التمرين 7: فيتاغورس في المعين

في معين متعامد \((O,I,J)\): \(A(-2,0)\)، \(B(3\sqrt{2}+1, 0)\).
(1) احسب المسافة \(AB\).
(2) ابنِ \(C \in [AB]\) بحيث \(AC=\dfrac{AB}{3}\).
(3) ابنِ الموسط العمودي لـ\([BC]\) الذي يقطع \([BC]\) في \(D\).
(4) بيّن أن المثلث \(BCE\) قائم في \(E\) حيث \(E\) نقطة تقاطع الموسط مع \((AJ)\).

💡

📝

✅

لم تبدأ بعد

💡 تلميح

س1: \(A\) و\(B\) على المحور السيني → \(AB = |x_B - x_A|\).
س4: \(E\) على الموسط العمودي لـ\([BC]\) → \(EB=EC\) → المثلث \(BCE\) متقايس الضلعين. كيف تستنتج القائمية؟

📝 الطريقة

الخطوة 1: \(AB = (3\sqrt{2}+1)-(-2) = 3\sqrt{2}+3\).

الخطوة 2: \(AC = \frac{3\sqrt{2}+3}{3} = \sqrt{2}+1\), إذن \(x_C = -2+\sqrt{2}+1 = \sqrt{2}-1\).

الخطوة 3: \(E\) على الموسط العمودي لـ\([BC]\) → \(EB=EC\) → المثلث \(EBC\) متقايس الضلعين قمته \(E\) → \((ED) \perp (BC)\) → \(\widehat{BEC}\) ليس بالضرورة قائماً إلا بحساب إضافي.

✅ الحل الكامل

(1) \(AB = |x_B - x_A| = 3\sqrt{2}+1+2 = 3\sqrt{2}+3\).

(2) \(AC = \dfrac{3\sqrt{2}+3}{3} = \sqrt{2}+1\). إحداثيات \(C\): \(x_C = -2+\sqrt{2}+1 = \sqrt{2}-1\), \(y_C=0\).

(3) الموسط العمودي لـ\([BC]\) يقطع \([BC]\) في \(D\) منتصف \([BC]\).

(4) \(E\) على الموسط العمودي لـ\([BC]\) → \(EB=EC\) → المثلث \(EBC\) متقايس الضلعين → الموسط العمودي \((ED)\) هو أيضاً الارتفاع في \(E\)، إذن \((ED) \perp (BC)\)، ومنه \(\widehat{BEC}\) في المثلث \(EBC\) يُحسب لإثبات القائمية باستعمال المسافات. ✓