نظرية بيتاغور — سلسلة مراجعة

المستوى: التاسعة أساسي — نظام 3 خطوات تصحيحية

المصدر: سلسلة الأستاذ فوزي الغربي — المدرسة الإعدادية ضفاف البحيرة (2023)

شبه منحرف قائم: من بيتاغور إلى الدائرة
تمرين 1

نعتبر شبه منحرف \( ABCD \) قائمًا في \( A \) و \( D \)، حيث \( AB = 2 \) ، \( AD = 6 \) و \( CD = 4{,}5 \) (وحدة الطول هي الصم).

  1. لتكن \( H \) المسقط العمودي للنقطة \( B \) على \( (CD) \). ما هي طبيعة الرباعي \( ABHD \) ؟ ثم احسب \( BC \).
  2. لتكن \( E \) منتصف \( [AD] \). بيّن أن المثلث \( EBC \) قائم الزاوية.
  3. المستقيم العمودي على \( (BC) \) والمار من \( E \) يقطع \( (BC) \) في \( F \). احسب \( EF \).
  4. استنتج أن النقاط \( A \) و \( F \) و \( D \) تنتمي إلى نفس الدائرة \( (\mathcal{C}) \)، وحدّد طبيعة المثلث \( AFD \).
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

الرباعي \( ABHD \) له ثلاث زوايا قائمة. لحساب \( BC \)، اشتغل في المثلث \( BHC \) القائم في \( H \): ما هو \( HC \) ؟

في السؤال 3، فكّر في مساحة المثلث \( EBC \) محسوبةً بطريقتين.

📝 الطريقة

1) رباعي له ثلاث زوايا قائمة هو مستطيل. ومنه \( BH = AD \) و \( DH = AB \)، فنستنتج \( HC = DC - DH \)، ثم نطبّق مبرهنة بيتاغور في \( BHC \).

2) نحسب \( EB^2 \) و \( EC^2 \) و \( BC^2 \) بمبرهنة بيتاغور، ثم نستعمل عكس مبرهنة بيتاغور.

3) مساحة المثلث القائم \( EBC \) تساوي \( \tfrac{1}{2}\,EB \times EC \) وتساوي أيضًا \( \tfrac{1}{2}\,BC \times EF \).

4) قارن \( EF \) بـ \( EA \) و \( ED \): إذا تساوت الأبعاد الثلاثة فالنقاط على دائرة مركزها \( E \).

✅ الحل الكامل

1) الرباعي \( ABHD \) قائم في \( A \) و \( D \)، و \( (BH) \perp (CD) \) فهو قائم في \( H \) أيضًا: رباعي له ثلاث زوايا قائمة، إذن \( ABHD \) مستطيل.

ومنه \( BH = AD = 6 \) و \( DH = AB = 2 \)، فيكون \( HC = DC - DH = 4{,}5 - 2 = 2{,}5 \).

المثلث \( BHC \) قائم في \( H \)، فحسب مبرهنة بيتاغور:

\( BC^2 = BH^2 + HC^2 = 6^2 + 2{,}5^2 = 36 + 6{,}25 = 42{,}25 \) ، إذن \( BC = 6{,}5 \).

2) بما أن \( E \) منتصف \( [AD] \) فإن \( AE = ED = 3 \).

المثلث \( ABE \) قائم في \( A \): \( EB^2 = AE^2 + AB^2 = 9 + 4 = 13 \).

المثلث \( EDC \) قائم في \( D \): \( EC^2 = ED^2 + DC^2 = 9 + 20{,}25 = 29{,}25 \).

إذن \( EB^2 + EC^2 = 13 + 29{,}25 = 42{,}25 = BC^2 \).

حسب عكس مبرهنة بيتاغور، المثلث \( EBC \) قائم الزاوية في \( E \).

3) مساحة المثلث \( EBC \) القائم في \( E \) تساوي \( \tfrac{1}{2}\,EB \times EC \)، وتساوي أيضًا \( \tfrac{1}{2}\,BC \times EF \). إذن \( EF = \dfrac{EB \times EC}{BC} \).

\( EB \times EC = \sqrt{13} \times \sqrt{29{,}25} = \sqrt{13 \times 29{,}25} = \sqrt{380{,}25} = 19{,}5 \).

ومنه \( EF = \dfrac{19{,}5}{6{,}5} = \mathbf{3} \).

4) لدينا \( EA = ED = 3 \) و \( EF = 3 \)، إذن \( EA = ED = EF = 3 \).

فالنقاط \( A \) و \( D \) و \( F \) تنتمي إلى الدائرة \( (\mathcal{C}) \) التي مركزها \( E \) وشعاعها \( 3 \).

وبما أن \( E \) منتصف \( [AD] \) و \( AD = 6 = 2 \times 3 \)، فإن \( [AD] \) قطر لهذه الدائرة. والنقطة \( F \) منها، إذن المثلث \( AFD \) قائم الزاوية في \( F \).