📋 نص المسألة
اوجد الأعداد الطبيعية a و b حيث:
$$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{13}$$
الشروط:
- ✓ (a, b) ∈ ℕ²
- ✓ a و b أعداد طبيعية موجبة
- ✓ إيجاد جميع الحلول الممكنة
💡 الحل التفصيلي
الخطوة 1: فهم المسألة
لدينا معادلة عقلانية (بالكسور):
لدينا معادلة عقلانية (بالكسور):
$$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{13}$$
نريد إيجاد جميع الأعداد الطبيعية $$a, b > 0$$
الخطوة 2: تحويل إلى معادلة عادية
نوحد المقامات على الجانب الأيسر:
بالضرب التبادلي:
نوحد المقامات على الجانب الأيسر:
$$\frac{b + a}{ab} = \frac{1}{13}$$
بالضرب التبادلي:
$$13(a + b) = ab$$
الخطوة 3: إعادة ترتيب المعادلة
إذا كان $$b \neq 13$$:
$$13a + 13b = ab$$
$$13a + 13b - ab = 0$$
$$13a - ab + 13b = 0$$
$$a(13 - b) + 13b = 0$$
$$a(13 - b) = -13b$$
إذا كان $$b \neq 13$$:
$$a = \frac{-13b}{13 - b} = \frac{13b}{b - 13}$$
الخطوة 4: شرط الحل الصحيح
لكي يكون $$a$$ عدداً طبيعياً موجباً:
لكي يكون $$a$$ عدداً طبيعياً موجباً:
$$a = \frac{13b}{b - 13} > 0$$
يجب أن يكون $$b - 13 > 0$$، إذاً $$b > 13$$
الخطوة 5: إعادة صياغة المعادلة
لكي يكون $$a$$ عدداً طبيعياً، يجب أن يكون $$(b - 13)$$ قاسماً للعدد $$169$$
$$a = \frac{13b}{b - 13} = \frac{13(b - 13 + 13)}{b - 13}$$
$$a = \frac{13(b - 13) + 13 \times 13}{b - 13}$$
$$a = 13 + \frac{169}{b - 13}$$
لكي يكون $$a$$ عدداً طبيعياً، يجب أن يكون $$(b - 13)$$ قاسماً للعدد $$169$$
الخطوة 6: إيجاد قواسم العدد 169
$$169 = 13^2$$
قواسم $$169$$ هي: $$1, 13, 169$$
$$169 = 13^2$$
قواسم $$169$$ هي: $$1, 13, 169$$
الخطوة 7: إيجاد الحلول
الحالة I: $$b - 13 = 1$$
$$b = 14$$
$$a = 13 + \frac{169}{1} = 13 + 169 = 182$$
$$b = 14$$
$$a = 13 + \frac{169}{1} = 13 + 169 = 182$$
الحالة II: $$b - 13 = 13$$
$$b = 26$$
$$a = 13 + \frac{169}{13} = 13 + 13 = 26$$
$$b = 26$$
$$a = 13 + \frac{169}{13} = 13 + 13 = 26$$
الحالة III: $$b - 13 = 169$$
$$b = 182$$
$$a = 13 + \frac{169}{169} = 13 + 1 = 14$$
$$b = 182$$
$$a = 13 + \frac{169}{169} = 13 + 1 = 14$$
الخطوة 8: التحقق من الحلول
الحل 1: $$(a, b) = (182, 14)$$
الحل 2: $$(a, b) = (26, 26)$$
الحل 3: $$(a, b) = (14, 182)$$
الحل 1: $$(a, b) = (182, 14)$$
$$\frac{1}{182} + \frac{1}{14} = \frac{1}{182} + \frac{13}{182} = \frac{14}{182} = \frac{1}{13}$$ ✓
الحل 2: $$(a, b) = (26, 26)$$
$$\frac{1}{26} + \frac{1}{26} = \frac{2}{26} = \frac{1}{13}$$ ✓
الحل 3: $$(a, b) = (14, 182)$$
$$\frac{1}{14} + \frac{1}{182} = \frac{13}{182} + \frac{1}{182} = \frac{14}{182} = \frac{1}{13}$$ ✓
🎯 الإجابة النهائية - جميع الحلول:
$$\boxed{(a, b) = (14, 182)}$$
$$\boxed{(a, b) = (26, 26)}$$
$$\boxed{(a, b) = (182, 14)}$$
أو في صيغة مختصرة: $$(14, 182), (26, 26), (182, 14)$$
$$\boxed{(a, b) = (14, 182)}$$
$$\boxed{(a, b) = (26, 26)}$$
$$\boxed{(a, b) = (182, 14)}$$
أو في صيغة مختصرة: $$(14, 182), (26, 26), (182, 14)$$
📌 ملاحظات مهمة:
• المعادلة $$a = 13 + \frac{169}{b-13}$$ توضح العلاقة بين $$a$$ و $$b$$
• عدد الحلول محدود لأن عدد قواسم 169 محدود (3 فقط)
• الحل $$(26, 26)$$ متماثل (a = b)
• الحلول $$(14, 182)$$ و $$(182, 14)$$ متبادلة
• هذه طريقة فعالة لحل معادلات عقلانية من الدرجة الأولى
• المعادلة $$a = 13 + \frac{169}{b-13}$$ توضح العلاقة بين $$a$$ و $$b$$
• عدد الحلول محدود لأن عدد قواسم 169 محدود (3 فقط)
• الحل $$(26, 26)$$ متماثل (a = b)
• الحلول $$(14, 182)$$ و $$(182, 14)$$ متبادلة
• هذه طريقة فعالة لحل معادلات عقلانية من الدرجة الأولى
📸 الحل المرجعي
هنا صور الحل الكامل المكتوب يدويًا:
