\(ABC\) مثلث، \(D \in [AB]\)، \(E \in [AC]\)، \((DE) // (BC)\)، و\(O\) نقطة تقاطع \([DC]\) و\([BE]\).
💡 تلميح
📝 الطريقة
✅ الحل الكامل
🔄 إعادة
💡 تلميح
س1: المثلثان \(OED\) و\(OBC\) متشابهان — لأن \((DE)//(BC)\). نسبة المساحات = مربع نسبة الأضلاع المتناظرة.س2: \((DE)//(BC)\) في المثلث \(ABC\) → استعمل مبرهنة طاليس.س3: استعمل نسبة المساحات: \(\dfrac{\mathcal{A}(AMN)}{\mathcal{A}(ABC)} = \left(\dfrac{DE}{BC}\right)^2\).
📝 الطريقة
الخطوة 1: \((DE)//(BC)\) → المثلثان \(ODE\) و\(OBC\) متشابهان → \(\dfrac{\mathcal{A}(ODE)}{\mathcal{A}(OBC)} = \left(\dfrac{OD}{OC}\right)^2 = \dfrac{9}{25}\).
الخطوة 2: إذن \(\dfrac{OD}{OC} = \dfrac{3}{5}\), ومنه \(\dfrac{DE}{BC} = \dfrac{3}{5}\).
الخطوة 3: بطاليس في المثلث \(ABC\): \(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{DE}{BC} = \dfrac{3}{5}\).
الخطوة 4: \(\dfrac{\mathcal{A}(ADE)}{\mathcal{A}(ABC)} = \left(\dfrac{3}{5}\right)^2 = \dfrac{9}{25}\). مساحة \(ABC\) = مساحة \(ADE \times \dfrac{25}{9}\). لكن نحتاج مساحة \(ADE\) أولاً من بيانات إضافية.
✅ الحل الكامل
(1) المثلثان \(OED\) و\(OBC\) متشابهان لأن \((DE)//(BC)\)، إذن: \(\dfrac{\mathcal{A}(OED)}{\mathcal{A}(OBC)} = \left(\dfrac{OD}{OC}\right)^2 = \dfrac{9}{25}\), ومنه \(\dfrac{OD}{OC} = \dfrac{3}{5}\). ✓
(2) بما أن \((DE)//(BC)\) في المثلث \(ABC\)، وبطاليس: \(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC} = \dfrac{DE}{BC} = \dfrac{OD}{OC} = \dfrac{3}{5}\).
(3) \(\dfrac{\mathcal{A}(ADE)}{\mathcal{A}(ABC)} = \left(\dfrac{AD}{AB}\right)^2 = \dfrac{9}{25}\). مساحة المثلث \(ABC = \dfrac{25}{9} \times \mathcal{A}(ADE)\).