التمرين 15: تطبيقات مجمّعة لطاليس وفيتاغورس

مثلث \(ABC\) قائم في \(A\): \(AB=3\)، \(AC=4\).
(1) احسب \(BC\).
(2) \(M \in [AB]\) حيث \(AM=1\). المستقيم الموازي لـ\((BC)\) من \(M\) يقطع \([AC]\) في \(N\).
(3) احسب \(AN\) و\(MN\).
(4) بيّن أن مساحة المثلث \(AMN = \dfrac{1}{9}\) مساحة المثلث \(ABC\).

💡

📝

✅

لم تبدأ بعد

💡 تلميح

س1: مبرهنة فيتاغورس في المثلث القائم في \(A\).
س3: \((MN)//(BC)\) → طاليس في المثلث \(ABC\): \(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC}\).
س4: المثلثان متشابهان بنسبة \(\dfrac{1}{3}\) → نسبة المساحات = \(\left(\dfrac{1}{3}\right)^2\).

📝 الطريقة

الخطوة 1: \(BC^2=AB^2+AC^2=9+16=25\) → \(BC=5\).

الخطوة 2: نسبة طاليس: \(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{1}{3}\).

الخطوة 3: \(AN=\dfrac{1}{3}\times AC=\dfrac{4}{3}\) و\(MN=\dfrac{1}{3}\times BC=\dfrac{5}{3}\).

الخطوة 4: نسبة المساحات = \(\left(\dfrac{AM}{AB}\right)^2=\dfrac{1}{9}\).

✅ الحل الكامل

(1) \(BC^2=3^2+4^2=25\) → \(BC=5\). ✓

(2)-(3) \((MN)//(BC)\) → بطاليس في المثلث \(ABC\): \(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC}=\dfrac{1}{3}\). إذن \(AN=\dfrac{4}{3}\) و\(MN=\dfrac{5}{3}\).

(4) المثلثان \(AMN\) و\(ABC\) متشابهان بنسبة \(\dfrac{1}{3}\). إذن \(\dfrac{\mathcal{A}(AMN)}{\mathcal{A}(ABC)}=\left(\dfrac{1}{3}\right)^2=\dfrac{1}{9}\). ✓

سلسلة تمارين الهندسة: المثلثات، فيتاغورس وطاليس

💡 تلميح

📝 الطريقة

✅ الحل الكامل