المستوى: التاسعة أساسي — نظام 3 خطوات تصحيحية
المصدر: سلسلة الأستاذ فوزي الغربي — المدرسة الإعدادية ضفاف البحيرة (2023)
نعتبر المستطيل \( ABCD \) حيث \( AB = 7 \) و \( BC = 4 \) (وحدة الطول هي الصم). \( I \) نقطة من \( [AB] \) و \( J \) نقطة من \( [BC] \) حيث \( BI = 4 \) و \( BJ = 3 \).
ابدأ بتحديد \( AI \) و \( JC \): \( AI = AB - BI \) و \( JC = BC - BJ \).
في السؤال 3، المثلث \( IBJ \) قائم في \( B \) و \( [BK] \) ارتفاعه الصادر من الزاوية القائمة: هنا تُستعمل العلاقات القياسية في المثلث القائم.
1) ثلاث تطبيقات لمبرهنة بيتاغور، في المثلثات \( IBJ \) (قائم في \( B \))، \( IAD \) (قائم في \( A \)) و \( DCJ \) (قائم في \( C \)).
2) قارن \( IJ \) و \( ID \) للتقايس، ثم استعمل عكس مبرهنة بيتاغور مع \( DJ \) لتحديد الزاوية القائمة.
3) في المثلث القائم: \( BK \times IJ = IB \times BJ \) (المساحة بطريقتين)، و \( IB^2 = IK \times IJ \) ، \( BJ^2 = JK \times JI \) (علاقتا إقليدس).
1) \( AI = AB - BI = 7 - 4 = 3 \) و \( JC = BC - BJ = 4 - 3 = 1 \).
• المثلث \( IBJ \) قائم في \( B \): \( IJ^2 = BI^2 + BJ^2 = 16 + 9 = 25 \)، إذن \( IJ = 5 \).
• المثلث \( IAD \) قائم في \( A \): \( ID^2 = AI^2 + AD^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \)، إذن \( ID = 5 \) (لأن \( AD = BC = 4 \)).
• المثلث \( DCJ \) قائم في \( C \): \( DJ^2 = DC^2 + CJ^2 = 7^2 + 1^2 = 49 + 1 = 50 \)، إذن \( DJ = 5\sqrt{2} \) (لأن \( DC = AB = 7 \)).
2) \( IJ = ID = 5 \)، إذن المثلث \( IJD \) متقايس الضلعين رأسه الرئيسي \( I \).
ولدينا \( IJ^2 + ID^2 = 25 + 25 = 50 = DJ^2 \)، فحسب عكس مبرهنة بيتاغور المثلث \( IJD \) قائم الزاوية في \( I \).
3) المثلث \( IBJ \) قائم في \( B \) و \( [BK] \) ارتفاعه الصادر من \( B \).
• بحساب المساحة بطريقتين: \( BK \times IJ = BI \times BJ \)، إذن \( BK = \dfrac{4 \times 3}{5} = \mathbf{2{,}4} \).
• \( BJ^2 = JK \times JI \) ، إذن \( JK = \dfrac{BJ^2}{IJ} = \dfrac{9}{5} = \mathbf{1{,}8} \).
• \( BI^2 = IK \times IJ \) ، إذن \( IK = \dfrac{BI^2}{IJ} = \dfrac{16}{5} = \mathbf{3{,}2} \).
تحقّق: \( JK + IK = 1{,}8 + 3{,}2 = 5 = IJ \). ✔