عكس بيتاغور:

1) رتّب الأطوال تصاعدياً: \(a \le b \le c\).
2) احسب \(a^2 + b^2\) و \(c^2\).
3) قارن:
  • \(a^2 + b^2 = c^2\) ← المثلث قائم.
  • \(a^2 + b^2 > c^2\) ← المثلث حادّ الزوايا.
  • \(a^2 + b^2 < c^2\) ← المثلث منفرج الزاوية.

مثال: الأطوال \(6\)، \(8\)، \(10\)
\(6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100\) و \(10^2 = 100\)
الطرفان متساويان ← المثلث قائم.

📏 حساب طول مجهول

الحالة 1 — حساب الوتر (نعرف الضلعين القائمين \(a\) و \(b\)):
\(c = \sqrt{a^2 + b^2}\)

الحالة 2 — حساب ضلع قائم (نعرف الوتر \(c\) وضلعاً قائماً \(a\)):
\(b = \sqrt{c^2 - a^2}\)

مثال 1: ضلعان قائمان \(5\) و \(12\) ← الوتر \(= \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\)
مثال 2: وتر \(10\)، ضلع قائم \(6\) ← الآخر \(= \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8\)

📐 حساب الارتفاع \(AH\)

طريقتان:

• بالعلاقة الأولى: \(AH = \dfrac{AB \times AC}{BC}\)
• بالعلاقة القياسية: \(AH^2 = BH \times CH\)

مثال: \(AB = 6\)، \(AC = 8\)، \(BC = 10\)
\(AH = \dfrac{6 \times 8}{10} = \dfrac{48}{10} = 4{,}8\)

📍 حساب المساقط \(BH\) و \(CH\)

من العلاقتين 3 و 4:
\(BH = \dfrac{AB^2}{BC}\) و \(CH = \dfrac{AC^2}{BC}\)
تحقّق: \(BH + CH = BC\).

مثال: \(AB = 6\)، \(AC = 8\)، \(BC = 10\)
\(BH = \dfrac{36}{10} = 3{,}6\) و \(CH = \dfrac{64}{10} = 6{,}4\)
التحقّق: \(3{,}6 + 6{,}4 = 10\) ✓

⚖️ الوسط التناسبي

الوسط التناسبي بين عددين موجبين \(a\) و \(b\) هو العدد \(c\) بحيث \(\dfrac{a}{c} = \dfrac{c}{b}\)، أي:

\(c = \sqrt{a \times b}\)

في المثلث القائم: الارتفاع هو الوسط التناسبي بين المسقطين: \(AH = \sqrt{BH \times CH}\).

مثال: الوسط التناسبي بين \(4\) و \(9\) هو \(\sqrt{4 \times 9} = \sqrt{36} = 6\).
تحقّق: \(\dfrac{4}{6} = \dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}\) ✓

📐 حساب المساحة

• بالقاعدة والارتفاع: \(\text{المساحة} = \dfrac{1}{2} \times \text{القاعدة} \times \text{الارتفاع}\)
• في المثلث القائم مباشرةً: \(\text{المساحة} = \dfrac{1}{2} \times \text{ضلع قائم} \times \text{ضلع قائم}\)

مثال: مثلث قائم أضلاعه \(3\)، \(4\)، \(5\)
\(\text{المساحة} = \dfrac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6\)

⬜ قطر المربّع

إذا كان طول ضلع المربّع \(a\):

القطر \(= \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}\)

• ضلع \(1\) ← قطر \(\sqrt{2}\)
• ضلع \(5\) ← قطر \(5\sqrt{2}\)
• ضلع \(10\) ← قطر \(10\sqrt{2}\)
(نترك النتيجة في شكلها الجذري الدقيق.)

📱 قطر المستطيل

إذا كان طولا المستطيل \(a\) و \(b\):

القطر \(= \sqrt{a^2 + b^2}\)

مثال: أبعاد \(3 \times 4\) ← قطر \(= \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\)

🔺 ارتفاع المثلث متقايس الأضلاع

الارتفاع يقسم القاعدة إلى نصفين، وبتطبيق بيتاغور:
\(h^2 + \left(\dfrac{a}{2}\right)^2 = a^2 \;\Rightarrow\; h^2 = a^2 - \dfrac{a^2}{4} = \dfrac{3a^2}{4}\)

الارتفاع \(= \dfrac{a\sqrt{3}}{2}\)

مثال: ضلع \(6\) ← الارتفاع \(= \dfrac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}\)

📦 قطر المكعّب ومتوازي المستطيلات

• مكعّب ضلعه \(a\): قطر الوجه \(= a\sqrt{2}\)، قطر المكعّب \(= a\sqrt{3}\).
• متوازي مستطيلات أبعاده \(a,\,b,\,c\): القطر \(= \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\).

مثال: صندوق \(3 \times 4 \times 12\) ← قطر \(= \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13\)

⚠️ أخطاء شائعة والتحقّق

الوتر يقابل الزاوية القائمة وهو أطول الأضلاع. تطبيق بيتاغور يكون دائماً:

\((\text{الوتر})^2 = (\text{ضلع قائم})^2 + (\text{ضلع قائم})^2\)

لا تكتب أبداً \((\text{ضلع قائم})^2 = (\text{الوتر})^2 + (\text{ضلع قائم})^2\).

خطأ متكرّر: كتابة \(BC = AB + AC\).
الصحيح: \(BC^2 = AB^2 + AC^2\) ثمّ \(BC = \sqrt{AB^2 + AC^2}\).

لمثلث \(3\text{–}4\text{–}5\): \(3 + 4 = 7 \neq 5\)، لكنّ \(\sqrt{3^2+4^2} = \sqrt{25} = 5\) ✓

كلّ ضلع قائم يرتبط بمسقطه هو على الوتر:
\(AB^2 = BH \times BC\) (المسقط \(BH\) من جهة \(B\))
\(AC^2 = CH \times BC\) (المسقط \(CH\) من جهة \(C\))
والارتفاع مرتبط بالمسقطين معاً: \(AH^2 = BH \times CH\).

تحقّق منطقي: هل الوتر أطول من كلّ ضلع قائم؟ هل الأطوال موجبة؟
تحقّق حسابي: طبّق بيتاغور عكسياً، أو احسب المساحة بطريقتين.

وتر \(5\)، ضلعان \(3\) و \(4\): \(3^2 + 4^2 = 25 = 5^2\) ✓ والمساحة \(\dfrac{1}{2}\times 3 \times 4 = 6\) ✓

🎯 تطبيقات من الحياة

سلّم طوله \(5\) أمتار (الوتر)، بُعد قاعدته عن الجدار \(3\) أمتار (ضلع قائم):
ارتفاع نقطة الاستناد \(= \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4\) أمتار.

يستعمل البنّاؤون قاعدة \(3\text{–}4\text{–}5\) للتأكّد من أنّ زاوية جدارين قائمة:
يقيسون \(3\) على جدار و \(4\) على الآخر، فإذا كان الوتر بينهما \(5\) بالضبط، فالزاوية قائمة.

💡 نفس المبدأ يُستعمل لحساب أقطار الشاشات والأبواب والنوافذ.

مرحباً بك في دليل العلاقات القياسية