نظرية بيتاغور — سلسلة مراجعة

المستوى: التاسعة أساسي — نظام 3 خطوات تصحيحية

المصدر: سلسلة الأستاذ فوزي الغربي — المدرسة الإعدادية ضفاف البحيرة (2023)

عكس مبرهنة بيتاغور: من المثلث القائم إلى المستطيل
تمرين 6

\( ABC \) مثلث قائم الزاوية في \( A \) حيث \( AB = 2 \) و \( BC = 6 \).

  1. احسب \( AC \).
  2. أ) على نصف المستقيم \( [BA) \) عيّن نقطة \( E \) حيث \( BE = 6 \).   ب) احسب \( EC \).
  3. لتكن \( D \) صورة \( E \) بالتناظر المركزي الذي مركزه \( B \). بيّن أن المثلث \( ECD \) قائم في \( C \).
  4. نعتبر النقطة \( I \) منتصف \( [CD] \).
    • أ) احسب \( IB \).
    • ب) المستقيمان \( (IB) \) و \( (AC) \) يتقاطعان في \( F \). بيّن أن \( (BC) \) و \( (FD) \) متعامدان.
    • ت) بيّن أن \( B \) منتصف \( [IF] \).
  5. المستقيم \( (EI) \) يقطع \( (AC) \) في \( H \). حدّد مركز ثقل المثلث \( EIF \)، ثم بيّن أن \( H \) منتصف \( [EI] \).
  6. لتكن \( G \) مناظرة \( C \) بالنسبة إلى \( B \). بيّن أن \( ECDG \) مستطيل.
  7. لتكن \( J \) منتصف \( [GD] \). المستقيمان \( (CJ) \) و \( (IG) \) يتقاطعان في \( K \). بيّن أن \( K \) نقطة من \( [BD] \).
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

\( B \) منتصف \( [ED] \) بالتناظر، و \( I \) منتصف \( [CD] \): فكّر في مستقيم المنتصفين في المثلث \( ECD \).

للسؤال 6، تذكّر أن متوازي الأضلاع الذي قطراه متقايسان هو مستطيل.

📝 الطريقة

1) و 2) مبرهنة بيتاغور مرتين.

3) نحسب \( CE^2 \) و \( CD^2 \) و \( ED^2 \) ثم نستعمل عكس مبرهنة بيتاغور.

4-أ) في المثلث \( ECD \)، النقطتان \( B \) و \( I \) منتصفا ضلعين: \( IB = \tfrac{1}{2} CE \).

5) إذا كان \( B \) منتصف \( [IF] \) فإن \( (EB) \) متوسط المثلث \( EIF \)؛ ابحث عن متوسط ثانٍ.

6) نبيّن أن قطري \( ECDG \) لهما نفس المنتصف ونفس الطول.

✅ الحل الكامل

نضع معلمًا متعامدًا ومتجانسًا أصله \( A \) بحيث \( B(2\,;\,0) \) و \( C(0\,;\,4\sqrt{2}) \).

1) \( AC^2 = BC^2 - AB^2 = 36 - 4 = 32 \)، إذن \( AC = 4\sqrt{2} \).

2) \( E \) على \( [BA) \) مع \( BE = 6 \) و \( BA = 2 \)، إذن \( A \) بين \( B \) و \( E \) و \( AE = 4 \): \( E(-4\,;\,0) \).

المثلث \( EAC \) قائم في \( A \): \( EC^2 = AE^2 + AC^2 = 16 + 32 = 48 \)، إذن \( EC = 4\sqrt{3} \).

3) \( D \) صورة \( E \) بالتناظر الذي مركزه \( B \)، إذن \( B \) منتصف \( [ED] \) و \( D(8\,;\,0) \).

\( CD^2 = 8^2 + (4\sqrt{2})^2 = 64 + 32 = 96 \) و \( ED^2 = 12^2 = 144 \).

إذن \( CE^2 + CD^2 = 48 + 96 = 144 = ED^2 \)، وحسب عكس مبرهنة بيتاغور المثلث \( ECD \) قائم في \( C \).

4-أ) في المثلث \( ECD \): \( B \) منتصف \( [ED] \) و \( I \) منتصف \( [CD] \)، إذن \( (IB) \) مستقيم المنتصفين و \( IB = \dfrac{CE}{2} = \dfrac{4\sqrt{3}}{2} = \mathbf{2\sqrt{3}} \).

4-ب) \( I(4\,;\,2\sqrt{2}) \). المستقيم \( (IB) \) يقطع \( (AC) \) (محور الترتيبات) في \( F(0\,;\,-2\sqrt{2}) \).

من \( B(2;0) \) إلى \( C(0;4\sqrt2) \): الفرق \( (-2\,;\,4\sqrt2) \).

من \( F(0;-2\sqrt2) \) إلى \( D(8;0) \): الفرق \( (8\,;\,2\sqrt2) \).

جداء الفرقين: \( (-2)(8) + (4\sqrt2)(2\sqrt2) = -16 + 16 = 0 \)، إذن \( (BC) \perp (FD) \).

4-ت) منتصف \( [IF] \) هو \( \left(\dfrac{4+0}{2}\,;\, \dfrac{2\sqrt2 - 2\sqrt2}{2}\right) = (2\,;\,0) = B \). إذن \( B \) منتصف \( [IF] \).

5) في المثلث \( EIF \): \( B \) منتصف \( [IF] \) إذن \( (EB) \) متوسط صادر من \( E \). والنقطة \( A(0;0) \) تنتمي إلى \( (EB) \) (محور الفواصل).

ومركز ثقل المثلث \( EIF \) هو \( \left(\dfrac{-4+4+0}{3}\,;\, \dfrac{0+2\sqrt2-2\sqrt2}{3}\right) = (0\,;\,0) \): إذن مركز الثقل هو \( A \).

وبما أن \( F(0;-2\sqrt2) \) و \( A(0;0) \) لهما نفس الفاصلة، فإن المتوسط الصادر من \( F \) هو المستقيم \( (FA) = (AC) \). وهذا المتوسط يمر بمنتصف \( [EI] \).

إذن \( H \)، وهي تقاطع \( (EI) \) مع \( (AC) \)، هي منتصف \( [EI] \) — وإحداثياتها \( (0\,;\,\sqrt2) \).

6) \( G \) مناظرة \( C \) بالنسبة إلى \( B \)، إذن \( G(4\,;\,-4\sqrt2) \).

• منتصف \( [ED] \) هو \( B(2;0) \) ؛ منتصف \( [CG] \) هو \( \left(\dfrac{0+4}{2}\,;\,\dfrac{4\sqrt2-4\sqrt2}{2}\right) = (2;0) = B \).

القطران لهما نفس المنتصف، إذن \( ECDG \) متوازي أضلاع.

• \( ED = 12 \) و \( CG = \sqrt{4^2 + (8\sqrt2)^2} = \sqrt{16 + 128} = \sqrt{144} = 12 \).

القطران متقايسان، إذن \( ECDG \) مستطيل.

7) \( J \) منتصف \( [GD] \) إذن \( J(6\,;\,-2\sqrt2) \).

\( I(4;2\sqrt2) \) و \( G(4;-4\sqrt2) \) لهما نفس الفاصلة، إذن \( (IG) \) هو المستقيم \( x = 4 \).

المستقيم \( (CJ) \) يمر بـ \( C(0;4\sqrt2) \) و \( J(6;-2\sqrt2) \)؛ عند \( x = 4 \) نجد الترتيب \( 4\sqrt2 - 4\sqrt2 = 0 \). إذن \( K(4\,;\,0) \).

وبما أن \( B(2;0) \) و \( D(8;0) \) و \( 2 \le 4 \le 8 \)، فإن \( K \) نقطة من \( [BD] \).