نظرية بيتاغور — سلسلة مراجعة

المستوى: التاسعة أساسي — نظام 3 خطوات تصحيحية

المصدر: سلسلة الأستاذ فوزي الغربي — المدرسة الإعدادية ضفاف البحيرة (2023)

مسألة تأليفية: مستطيل، تناظر مركزي ونقطة تلاقي الارتفاعات
تمرين 4

\( ABCD \) مستطيل حيث \( AB = 9 \) و \( AD = 4 \)، والنقطة \( M \) من \( [AB] \) حيث \( AM = 6 \). المستقيمان \( (DM) \) و \( (BC) \) يتقاطعان في \( O \).

لتكن \( I \) صورة \( O \) بالتناظر المركزي الذي مركزه \( B \).

  1. احسب \( OB \) ثم استنتج أن \( I \) هي منتصف \( [BC] \).
  2. ابنِ \( J \) مسقط \( I \) على \( (OD) \) وفق منحى \( (AB) \).
    • أ) احسب \( IJ \).
    • ب) بيّن أن \( (IM) \parallel (AJ) \).
  3. لتكن \( K \) منتصف \( [CD] \) و \( G \) نقطة تقاطع المستقيمين \( (OK) \) و \( (IJ) \). احسب \( \dfrac{OG}{OK} \).
  4. الدائرة \( (\mathcal{C}) \) التي قطرها \( [OJ] \) تقطع \( (OK) \) في \( O \) و \( P \). المستقيم \( (PJ) \) يقطع \( (OC) \) في \( E \).
    • أ) بيّن أن \( I \) تنتمي إلى \( (\mathcal{C}) \).
    • ب) بيّن أن \( (EG) \perp (OJ) \).
  5. المستقيمان \( (AI) \) و \( (JM) \) يتقاطعان في \( R \). بيّن أن \( R \) و \( C \) و \( G \) على استقامة واحدة.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

ضع معلمًا متعامدًا ومتجانسًا أصله \( A \) بحيث \( B(9\,;\,0) \) و \( D(0\,;\,4) \): كل الأسئلة تصبح حسابات على الإحداثيات.

للسؤال 4-ب، لا تحسب \( P \): فكّر في المثلث \( OJE \) وفي نقطة تلاقي ارتفاعاته.

📝 الطريقة

1) نوجد \( O \) كتقاطع \( (DM) \) مع \( (BC) \)، ثم \( I \) بالتناظر: \( B \) منتصف \( [OI] \).

2) «المسقط وفق منحى \( (AB) \)» يعني الإسقاط أفقيًا: \( J \) لها نفس ترتيب \( I \). للتوازي، نقارن منحى \( (IM) \) بمنحى \( (AJ) \).

3) \( G \) على \( (IJ) \) أي ترتيبه معلوم؛ نعوّض في تمثيل \( (OK) \).

4-أ) الزاوية \( \widehat{OIJ} \) قائمة، وكل مثلث قائم يرتسم في الدائرة التي وترُه قطرها.

4-ب) \( P \) على الدائرة ذات القطر \( [OJ] \) إذن \( (JP) \perp (OP) \). في المثلث \( OJE \): \( (OG) \) و \( (JG) \) ارتفاعان، إذن \( G \) هي نقطة تلاقي الارتفاعات، فالارتفاع الثالث \( (EG) \) عمودي على \( (OJ) \).

5) نحسب إحداثيات \( R \) ونقارن منحى \( (CG) \) بمنحى \( (CR) \).

✅ الحل الكامل

نضع معلمًا متعامدًا ومتجانسًا أصله \( A \): \( A(0;0) \) ، \( B(9;0) \) ، \( C(9;4) \) ، \( D(0;4) \) ، \( M(6;0) \).

1) المستقيم \( (DM) \) يمر بـ \( D(0;4) \) و \( M(6;0) \)؛ المستقيم \( (BC) \) هو \( x = 9 \). بالتقاطع نجد \( O(9\,;\,-2) \).

ومنه \( OB = |0 - (-2)| = \mathbf{2} \).

\( I \) صورة \( O \) بالتناظر الذي مركزه \( B \)، إذن \( B \) منتصف \( [OI] \) و \( I(9\,;\,2) \). وبما أن \( B(9;0) \) و \( C(9;4) \)، فإن منتصف \( [BC] \) هو \( (9;2) = I \). إذن \( I \) منتصف \( [BC] \).

2-أ) \( J \) على \( (OD) \) ولها نفس ترتيب \( I \) أي \( 2 \). نجد \( J(3\,;\,2) \)، ومنه \( IJ = 9 - 3 = \mathbf{6} \).

2-ب) من \( I(9;2) \) إلى \( M(6;0) \): الفرق \( (-3\,;\,-2) \). من \( A(0;0) \) إلى \( J(3;2) \): الفرق \( (3\,;\,2) \). المنحيان متناسبان، إذن \( (IM) \parallel (AJ) \).

3) \( K \) منتصف \( [CD] \) إذن \( K(4{,}5\,;\,4) \). النقطة \( G \) على \( (IJ) \) أي ترتيبها \( 2 \)؛ بالتعويض في \( (OK) \) نجد \( G(6\,;\,2) \).

\( OG = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 \) و \( OK = \sqrt{4{,}5^2 + 6^2} = 7{,}5 \)، إذن \( \dfrac{OG}{OK} = \dfrac{5}{7{,}5} = \mathbf{\dfrac{2}{3}} \).

4-أ) \( O(9;-2) \) و \( I(9;2) \) لهما نفس الفاصلة، إذن \( (OI) \) عمودي على محور الفواصل؛ و \( I(9;2) \) و \( J(3;2) \) لهما نفس الترتيب، إذن \( (IJ) \) موازٍ له. ومنه \( (OI) \perp (IJ) \): المثلث \( OIJ \) قائم في \( I \).

وبما أن كل مثلث قائم يقبل الإرتسام في الدائرة التي وترُه قطرها، فإن \( I \) تنتمي إلى \( (\mathcal{C}) \) ذات القطر \( [OJ] \).

(تحقّق: مركز \( (\mathcal{C}) \) هو \( (6;0) \) وشعاعها \( \sqrt{13} \)، و \( (9-6)^2 + 2^2 = 13 \).)

4-ب) \( P \) تنتمي إلى \( (\mathcal{C}) \) ذات القطر \( [OJ] \)، إذن المثلث \( OPJ \) قائم في \( P \)، أي \( (JP) \perp (OP) \).

نعتبر المثلث \( OJE \):

  • \( E \) على \( (OC) \) و \( I \) على \( (OC) \) أيضًا (الفاصلة \( 9 \))، والمستقيم \( (IJ) \) عمودي على \( (OC) \) ويمر بـ \( J \): إذن \( (JG) \) ارتفاع صادر من \( J \).
  • \( E \) على \( (PJ) \) و \( (OP) \perp (PJ) \)، والنقاط \( O, P, G, K \) على استقامة واحدة: إذن \( (OG) \) ارتفاع صادر من \( O \).

فـ \( G \) هي نقطة تلاقي ارتفاعي المثلث \( OJE \)، وبما أن الارتفاعات الثلاثة متلاقية فإن \( (EG) \) هو الارتفاع الصادر من \( E \)، أي \( (EG) \perp (OJ) \).

5) \( (AI) \) يمر بـ \( A(0;0) \) و \( I(9;2) \)؛ \( (JM) \) يمر بـ \( J(3;2) \) و \( M(6;0) \). بالتقاطع نجد \( R(4{,}5\,;\,1) \).

من \( C(9;4) \) إلى \( G(6;2) \): الفرق \( (-3\,;\,-2) \).

من \( C(9;4) \) إلى \( R(4{,}5;1) \): الفرق \( (-4{,}5\,;\,-3) = 1{,}5 \times (-3\,;\,-2) \).

المنحيان متناسبان والنقطة \( C \) مشتركة، إذن \( R \) و \( C \) و \( G \) على استقامة واحدة.