هندسة شاملة في المستطيل مسألة 2

هندسة شاملة في المستطيل

مسألة 2

ABCD مستطيل حيث \(AB=8\) و \(AD=6\). I منتصف [BC]. المستقيم (DI) يقطع (AB) في J.

برهن أن المثلث JAD قائم الزاوية.
احسب AJ و DJ.
برهن أن B منتصف [AJ].

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

3. لإثبات أن B منتصف [AJ]: استخدم نظرية طاليس في المثلث JAD مع المستقيم (BC)، أو أثبت تطابق المثلثين JBI و CDI.

📝 الطريقة

1. المثلث JAD: الزاوية \(\angle DAJ\) هي \(\angle DAB\) وهي 90 درجة لأن ABCD مستطيل.

2. إثبات أن B منتصف [AJ]:

في المثلثين JBI و CDI: \(\angle BJI = \angle CDI\) (زاويتان متبادلتان داخلياً لأن \((AJ) // (DC)\)). \(\angle JIB = \angle DIC\) (متقابلتان بالرأس). \(BI = IC\) (معطى).
إذن المثلثان متطابقان. نستنتج أن \(JB=DC\). وبما أن \(DC=AB\)، فإن \(JB=AB\). إذن B منتصف [AJ].

3. حساب الأطوال: من التطابق، \(JI=ID\). احسب DI ببيتاغور في المثلث DCI. ثم احسب DJ. احسب AJ.

✅ الحل الكامل

1. برهان أن JAD قائم:

بما أن ABCD مستطيل، فإن \((AD) \perp (AB)\). وبما أن J تقع على المستقيم (AB)، فإن \((AD) \perp (AJ)\). إذن المثلث JAD قائم الزاوية في A.

3. برهان أن B منتصف [AJ]:

نقارن المثلثين JBI و CDI:

\(BI = IC\) (لأن I منتصف [BC]).
\(\angle JBI = \angle DCI = 90^\circ\) (زوايا قائمة).
\(\angle BIJ = \angle CID\) (متقابلتان بالرأس).

إذن، المثلثان JBI و CDI متطابقان (حسب حالة زاوية-ضلع-زاوية). من التطابق نستنتج أن: \(JB = CD\). وبما أن ABCD مستطيل، فإن \(CD = AB\). إذن \(JB = AB\). وبما أن B تقع بين A و J، فإن B هي منتصف [AJ].

2. حساب AJ و DJ:

لدينا \(AJ = AB + BJ = AB + CD = 8 + 8 = 16\) cm.

في المثلث JAD القائم في A، حسب بيتاغور:

\[DJ^2 = JA^2 + AD^2 = 16^2 + 6^2 = 256 + 36 = 292\]

\[DJ = \sqrt{292} = \sqrt{4 \times 73} = 2\sqrt{73}\]

سلسلة تمارين الهندسة: المثلثات، فيتاغورس وطاليس

💡 مؤشر

📝 الطريقة

✅ الحل الكامل