📋 نص المسألة
مثلث قائم الزاوية أبعاده:
الارتفاع = 9
القاعدة = 12
يوجد دائرتان متماستان داخل المثلث:
- الدائرة الأولى تمس الارتفاع والقاعدة
- الدائرة الثانية تمس الدائرة الأولى والوتر والقاعدة
احسب مساحة الدائرتين معاً.
الارتفاع = 9
القاعدة = 12
يوجد دائرتان متماستان داخل المثلث:
- الدائرة الأولى تمس الارتفاع والقاعدة
- الدائرة الثانية تمس الدائرة الأولى والوتر والقاعدة
احسب مساحة الدائرتين معاً.
رسم توضيحي المسألة
💡 الحل التفصيلي
الخطوة 1: فهم المسألة
لدينا مثلث قائم الزاوية في النقطة $$A$$
أبعاد المثلث: $$AB = 9$$، $$AC = 12$$
الوتر $$BC = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15$$
لدينا مثلث قائم الزاوية في النقطة $$A$$
أبعاد المثلث: $$AB = 9$$، $$AC = 12$$
الوتر $$BC = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15$$
الخطوة 2: حساب نصف قطر الدائرة الأولى
الدائرة الأولى تمس ضلعي الزاوية القائمة
نصف قطر الدائرة المتعلقة بالزاوية القائمة:
الدائرة الأولى تمس ضلعي الزاوية القائمة
نصف قطر الدائرة المتعلقة بالزاوية القائمة:
$$r_1 = \frac{AB + AC - BC}{2} = \frac{9 + 12 - 15}{2} = \frac{6}{2} = 3$$
الخطوة 3: تحديد موضع الدائرة الأولى
مركز الدائرة الأولى $$O_1$$ يقع على مسافة $$r_1 = 3$$ من كل من $$AB$$ و $$AC$$
إذاً $$O_1$$ عند الإحداثيات $$(3, 3)$$ إذا وضعنا $$A$$ عند الأصل
مركز الدائرة الأولى $$O_1$$ يقع على مسافة $$r_1 = 3$$ من كل من $$AB$$ و $$AC$$
إذاً $$O_1$$ عند الإحداثيات $$(3, 3)$$ إذا وضعنا $$A$$ عند الأصل
الخطوة 4: معادلة الخط الوتر
معادلة الوتر $$BC$$:
معادلة الوتر $$BC$$:
$$\frac{x}{12} + \frac{y}{9} = 1$$
$$3x + 4y = 36$$
الخطوة 5: حساب نصف قطر الدائرة الثانية
الدائرة الثانية تمس القاعدة $$AC$$، الوتر $$BC$$، والدائرة الأولى
المسافة من مركز الدائرة الثانية $$O_2(x_2, r_2)$$ إلى الوتر تساوي $$r_2$$:
الدائرة الثانية تمس القاعدة $$AC$$، الوتر $$BC$$، والدائرة الأولى
المسافة من مركز الدائرة الثانية $$O_2(x_2, r_2)$$ إلى الوتر تساوي $$r_2$$:
$$\frac{|3x_2 + 4r_2 - 36|}{5} = r_2$$
$$|3x_2 + 4r_2 - 36| = 5r_2$$
الخطوة 6: شرط التماس بين الدائرتين
المسافة بين مركزي الدائرتين تساوي مجموع نصفي القطرين:
المسافة بين مركزي الدائرتين تساوي مجموع نصفي القطرين:
$$\sqrt{(x_2 - 3)^2 + (r_2 - 3)^2} = r_1 + r_2 = 3 + r_2$$
الخطوة 7: حل المعادلات المتزامنة
من معادلة التماس مع الوتر:
من معادلة التماس بين الدائرتين:
من معادلة التماس مع الوتر:
$$3x_2 + 4r_2 - 36 = -5r_2$$
$$3x_2 = 36 - 9r_2$$
$$x_2 = 12 - 3r_2$$
من معادلة التماس بين الدائرتين:
$$(12 - 3r_2 - 3)^2 + (r_2 - 3)^2 = (3 + r_2)^2$$
$$(9 - 3r_2)^2 + (r_2 - 3)^2 = (3 + r_2)^2$$
الخطوة 8: التطوير والتبسيط
$$81 - 54r_2 + 9r_2^2 + r_2^2 - 6r_2 + 9 = 9 + 6r_2 + r_2^2$$
$$81 - 54r_2 + 9r_2^2 + r_2^2 - 6r_2 + 9 - 9 - 6r_2 - r_2^2 = 0$$
$$9r_2^2 - 66r_2 + 81 = 0$$
$$r_2^2 - \frac{22}{3}r_2 + 9 = 0$$
الخطوة 9: حل المعادلة التربيعية
باستخدام الصيغة التربيعية أو التحليل:
باستخدام الصيغة التربيعية أو التحليل:
$$r_2 = 2 \text{ أو } r_2 = \frac{9}{2}$$
نختار $$r_2 = 2$$ (الحل الصحيح حسب الهندسة)
الخطوة 10: حساب مساحة الدائرتين
مساحة الدائرة الأولى:
مساحة الدائرة الثانية:
مساحة الدائرة الأولى:
$$A_1 = \pi r_1^2 = \pi \times 3^2 = 9\pi$$
مساحة الدائرة الثانية:
$$A_2 = \pi r_2^2 = \pi \times 2^2 = 4\pi$$
🎯 الإجابة النهائية:
مساحة الدائرتين معاً = $$9\pi + 4\pi = 13\pi$$ أو تقريباً $$40.84 \text{ وحدة}^2$$
مساحة الدائرتين معاً = $$9\pi + 4\pi = 13\pi$$ أو تقريباً $$40.84 \text{ وحدة}^2$$
📌 ملاحظات مهمة:
• نصف قطر الدائرة المتعلقة بالزاوية القائمة = $$\frac{a + b - c}{2}$$
• شرط التماس بين دائرتين: المسافة بين المركزين = المجموع أو الفرق بين نصفي القطرين
• الدائرة الثانية تمس ثلاثة عناصر: القاعدة، الوتر، والدائرة الأولى
• نصف قطر الدائرة المتعلقة بالزاوية القائمة = $$\frac{a + b - c}{2}$$
• شرط التماس بين دائرتين: المسافة بين المركزين = المجموع أو الفرق بين نصفي القطرين
• الدائرة الثانية تمس ثلاثة عناصر: القاعدة، الوتر، والدائرة الأولى
📸 الحل المرجعي
هنا صورة الحل الكامل المكتوب يدويًا:
