المستوى: التاسعة أساسي — نظام 3 خطوات تصحيحية
المصدر: سلسلة الأستاذ فوزي الغربي — المدرسة الإعدادية ضفاف البحيرة (2023)
نعتبر مثلثًا \( ABC \) قائمًا في \( A \) حيث \( AB = 6 \) و \( AC = 8 \)، و \( (\zeta) \) الدائرة التي مركزها \( I \) وقطرها \( [AB] \)، حيث تقطع \( (BC) \) في \( B \) و \( H \).
\( [AB] \) قطر الدائرة و \( H \) نقطة منها: ماذا تستنتج للزاوية \( \widehat{AHB} \) ؟ \( [AH] \) هو إذن ارتفاع المثلث \( ABC \) الصادر من \( A \).
المماس في \( B \) عمودي على الشعاع \( [IB] \)، و \( I \) على \( (AB) \).
1) العلاقات القياسية في المثلث القائم: \( AB^2 = BH \times BC \) و \( AC^2 = CH \times CB \). نحسب \( BC \) أولًا بمبرهنة بيتاغور.
2-أ) المماس في \( B \) عمودي على \( (AB) \)، و \( (AC) \perp (AB) \): مستقيمان عموديان على نفس المستقيم متوازيان.
2-ب) المثلث \( ABP \) قائم في \( B \) و \( [BH] \) ارتفاعه؛ نستعمل من جديد العلاقات القياسية، أو نحسب \( AP \) ثم \( PH = AP - AH \).
3) \( H \) منتصف \( [BE] \) بالتناظر، إذن \( (AH) \) متوسط المثلث \( ABE \). و \( I \) منتصف \( [AB] \)، إذن \( (EI) \) متوسط أيضًا: تقاطع متوسطين هو مركز الثقل.
4) مركز الثقل يقع على بعد ثلث المتوسط من القاعدة: \( GH = \tfrac{1}{3} AH \). لحساب \( EI \)، لاحظ أن \( (AH) \perp (BE) \) و \( H \) منتصف \( [BE] \).
1) بمبرهنة بيتاغور: \( BC^2 = AB^2 + AC^2 = 36 + 64 = 100 \)، إذن \( BC = 10 \).
\( H \) على الدائرة ذات القطر \( [AB] \)، إذن المثلث \( AHB \) قائم في \( H \)، أي \( (AH) \perp (BC) \): فـ \( [AH] \) ارتفاع المثلث \( ABC \).
بالعلاقات القياسية: \( AB^2 = BH \times BC \) ومنه \( BH = \dfrac{36}{10} = \mathbf{3{,}6} \).
و \( AC^2 = CH \times CB \) ومنه \( CH = \dfrac{64}{10} = \mathbf{6{,}4} \).
(تحقّق: \( 3{,}6 + 6{,}4 = 10 = BC \). ✔) ونحسب أيضًا \( AH = \dfrac{AB \times AC}{BC} = \dfrac{48}{10} = 4{,}8 \).
2-أ) المماس للدائرة في \( B \) عمودي على الشعاع \( [IB] \)، و \( I \) منتصف \( [AB] \) إذن \( (IB) = (AB) \). فالمماس عمودي على \( (AB) \).
ومن جهة أخرى \( (AC) \perp (AB) \) (المثلث قائم في \( A \)).
مستقيمان عموديان على نفس المستقيم متوازيان، إذن \( (AC) \parallel (BP) \).
2-ب) المثلث \( ABP \) قائم في \( B \) و \( [BH] \) ارتفاعه الصادر من \( B \) (لأن \( (BH) \perp (AP) \)).
بالعلاقة \( AB^2 = AH \times AP \) نجد \( AP = \dfrac{36}{4{,}8} = 7{,}5 \)، ومنه \( PH = AP - AH = 7{,}5 - 4{,}8 = \mathbf{2{,}7} \).
وبمبرهنة بيتاغور في \( ABP \): \( BP^2 = AP^2 - AB^2 = 56{,}25 - 36 = 20{,}25 \)، إذن \( BP = 4{,}5 \).
3) \( E \) صورة \( B \) بالتناظر الذي مركزه \( H \)، إذن \( H \) منتصف \( [BE] \).
في المثلث \( ABE \): \( (AH) \) هو المتوسط الصادر من \( A \) (لأن \( H \) منتصف \( [BE] \))، و \( (EI) \) هو المتوسط الصادر من \( E \) (لأن \( I \) منتصف \( [AB] \)).
نقطة تقاطع متوسطين هي مركز ثقل المثلث \( ABE \)، إذن \( G \) هي مركز الثقل.
4) مركز الثقل يقسم المتوسط بنسبة \( \tfrac{2}{3} \) ابتداءً من الرأس، إذن \( GH = \dfrac{1}{3} AH = \dfrac{4{,}8}{3} = \mathbf{1{,}6} \).
لحساب \( EI \): بما أن \( (AH) \perp (BE) \) و \( H \) منتصف \( [BE] \)، فإن \( (AH) \) هو الواسط العمودي لـ \( [BE] \)، ومنه \( AE = AB = 6 \) (المثلث \( ABE \) متقايس الضلعين).
ولدينا \( BE = 2 \times BH = \dfrac{36}{5} \)، ومنه \( BE^2 = \dfrac{1296}{25} \).
نستعمل علاقة المتوسط \( [EI] \) في المثلث \( ABE \):
\( EI^2 = \dfrac{2\,EA^2 + 2\,EB^2 - AB^2}{4} = \dfrac{72 + \dfrac{2592}{25} - 36}{4} = \dfrac{\dfrac{900 + 2592}{25}}{4} = \dfrac{3492}{100} = \dfrac{873}{25} \).
إذن \( EI = \dfrac{\sqrt{873}}{5} = \dfrac{3\sqrt{97}}{5} \) (لأن \( 873 = 9 \times 97 \)).