📋 نص المسألة
يوجد دائرتان متساويتان في نصف القطر، حيث نصف قطر كل دائرة يساوي 5 سم.
الدائرتان متماستان خارجياً (تتلامسان من الخارج).
المربع الأحمر موجود بين الدائرتين عند نقطة التماس.
احسب مساحة المربع الأحمر.
الدائرتان متماستان خارجياً (تتلامسان من الخارج).
المربع الأحمر موجود بين الدائرتين عند نقطة التماس.
احسب مساحة المربع الأحمر.
رسم توضيحي للمسألة
💡 الحل التفصيلي
الخطوة 1: فهم المسألة
لدينا دائرتان متساويتان بنصف قطر $$R = 5 \text{ سم}$$
الدائرتان متماستان خارجياً (تتلامسان من الخارج)
المربع يقع بين الدائرتين عند نقطة التماس
لدينا دائرتان متساويتان بنصف قطر $$R = 5 \text{ سم}$$
الدائرتان متماستان خارجياً (تتلامسان من الخارج)
المربع يقع بين الدائرتين عند نقطة التماس
الخطوة 2: تحديد الإحداثيات
نضع مركز الدائرة الأولى $$O_1$$ عند $$(-5, 0)$$
نضع مركز الدائرة الثانية $$O_2$$ عند $$(5, 0)$$
المسافة بين المركزين:
نضع مركز الدائرة الأولى $$O_1$$ عند $$(-5, 0)$$
نضع مركز الدائرة الثانية $$O_2$$ عند $$(5, 0)$$
المسافة بين المركزين:
$$O_1O_2 = 2R = 2 \times 5 = 10 \text{ سم}$$
الخطوة 3: تحديد موضع المربع
نقطة التماس بين الدائرتين عند $$(0, 0)$$
المربع متماثل بالنسبة لخط المراكز
نفرض أن نصف ضلع المربع = $$a$$ (من المركز إلى الطرف)
إذاً ضلع المربع = $$2a$$
نقطة التماس بين الدائرتين عند $$(0, 0)$$
المربع متماثل بالنسبة لخط المراكز
نفرض أن نصف ضلع المربع = $$a$$ (من المركز إلى الطرف)
إذاً ضلع المربع = $$2a$$
الخطوة 4: شروط التماس مع الدائرة
الزاوية العلوية اليسرى للمربع تقع على محيط الدائرة الأولى
إحداثيات هذه الزاوية: $$A(-a, a)$$
المسافة من مركز الدائرة الأولى $$O_1(-5, 0)$$ إلى $$A(-a, a)$$ تساوي نصف القطر
الزاوية العلوية اليسرى للمربع تقع على محيط الدائرة الأولى
إحداثيات هذه الزاوية: $$A(-a, a)$$
المسافة من مركز الدائرة الأولى $$O_1(-5, 0)$$ إلى $$A(-a, a)$$ تساوي نصف القطر
الخطوة 5: تطبيق نظرية فيثاغورس
المسافة من $$O_1(-5, 0)$$ إلى $$A(-a, a)$$:
المسافة من $$O_1(-5, 0)$$ إلى $$A(-a, a)$$:
$$\sqrt{(-a-(-5))^2 + (a-0)^2} = R$$
$$\sqrt{(5-a)^2 + a^2} = 5$$
الخطوة 6: حل المعادلة
تربيع الطرفين:
تربيع الطرفين:
$$(5-a)^2 + a^2 = 25$$
$$25 - 10a + a^2 + a^2 = 25$$
$$2a^2 - 10a = 0$$
$$2a(a - 5) = 0$$
الحلول: $$a = 0$$ (غير منطقي) أو $$a = 5$$
الخطوة 7: حساب طول الضلع
من $$a = 5$$، فإن طول ضلع المربع:
من $$a = 5$$، فإن طول ضلع المربع:
$$\text{ضلع المربع} = 2a = 2 \times 5 = 10 \text{ سم}$$
الخطوة 8: التحقق من الحل
الزاوية العلوية اليسرى: $$A(-5, 5)$$
المسافة من $$O_1(-5, 0)$$ إلى $$A(-5, 5)$$:
الزاوية العلوية اليمنى: $$B(5, 5)$$
المسافة من $$O_2(5, 0)$$ إلى $$B(5, 5)$$:
الزاوية العلوية اليسرى: $$A(-5, 5)$$
المسافة من $$O_1(-5, 0)$$ إلى $$A(-5, 5)$$:
$$\sqrt{(-5-(-5))^2 + (5-0)^2} = \sqrt{0 + 25} = 5 = R$$ ✓
النقطة تقع على الدائرة الأولى ✓الزاوية العلوية اليمنى: $$B(5, 5)$$
المسافة من $$O_2(5, 0)$$ إلى $$B(5, 5)$$:
$$\sqrt{(5-5)^2 + (5-0)^2} = \sqrt{0 + 25} = 5 = R$$ ✓
النقطة تقع على الدائرة الثانية ✓
🎯 الإجابة النهائية:
مساحة المربع الأحمر = $$10^2 = 100 \text{ سم}^2$$
مساحة المربع الأحمر = $$10^2 = 100 \text{ سم}^2$$
📌 ملاحظة مهمة:
عندما تكون الدائرتان متماستتان خارجياً (نصف القطر = 5 سم لكل منهما)،
والمربع موضوع بتماثل كامل بينهما عند نقطة التماس،
فإن طول ضلع المربع = 10 سم
وبالتالي المساحة = $$10^2 = 100 \text{ سم}^2$$
عندما تكون الدائرتان متماستتان خارجياً (نصف القطر = 5 سم لكل منهما)،
والمربع موضوع بتماثل كامل بينهما عند نقطة التماس،
فإن طول ضلع المربع = 10 سم
وبالتالي المساحة = $$10^2 = 100 \text{ سم}^2$$