📏 العلاقات القياسية في المثلث القائم

العلاقات الأساسية للارتفاع والمساقط في المثلث القائم
السنة التاسعة أساسي الهندسة المترية العلاقات القياسية
📐

I - العلاقات القياسية الأساسية

في المثلث القائم، توجد علاقات قياسية مهمة تربط بين الارتفاع والمساقط وأطوال الأضلاع. هذه العلاقات تسمح بحساب أطوال مجهولة بطرق مختلفة عن نظرية بيتاغورس.

A B C H c b a h p q
تعريف الرموز
في المثلث ABC القائم في A، حيث H هو مسقط A على BC:
  • a = BC: الوتر (أطول ضلع)
  • b = AC: الضلع القائم الأول
  • c = AB: الضلع القائم الثاني
  • h = AH: الارتفاع من A إلى BC
  • p = BH: مسقط AB على BC
  • q = CH: مسقط AC على BC
ملاحظة مهمة
تذكر أن: p + q = a (مجموع المسقطين يساوي طول الوتر)
➗

II - العلاقة AH×BC = AB×AC

هذه العلاقة تربط بين الارتفاع وأطوال الأضلاع، وهي مفيدة جداً لحساب الارتفاع عندما نعرف أطوال الأضلاع.

العلاقة الأولى
AH × BC = AB × AC
أو بالرموز: $h × a = c × b$
الارتفاع مضروباً في الوتر = حاصل ضرب الضلعين القائمين
اشتقاق العلاقة
العلاقة تأتي من تساوي المساحات:
  1. مساحة المثلث ABC = $\frac{1}{2} × AB × AC = \frac{1}{2} × c × b$
  2. مساحة المثلث ABC = $\frac{1}{2} × BC × AH = \frac{1}{2} × a × h$
  3. بمساواة التعبيرين: $\frac{1}{2} × c × b = \frac{1}{2} × a × h$
  4. بالتبسيط: $c × b = a × h$
  5. أي: $AH × BC = AB × AC$
مثال تطبيقي
في مثلث قائم ABC قائم في A، إذا كان AB = 6 سم، AC = 8 سم، BC = 10 سم، احسب الارتفاع AH.
الحل:
  1. نطبق العلاقة: AH × BC = AB × AC
  2. AH × 10 = 6 × 8
  3. AH × 10 = 48
  4. AH = 48 ÷ 10 = 4.8 سم
التحقق: $AH = \frac{AB × AC}{BC} = \frac{6 × 8}{10} = 4.8$ سم
نصيحة للحفظ
اربط هذه العلاقة بمساحة المثلث: "الارتفاع مضروباً في القاعدة = ضرب الضلعين القائمين"
²

III - العلاقة AH² = BH×CH

هذه العلاقة تظهر أن مربع الارتفاع يساوي حاصل ضرب المسقطين. إنها علاقة جميلة تربط الارتفاع بالمساقط.

العلاقة الثانية
AH² = BH × CH
أو بالرموز: $h^2 = p × q$
مربع الارتفاع = حاصل ضرب المسقطين
فهم العلاقة
هذه العلاقة تعني أن الارتفاع AH هو الوسط التناسبي الهندسي بين المسقطين BH و CH:
$AH = \sqrt{BH × CH}$
وهذا يعني أن: $\frac{BH}{AH} = \frac{AH}{CH}$
مثال تطبيقي
في مثلث قائم، إذا كان BH = 4 سم و CH = 9 سم، احسب الارتفاع AH.
الحل:
  1. نطبق العلاقة: AH² = BH × CH
  2. AH² = 4 × 9 = 36
  3. AH = √36 = 6 سم
التحقق: $AH = \sqrt{4 × 9} = \sqrt{36} = 6$ سم

ملاحظة: يمكننا أيضاً حساب الوتر: BC = BH + CH = 4 + 9 = 13 سم

1
تحديد المعطيات
حدد قيم المسقطين BH و CH
2
تطبيق العلاقة
احسب AH² = BH × CH
3
الحل النهائي
اسحب الجذر التربيعي للحصول على AH
📏

IV - حساب الارتفاع في المثلث القائم

يمكن حساب الارتفاع في المثلث القائم بعدة طرق، حسب المعطيات المتوفرة:

📐
الطريقة الأولى
إذا علمت الضلعين القائمين:
$h = \frac{b × c}{a}$
حيث a هو الوتر
📏
الطريقة الثانية
إذا علمت المسقطين:
$h = \sqrt{p × q}$
حيث p و q هما المسقطان
📊
الطريقة الثالثة
باستخدام المساحة:
$h = \frac{2 × \text{المساحة}}{a}$
حيث a هو الوتر
🔢
الطريقة الرابعة
إذا علمت ضلعاً ومسقطه:
$h^2 = \frac{b^4}{p×a}$ أو $h^2 = \frac{c^4}{q×a}$
مثال شامل
مثلث قائم ABC قائم في A، بحيث AB = 15 سم، AC = 20 سم. احسب:
1. الوتر BC:
  1. BC² = AB² + AC² = 15² + 20² = 225 + 400 = 625
  2. BC = √625 = 25 سم
2. الارتفاع AH:
  1. AH = (AB × AC) ÷ BC = (15 × 20) ÷ 25 = 300 ÷ 25 = 12 سم
3. المسقطين:
  1. BH = AB² ÷ BC = 15² ÷ 25 = 225 ÷ 25 = 9 سم
  2. CH = AC² ÷ BC = 20² ÷ 25 = 400 ÷ 25 = 16 سم
4. التحقق:
  1. BH + CH = 9 + 16 = 25 = BC ✓
  2. AH² = 12² = 144 = 9 × 16 = BH × CH ✓
⚡

V - تطبيقات العلاقات القياسية

العلاقات القياسية لها تطبيقات واسعة في مختلف المجالات العلمية والعملية:

🏗️
الهندسة المعمارية
حساب ارتفاعات الأبنية، تصميم الأسقف المائلة، وحساب المسافات غير المباشرة
📐
الرسم التقني
إنشاء المساقط والارتفاعات في الرسوم الهندسية والتقنية
🛰️
علم الفلك
حساب المسافات الفلكية، تحديد مواقع النجوم والكواكب
📊
الإحصاء
حساب الوسط الهندسي والعلاقات التناسبية في التحليل الإحصائي
🔬
الفيزياء
حساب القوى والمكونات في الميكانيكا، البصريات الهندسية
🎯
المساحة
قياس المسافات والارتفاعات في أعمال المساحة الأرضية
مسألة تطبيقية: ارتفاع المبنى
نريد حساب ارتفاع مبنى باستخدام ظله. إذا كان طول الظل 40 متراً، والمسافة من نهاية الظل إلى أعلى المبنى 50 متراً.
الحل:
  1. نشكل مثلثاً قائماً: الارتفاع، الظل، والمسافة المباشرة
  2. نطبق نظرية بيتاغورس: ارتفاع² + 40² = 50²
  3. ارتفاع² = 50² - 40² = 2500 - 1600 = 900
  4. الارتفاع = √900 = 30 متراً

يمكن أيضاً استخدام العلاقات القياسية:

  1. الارتفاع × 50 = 40 × 30 (إذا علمنا أن الضلع الثالث 30)
  2. أو الارتفاع = √(مسقط الارتفاع × مسقط الضلع الآخر)
نصائح للامتحانات
  • احفظ العلاقات الثلاث الأساسية جيداً
  • ارسم دائماً مخططاً واضحاً للمثلث
  • حدد الرموز والمعطيات قبل البدء بالحل
  • تحقق دائماً من النتائج باستخدام علاقة أخرى
  • تذكر أن مجموع المسقطين = الوتر
🏠 العودة للرئيسية ⬅️ الدرس السابق: عكس نظرية بيتاغورس ➡️ التمارين والتطبيقات