سلسلة تمارين الهندسة: المثلثات، فيتاغورس وطاليس

المستوى: التاسعة أساسي — نظام 3 خطوات تصحيحية

التمرين 1: بناء المثلث وخصائصه
(1) ابنِ مثلثاً \(ABC\) حيث \(AB=6\)، \(AC=12\) و \(BC=9\).
(2) ابنِ منصف الزاوية \([AB, AC]\) الذي يقطع \((BC)\) في \(D\).
(3) ابنِ الموسط العمودي لـ \([AD]\) الذي يقطع \([AB]\) في \(E\) ويقطع \((AD)\) في \(O\).
(4) بيّن أن الزاويتين \(\widehat{DAC}\) و \(\widehat{ADE}\) متقايستان.
(5) استنتج أن المستقيمين \((AC)\) و \((DE)\) متوازيان.
💡
📝
✅
لم تبدأ بعد

💡 تلميح

  • س4: \(O\) على الموسط العمودي لـ \([AD]\) → ما علاقة ذلك بأضلاع المثلث \(AEO\) و\(DEO\)؟
  • س4: \((AD)\) منصف الزاوية \(\widehat{BAC}\) → ما الذي يساوي \(\widehat{EAD}\)؟
  • س5: زاويتان متبادلتان داخلياً ومتساويتان → ماذا تستنتج عن المستقيمين؟

📝 الطريقة

الخطوة 1: بما أن \(O\) على الموسط العمودي لـ \([AD]\)، فإن \(OA = OD\) → المثلث \(AOD\) متقايس الضلعين.

الخطوة 2: كذلك \(E\) على الموسط العمودي لـ \([AD]\) → \(EA = ED\) → المثلث \(AED\) متقايس الضلعين قمته \(E\).

الخطوة 3: في المثلث \(AED\) المتقايس الضلعين: \(\widehat{EAD} = \widehat{EDA}\).

الخطوة 4: \((AD)\) منصف \(\widehat{BAC}\) → \(\widehat{EAD} = \widehat{DAC}\).

الخطوة 5: إذن \(\widehat{DAC} = \widehat{ADE}\). هاتان زاويتان متبادلتان داخلياً → \((AC) // (DE)\).

✅ الحل الكامل

بما أن \(E\) تنتمي إلى الموسط العمودي لـ \([AD]\)، فإن \(EA = ED\)، إذن المثلث \(AED\) متقايس الضلعين قمته الرئيسية \(E\).
في المثلث \(AED\) المتقايس الضلعين: \(\widehat{EAD} = \widehat{EDA}\).
بما أن \((AD)\) هو منصف الزاوية \(\widehat{BAC}\): \(\widehat{EAD} = \widehat{DAC}\).
بالتالي: \(\widehat{DAC} = \widehat{ADE}\).
الزاويتان \(\widehat{DAC}\) و \(\widehat{ADE}\) متبادلتان داخلياً بالنسبة للمستقيمين \((AC)\) و \((DE)\) والقاطع \((AD)\)، وهما متقايستان. إذن \((AC) // (DE)\). ✓
التمرين 2: طاليس والمساحات
\(ABC\) مثلث، \(D \in [AB]\)، \(E \in [AC]\)، \((DE) // (BC)\)، و\(O\) نقطة تقاطع \([DC]\) و\([BE]\).
مساحة المثلث \(OED = 9 \text{ cm}^2\)، ومساحة المثلث \(OBC = 25 \text{ cm}^2\).
(1) بيّن أن \(\dfrac{OD}{OC} = \dfrac{3}{5}\).
(2) استنتج النسبة \(\dfrac{AD}{AB}\).
(3) أوجد مساحة المثلث \(ABC\).
💡
📝
✅
لم تبدأ بعد

💡 تلميح

  • س1: المثلثان \(OED\) و\(OBC\) متشابهان — لأن \((DE)//(BC)\). نسبة المساحات = مربع نسبة الأضلاع المتناظرة.
  • س2: \((DE)//(BC)\) في المثلث \(ABC\) → استعمل مبرهنة طاليس.
  • س3: استعمل نسبة المساحات: \(\dfrac{\mathcal{A}(AMN)}{\mathcal{A}(ABC)} = \left(\dfrac{DE}{BC}\right)^2\).

📝 الطريقة

الخطوة 1: \((DE)//(BC)\) → المثلثان \(ODE\) و\(OBC\) متشابهان → \(\dfrac{\mathcal{A}(ODE)}{\mathcal{A}(OBC)} = \left(\dfrac{OD}{OC}\right)^2 = \dfrac{9}{25}\).

الخطوة 2: إذن \(\dfrac{OD}{OC} = \dfrac{3}{5}\), ومنه \(\dfrac{DE}{BC} = \dfrac{3}{5}\).

الخطوة 3: بطاليس في المثلث \(ABC\): \(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{DE}{BC} = \dfrac{3}{5}\).

الخطوة 4: \(\dfrac{\mathcal{A}(ADE)}{\mathcal{A}(ABC)} = \left(\dfrac{3}{5}\right)^2 = \dfrac{9}{25}\). مساحة \(ABC\) = مساحة \(ADE \times \dfrac{25}{9}\). لكن نحتاج مساحة \(ADE\) أولاً من بيانات إضافية.

✅ الحل الكامل

(1) المثلثان \(OED\) و\(OBC\) متشابهان لأن \((DE)//(BC)\)، إذن: \(\dfrac{\mathcal{A}(OED)}{\mathcal{A}(OBC)} = \left(\dfrac{OD}{OC}\right)^2 = \dfrac{9}{25}\), ومنه \(\dfrac{OD}{OC} = \dfrac{3}{5}\). ✓
(2) بما أن \((DE)//(BC)\) في المثلث \(ABC\)، وبطاليس: \(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC} = \dfrac{DE}{BC} = \dfrac{OD}{OC} = \dfrac{3}{5}\).
(3) \(\dfrac{\mathcal{A}(ADE)}{\mathcal{A}(ABC)} = \left(\dfrac{AD}{AB}\right)^2 = \dfrac{9}{25}\). مساحة المثلث \(ABC = \dfrac{25}{9} \times \mathcal{A}(ADE)\).
التمرين 3: المعين القائم وفيتاغورس
في معين متعامد \((O,I,J)\) حيث \(OI=OJ=1\).
(1) عيّن \(A(3,4)\)، \(B\) مناظرة \(A\) بالنسبة لـ\((OJ)\)، \(C\) مناظرة \(B\) بالنسبة لـ\(O\).
(2) حدد إحداثيات \(B\) و\(C\).
(3) احسب \(AB\)، \(AC\) و\(BC\).
(4) بيّن أن المثلث \(ABC\) قائم في \(A\).
💡
📝
✅
لم تبدأ بعد

💡 تلميح

  • التناظر بالنسبة لـ\((OJ)\) (المحور الصادي): يُغيّر إشارة الإحداثي الأول فقط.
  • التناظر بالنسبة لـ\(O\): يُغيّر إشارة الإحداثيين معاً.
  • س4: إذا \(AB^2 + AC^2 = BC^2\) فالمثلث قائم في \(A\) بمبرهنة فيتاغورس العكسية.

📝 الطريقة

\(B\): تناظر \(A(3,4)\) بالنسبة لمحور \((OJ)\) (المحور الصادي) → \(B(-3, 4)\).

\(C\): تناظر \(B(-3,4)\) بالنسبة لـ\(O\) → \(C(3, -4)\).

المسافات: \(AB = \sqrt{(-3-3)^2+(4-4)^2} = 6\)، \(AC = 8\)، \(BC = 10\).

فيتاغورس: \(AB^2 + AC^2 = 36 + 64 = 100 = BC^2\) → قائم في \(A\).

✅ الحل الكامل

(2) \(B(-3, 4)\) (تناظر \(A\) بالنسبة للمحور الصادي: نعكس الإحداثي الأول). \(C(3, -4)\) (تناظر \(B\) بالنسبة لـ\(O\): نعكس كلا الإحداثيين).
(3) \(AB = \sqrt{36+0} = 6\)، \(AC = \sqrt{0+64} = 8\)، \(BC = \sqrt{36+64} = \sqrt{100} = 10\).
(4) \(AB^2 + AC^2 = 36+64 = 100 = BC^2\). بمبرهنة فيتاغورس العكسية، المثلث \(ABC\) قائم في \(A\). ✓
التمرين 4: مركز الثقل والموسط
في المثلث من التمرين الأول: \(BD=3\)، \(DE=4\)، \(AB=6\).
(1) لتكن \(G\) مناظرة \(D\) بالنسبة إلى \(B\).
(2) بيّن أن \(E\) هي مركز ثقل المثلث \(ADG\).
(3) استنتج أن الموسط الصادر من \(A\) في المثلث \(ADG\) يمر من \(E\).
💡
📝
✅
لم تبدأ بعد

💡 تلميح

  • \(G\) مناظرة \(D\) بالنسبة لـ\(B\) → \(B\) منتصف \([DG]\).
  • مركز الثقل يُقسّم كل موسط بنسبة \(2:1\) من القمة.
  • إذا كان \(AE = \dfrac{2}{3} AB\) والموسط من \(A\) يصل لمنتصف \([DG]\) وهو \(B\)، فإن \(E\) تُحقق شرط مركز الثقل.

📝 الطريقة

الخطوة 1: \(G\) مناظرة \(D\) بالنسبة لـ\(B\) → \(B\) منتصف \([DG]\) → \([AB]\) موسط المثلث \(ADG\) من \(A\).

الخطوة 2: \(E \in [AB]\) مع \(AB=6\) و\(AE = AB - EB = 6-2 = 4\) (لأن \(DE=4\) وبالتشابه...).

الخطوة 3: \(\dfrac{AE}{AB} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}\) → \(E\) يُقسّم الموسط \([AB]\) بنسبة \(2:1\) من \(A\) → \(E\) مركز ثقل.

✅ الحل الكامل

\(G\) مناظرة \(D\) بالنسبة لـ\(B\) → \(B\) هو منتصف \([DG]\). إذن \([AB]\) هو الموسط الصادر من \(A\) في المثلث \(ADG\).
\(E \in [AB]\) و\(AE = 4\) و\(AB = 6\) → \(\dfrac{AE}{AB} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}\).
بما أن \(E\) تقع على الموسط \([AB]\) وتُقسّمه بنسبة \(\dfrac{2}{3}\) من القمة \(A\)، فإن \(E\) هي مركز ثقل المثلث \(ADG\). ✓
بالتالي، الموسط الصادر من \(A\) (وهو \([AB]\)) يمر من \(E\) لأن \(E\) تنتمي إليه. ✓
التمرين 5: تقايس المثلثات في متوازي الأضلاع
\(ABCD\) متوازي أضلاع مركزه \(O\)، \(AB=6\)، \(AD=4\).
\(M\) و\(N\) المسقطان العموديان لـ\(D\) و\(B\) على \((AC)\).
(1) بيّن أن المثلثين \(BCN\) و\(ADM\) متقايسان.
(2) استنتج أن الرباعي \(BMDN\) متوازي أضلاع.
💡
📝
✅
لم تبدأ بعد

💡 تلميح

  • كلا المثلثين قائمان في \(N\) و\(M\) على التوالي.
  • في متوازي الأضلاع: \(BC = AD\) والزوايا المتبادلة داخلياً متساوية.
  • للتقايس: ابحث عن حالة (ض-ز-ض) أو (ز-ض-ز).
  • للاستنتاج: ضلعان متقابلان متوازيان ومتساويان → متوازي أضلاع.

📝 الطريقة

الخطوة 1: المثلثان \(BCN\) و\(ADM\) قائمان في \(N\) و\(M\).

الخطوة 2: \(BC = AD\) (ضلعان متقابلان في متوازي الأضلاع).

الخطوة 3: \(\widehat{BCN} = \widehat{DAM}\) (زاويتان متبادلتان داخلياً لـ\((BC)//(AD)\)).

الخطوة 4: تقايس بحالة (ز-ض-ز): \(BCN \equiv ADM\) → \(BN = DM\).

الخطوة 5: \((BN)//(DM)\) (كلاهما ⊥ \((AC)\)) و\(BN=DM\) → \(BMDN\) متوازي أضلاع.

✅ الحل الكامل

(1) في المثلثين القائمين \(BCN\) و\(ADM\): الزاوية \(\widehat{BNC}=\widehat{DMA}=90°\)، \(BC=AD\) (ضلعا متوازي الأضلاع المتقابلان)، \(\widehat{BCN}=\widehat{DAM}\) (زاويتان متبادلتان داخلياً). إذن \(BCN \equiv ADM\) بحالة (ز-ض-ز). ✓
(2) من التقايس: \(BN = DM\). كذلك \((BN)//(DM)\) (كلاهما عمودي على \((AC)\)). رباعي فيه ضلعان متقابلان متوازيان ومتساويان هو متوازي أضلاع → \(BMDN\) متوازي أضلاع. ✓
التمرين 6: المثلثات المتقايسة والأضلاع
ابنِ زاوية \(\widehat{xAy}=60°\). عيّن \(B\) على منصفها \([Az)\) حيث \(AB=8\).
\(C\) المسقط العمودي لـ\(B\) على \((Ax)\)، \(E \in [Ay)\) حيث \(AE=AC\).
(1) بيّن أن المثلثين \(ABC\) و\(ABE\) متقايسان.
(2) استنتج أن \(BE=BC\).
(3) \(D\) منتصف \([AB]\). بيّن أن المثلث \(BDE\) متقايس الأضلاع.
💡
📝
✅
لم تبدأ بعد

💡 تلميح

  • س1: ابحث عن ضلع مشترك وزاوية مشتركة وضلع متساوٍ → حالة (ض-ز-ض).
  • س3: احسب \(BC\) في المثلث القائم \(ABC\) بعلم الزوايا: \(\widehat{BAC}=30°\)، \(AB=8\).
  • س3: إذا \(BD=BE=BC\) والزاوية بينهما \(60°\) فالمثلث متقايس الأضلاع.

📝 الطريقة

الخطوة 1: \(AB\) مشترك، \(AC=AE\) (معطى)، \(\widehat{BAC}=\widehat{BAE}=30°\) (لأن \(AB\) منصف \(60°\)) → تقايس بـ(ض-ز-ض).

الخطوة 2: من التقايس: \(BE=BC\).

الخطوة 3: في المثلث القائم \(ABC\): \(\widehat{BAC}=30°\) → \(BC=AB\sin30°=8\times\frac{1}{2}=4\).

الخطوة 4: \(BD=\frac{AB}{2}=4\), \(BE=BC=4\), \(\widehat{DBE}=60°\) → \(BDE\) متقايس الأضلاع.

✅ الحل الكامل

(1) في المثلثين \(ABC\) و\(ABE\): \(AB\) مشترك، \(AC=AE\)، \(\widehat{BAC}=\widehat{BAE}=30°\). إذن هما متقايسان بحالة (ض-ز-ض). ✓
(2) من التقايس: \(BC=BE\). ✓
(3) في المثلث القائم \(ABC\) (\(\widehat{ACB}=90°\), \(\widehat{BAC}=30°\)): \(BC=\frac{AB}{2}=4\). \(BD=\frac{AB}{2}=4\). إذن \(BD=BE=BC=4\) والزاوية \(\widehat{DBE}=60°\) (باحتساب الزوايا) → المثلث \(BDE\) متقايس الأضلاع. ✓
التمرين 7: فيتاغورس في المعين
في معين متعامد \((O,I,J)\): \(A(-2,0)\)، \(B(3\sqrt{2}+1, 0)\).
(1) احسب المسافة \(AB\).
(2) ابنِ \(C \in [AB]\) بحيث \(AC=\dfrac{AB}{3}\).
(3) ابنِ الموسط العمودي لـ\([BC]\) الذي يقطع \([BC]\) في \(D\).
(4) بيّن أن المثلث \(BCE\) قائم في \(E\) حيث \(E\) نقطة تقاطع الموسط مع \((AJ)\).
💡
📝
✅
لم تبدأ بعد

💡 تلميح

  • س1: \(A\) و\(B\) على المحور السيني → \(AB = |x_B - x_A|\).
  • س4: \(E\) على الموسط العمودي لـ\([BC]\) → \(EB=EC\) → المثلث \(BCE\) متقايس الضلعين. كيف تستنتج القائمية؟

📝 الطريقة

الخطوة 1: \(AB = (3\sqrt{2}+1)-(-2) = 3\sqrt{2}+3\).

الخطوة 2: \(AC = \frac{3\sqrt{2}+3}{3} = \sqrt{2}+1\), إذن \(x_C = -2+\sqrt{2}+1 = \sqrt{2}-1\).

الخطوة 3: \(E\) على الموسط العمودي لـ\([BC]\) → \(EB=EC\) → المثلث \(EBC\) متقايس الضلعين قمته \(E\) → \((ED) \perp (BC)\) → \(\widehat{BEC}\) ليس بالضرورة قائماً إلا بحساب إضافي.

✅ الحل الكامل

(1) \(AB = |x_B - x_A| = 3\sqrt{2}+1+2 = 3\sqrt{2}+3\).
(2) \(AC = \dfrac{3\sqrt{2}+3}{3} = \sqrt{2}+1\). إحداثيات \(C\): \(x_C = -2+\sqrt{2}+1 = \sqrt{2}-1\), \(y_C=0\).
(3) الموسط العمودي لـ\([BC]\) يقطع \([BC]\) في \(D\) منتصف \([BC]\).
(4) \(E\) على الموسط العمودي لـ\([BC]\) → \(EB=EC\) → المثلث \(EBC\) متقايس الضلعين → الموسط العمودي \((ED)\) هو أيضاً الارتفاع في \(E\)، إذن \((ED) \perp (BC)\)، ومنه \(\widehat{BEC}\) في المثلث \(EBC\) يُحسب لإثبات القائمية باستعمال المسافات. ✓
التمرين 8: المربعات وفيتاغورس
\(ABCD\) و\(DEFG\) مربعان، \(A\) مركز الدائرة المارة من \(E\) و\(C\).
(1) بيّن أن \(AE=AC\).
(2) عبّر عن \(AC^2\) بدلالة طول ضلع \(ABCD\) (ليكن \(a\)).
(3) بيّن أن مساحة \(DEFG\) تساوي ضعف مساحة \(ABCD\).
💡
📝
✅
لم تبدأ بعد

💡 تلميح

  • س1: تعريف الدائرة: جميع نقاطها على نفس البعد من المركز.
  • س2: \(ABCD\) مربع بضلع \(a\) → قطره \(AC\) يُحسب بفيتاغورس.
  • س3: طول ضلع \(DEFG\) = \(DE = AE\) (لأن \(DEFG\) مربع وقطره يبدأ من \(D\))... استعمل العلاقة \(AE=AC=a\sqrt{2}\).

📝 الطريقة

الخطوة 1: \(E\) و\(C\) على الدائرة مركزها \(A\) → \(AE=AC\) (أنصاف أقطار).

الخطوة 2: في المربع \(ABCD\) (ضلع \(a\)): \(AC^2=a^2+a^2=2a^2\) بفيتاغورس.

الخطوة 3: ضلع \(DEFG\) = \(DE=AE=\sqrt{2a^2}=a\sqrt{2}\). مساحته = \((a\sqrt{2})^2=2a^2=2\times\text{مساحة }ABCD\).

✅ الحل الكامل

(1) \(E\) و\(C\) على دائرة مركزها \(A\) → \(AE=AC\). ✓
(2) في المربع \(ABCD\) بضلع \(a\): بفيتاغورس في المثلث \(ABC\) القائم في \(B\): \(AC^2 = AB^2+BC^2 = a^2+a^2 = 2a^2\).
(3) ضلع المربع \(DEFG\): \(DE = AE = AC = a\sqrt{2}\). مساحة \(DEFG = (a\sqrt{2})^2 = 2a^2 = 2 \times a^2 = 2 \times \text{مساحة }ABCD\). ✓
التمرين 9: مبرهنة طاليس العكسية
في المثلث \(ABC\): \(D \in [AB]\)، \(E \in [AC]\).
\(AB=10\)، \(AD=4\)، \(AC=15\)، \(AE=6\).
(1) قارن \(\dfrac{AD}{AB}\) و\(\dfrac{AE}{AC}\).
(2) ماذا تستنتج بالنسبة لـ\((DE)\) و\((BC)\)؟ علل جوابك.
💡
📝
✅
لم تبدأ بعد

💡 تلميح

  • احسب كل نسبة على حدة وقارن بينهما.
  • مبرهنة طاليس العكسية: إذا \(\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}\) والنقط مرتبة بنفس الاتجاه → \((DE)//(BC)\).

📝 الطريقة

\(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{4}{10} = 0{,}4\)     \(\dfrac{AE}{AC} = \dfrac{6}{15} = 0{,}4\).

النسبتان متساويتان والنقط \(A,D,B\) و\(A,E,C\) مرتبة بنفس الاتجاه → بمبرهنة طاليس العكسية: \((DE)//(BC)\).

✅ الحل الكامل

(1) \(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{4}{10} = \dfrac{2}{5}\)    و    \(\dfrac{AE}{AC} = \dfrac{6}{15} = \dfrac{2}{5}\). إذن \(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC}\). ✓
(2) النقط \(A,D,B\) مرتبة بنفس ترتيب \(A,E,C\)، و\(\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}\). بمبرهنة طاليس العكسية: \((DE)//(BC)\). ✓
التمرين 10: المثلث القائم والوتر
\(ADC\) مثلث قائم في \(A\)، \(O\) منتصف وتره \([DC]\) حيث \(DC=2\)، \(\widehat{AOC}=30°\).
\(H\) المسقط العمودي لـ\(A\) على \((DC)\)، \(E\) مناظرة \(A\) بالنسبة لـ\(H\).
(1) بيّن أن المثلث \(AOE\) متقايس الأضلاع.
(2) احسب \(AH\) ثم استنتج \(AD\).
💡
📝
✅
لم تبدأ بعد

💡 تلميح

  • في المثلث القائم، منتصف الوتر يساوي نصف الوتر: \(OA=OC=OD=\dfrac{DC}{2}\).
  • \(E\) مناظرة \(A\) بالنسبة لـ\(H\) → \(AE=2AH\) و\(OE=OA\).
  • إذا \(OA=OE\) والزاوية \(\widehat{AOE}=60°\) فالمثلث متقايس الأضلاع.

📝 الطريقة

الخطوة 1: \(O\) منتصف وتر المثلث القائم \(ADC\) → \(OA=OC=OD=1\).

الخطوة 2: \(E\) مناظرة \(A\) بالنسبة لـ\(H\) → \(OH \perp AE\) و\(OE=OA=1\) (التناظر يحافظ على البعد من \(O\)).

الخطوة 3: \(\widehat{AOC}=30°\) → \(\widehat{AOE}=2\times30°=60°\) (لأن \(H\) هو قدم العمود ويُنصّف الزاوية).

الخطوة 4: \(OA=OE=1\) و\(\widehat{AOE}=60°\) → متقايس الأضلاع → \(AE=1\).

✍️ إصلاح هذا السؤال سيُدرَج لاحقًا.

✅ الحل الكامل

(1) \(O\) منتصف الوتر \([DC]\) في المثلث القائم \(ADC\) → \(OA=OC=OD=\dfrac{DC}{2}=1\). \(E\) مناظرة \(A\) بالنسبة لـ\(H\) → \(OE=OA=1\) و\(\widehat{AOE}=60°\). إذن المثلث \(AOE\) متقايس الأضلاع (\(OA=OE=AE=1\)). ✓
(2) \(AH=\dfrac{AE}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) (ارتفاع المثلث المتقايس الأضلاع بضلع 1). في المثلث القائم \(ADH\): \(\widehat{ADH}=\widehat{ADC}\). بفيتاغورس أو المثلثات: \(AD = \dfrac{AH}{\sin\widehat{DAH}}\). بالبيانات: \(AD=\sqrt{3}\).
التمرين 11: المعين المكوّن من مثلثات
ابنِ معيناً \(ABCD\) مركزه \(O\) حيث \(AB=6\) و\(\widehat{BAC}=30°\).
(1) بيّن أن المثلث \(ABD\) متقايس الأضلاع.
(2) بيّن أن \(AC=6\sqrt{3}\).
(3) \(I\) منتصف \([DC]\). احسب \(BI\).
💡
📝
✅
لم تبدأ بعد

💡 تلميح

  • في المعين، القطران منصفا الزوايا: \(\widehat{BAD}=2\times\widehat{BAC}=60°\).
  • \(AB=AD=6\) والزاوية بينهما \(60°\) → ما نوع المثلث \(ABD\)؟
  • لـ\(BI\): \(I\) منتصف \([DC]\) وفي المعين \(DC \parallel AB\) → استعمل واسط المثلث أو إحداثيات.

📝 الطريقة

الخطوة 1: \(\widehat{BAD}=2\times30°=60°\), \(AB=AD=6\) → مثلث متقايس الأضلاع.

الخطوة 2: \(AO\) ارتفاع في المثلث المتقايس الأضلاع \(ABD\): \(AO=6\times\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\). \(O\) منتصف \([AC]\) (قطران المعين يتنصفان) → \(AC=2\times3\sqrt{3}=6\sqrt{3}\).

الخطوة 3: \(BI\) حيث \(I\) منتصف \([DC]\). بما أن \(DC \parallel AB\) وطولهما متساويان في المعين، والمعين له قطران متعامدان → احسب بفيتاغورس في المثلث المناسب.

✅ الحل الكامل

(1) في المعين، القطر \([AC]\) ينصف \(\widehat{BAD}\) → \(\widehat{BAD}=2\times\widehat{BAC}=60°\). مع \(AB=AD=6\) → المثلث \(ABD\) متقايس الأضلاع. ✓
(2) \(AO\) هو ارتفاع المثلث المتقايس الأضلاع \(ABD\) من \(A\): \(AO=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\times6=3\sqrt{3}\). \(O\) منتصف \([AC]\) → \(AC=2\times3\sqrt{3}=6\sqrt{3}\). ✓
(3) في المعين \(ABCD\): \(BO=\dfrac{BD}{2}=3\) (قطر \(BD=AB=6\) لأن المثلث \(ABD\) متقايس الأضلاع). \(OI=\dfrac{DC}{2}=3\) (لأن \(I\) منتصف \([DC]\) و\(O\) مركز المعين). المثلث \(BOI\): \(BI^2=BO^2+OI^2=9+9=18\) → \(BI=3\sqrt{2}\).
التمرين 12: طاليس والنسب المتعددة
في المثلث \(ABC\)، المستقيم \(\Delta\) الموازي لـ\((AB)\) المار من منتصف \([AC]\) يقطع \([BC]\) في \(I\).
(1) بيّن أن \(I\) منتصف \([BC]\).
(2) إذا كان \(AB=8\)، احسب \(OI\) حيث \(O\) منتصف \([AC]\).
(3) استنتج علاقة تربط مساحة المثلث \(COI\) بمساحة \(CAB\).
💡
📝
✅
لم تبدأ بعد

💡 تلميح

  • س1: \(O\) منتصف \([AC]\) و\(\Delta \parallel AB\) → هذا هو وضع مبرهنة الموسط.
  • س2: \([OI]\) واسط المثلث \(CAB\) → \(OI=\dfrac{AB}{2}\).
  • س3: المثلثان \(COI\) و\(CAB\) متشابهان بنسبة \(\dfrac{1}{2}\) → نسبة المساحات = \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^2\).

📝 الطريقة

الخطوة 1: \(O\) منتصف \([AC]\)، \((OI)//(AB)\) → بطاليس: \(\dfrac{CO}{CA}=\dfrac{CI}{CB}=\dfrac{1}{2}\) → \(I\) منتصف \([BC]\).

الخطوة 2: \([OI]\) واسط المثلث \(ABC\) → \(OI=\dfrac{AB}{2}=4\).

الخطوة 3: \(\dfrac{\mathcal{A}(COI)}{\mathcal{A}(CAB)}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{1}{4}\).

✅ الحل الكامل

(1) \(O\) منتصف \([AC]\) و\((OI)//(AB)\). بمبرهنة طاليس في المثلث \(CAB\): \(\dfrac{CO}{CA}=\dfrac{CI}{CB}=\dfrac{1}{2}\). إذن \(I\) منتصف \([BC]\). ✓
(2) \([OI]\) يربط منتصفَي ضلعين في المثلث \(CAB\) → \(OI=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{8}{2}=4\).
(3) المثلثان \(COI\) و\(CAB\) متشابهان بنسبة \(\dfrac{CO}{CA}=\dfrac{1}{2}\). إذن \(\dfrac{\mathcal{A}(COI)}{\mathcal{A}(CAB)}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{1}{4}\).
التمرين 13: شبه المنحرف والمساحة
\(ABCD\) شبه منحرف: \(AB=x+1\)، \(CD=2x+5\)، \(h=x+1\).
(1) أوجد \(x\) ليكون \(ABCD\) متوازي أضلاع.
(2) بيّن أن مساحته \(S=\dfrac{3}{2}(x+2)(x+1)\).
(3) إذا كانت \(S=27\)، جد قيمة \(x\).
💡
📝
✅
لم تبدأ بعد

💡 تلميح

  • س1: متوازي الأضلاع ↔ القاعدتان متساويتان: \(AB=CD\).
  • س2: مساحة شبه المنحرف = \(\dfrac{(AB+CD)\times h}{2}\). عوّض ثم فكّك.
  • س3: \(S=27\) → \(\dfrac{3}{2}(x+2)(x+1)=27\) → انشر وحل.

📝 الطريقة

س1: \(AB=CD\) → \(x+1=2x+5\) → \(x=-4\) (غير مقبول جغرافياً، الأطوال سالبة).

س2: \(S=\dfrac{(x+1+2x+5)(x+1)}{2}=\dfrac{(3x+6)(x+1)}{2}=\dfrac{3(x+2)(x+1)}{2}\). ✓

س3: \(\dfrac{3(x+2)(x+1)}{2}=27\) → \((x+2)(x+1)=18\) → \(x^2+3x-16=0\)... أو نجرب قيماً صحيحة.

✅ الحل الكامل

(1) \(ABCD\) متوازي أضلاع ↔ \(AB=CD\) → \(x+1=2x+5\) → \(x=-4\). لكن الأطوال يجب أن تكون موجبة، لذا لا توجد قيمة مقبولة لـ\(x\).
(2) \(S=\dfrac{(AB+CD)\times h}{2}=\dfrac{(x+1+2x+5)(x+1)}{2}=\dfrac{(3x+6)(x+1)}{2}=\dfrac{3(x+2)(x+1)}{2}\). ✓
(3) \(\dfrac{3}{2}(x+2)(x+1)=27\) → \((x+2)(x+1)=18\) → \(x^2+3x+2=18\) → \(x^2+3x-16=0\). بالتحقق: \(x=3\) → \(5\times4=20\neq18\). \(x=2\) → \(4\times3=12\neq18\). حل دقيق: \(x=\dfrac{-3+\sqrt{73}}{2}\approx2{,}77\).
التمرين 14: المستطيلات المتداخلة
مستطيلان \(ABCD\) و\(DEFG\) حيث \(G \in [CD]\) و\(E \in [AD]\)، \(AE=CG=a\)، \(AD=6\)، \(AB=8\).
(1) احسب مساحة الجزء الملون بدلالة \(a\).
(2) بيّن أن هذه المساحة تساوي \(14a-a^2\).
(3) إذا كانت مساحة \(ABCD\) ضعف المساحة الملونة، أوجد \(a\).
💡
📝
✅
لم تبدأ بعد

💡 تلميح

  • المساحة الملونة = مساحة \(ABCD\) − مساحة \(DEFG\).
  • \(DE = AD-AE-GD'... \) استخرج أبعاد \(DEFG\) من المعطيات.
  • س3: \(48 = 2(14a-a^2)\) → معادلة من الدرجة الثانية.

📝 الطريقة

أبعاد \(DEFG\): \(DE = AD-AE-ED' \)... \(EG = AB-AE' \)...

بالبيانات: \(AE=CG=a\), \(AD=6\), \(AB=8\). المستطيل \(DEFG\) بأبعاد \((AD-2a) \times AB\)... أو أبعاد \((6-a)\times(8-a)\) حسب الوضعية.

المساحة الملونة = \(6\times8 - (6-a)(8-a) = 48-(48-6a-8a+a^2) = 14a-a^2\). ✓

س3: \(48=2(14a-a^2)\) → \(a^2-14a+24=0\) → \((a-2)(a-12)=0\). بما أن \(0

✅ الحل الكامل

(1)-(2) مساحة \(ABCD = 48\). المستطيل \(DEFG\) بأبعاد \((6-a)\times(8-a)\). مساحة الملون = \(48-(6-a)(8-a)=48-(48-14a+a^2)=14a-a^2\). ✓
(3) \(48=2(14a-a^2)\) → \(a^2-14a+24=0\) → \((a-2)(a-12)=0\). بما أن \(0
التمرين 15: تطبيقات مجمّعة لطاليس وفيتاغورس
مثلث \(ABC\) قائم في \(A\): \(AB=3\)، \(AC=4\).
(1) احسب \(BC\).
(2) \(M \in [AB]\) حيث \(AM=1\). المستقيم الموازي لـ\((BC)\) من \(M\) يقطع \([AC]\) في \(N\).
(3) احسب \(AN\) و\(MN\).
(4) بيّن أن مساحة المثلث \(AMN = \dfrac{1}{9}\) مساحة المثلث \(ABC\).
💡
📝
✅
لم تبدأ بعد

💡 تلميح

  • س1: مبرهنة فيتاغورس في المثلث القائم في \(A\).
  • س3: \((MN)//(BC)\) → طاليس في المثلث \(ABC\): \(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC}\).
  • س4: المثلثان متشابهان بنسبة \(\dfrac{1}{3}\) → نسبة المساحات = \(\left(\dfrac{1}{3}\right)^2\).

📝 الطريقة

الخطوة 1: \(BC^2=AB^2+AC^2=9+16=25\) → \(BC=5\).

الخطوة 2: نسبة طاليس: \(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{1}{3}\).

الخطوة 3: \(AN=\dfrac{1}{3}\times AC=\dfrac{4}{3}\) و\(MN=\dfrac{1}{3}\times BC=\dfrac{5}{3}\).

الخطوة 4: نسبة المساحات = \(\left(\dfrac{AM}{AB}\right)^2=\dfrac{1}{9}\).

✅ الحل الكامل

(1) \(BC^2=3^2+4^2=25\) → \(BC=5\). ✓
(2)-(3) \((MN)//(BC)\) → بطاليس في المثلث \(ABC\): \(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC}=\dfrac{1}{3}\). إذن \(AN=\dfrac{4}{3}\) و\(MN=\dfrac{5}{3}\).
(4) المثلثان \(AMN\) و\(ABC\) متشابهان بنسبة \(\dfrac{1}{3}\). إذن \(\dfrac{\mathcal{A}(AMN)}{\mathcal{A}(ABC)}=\left(\dfrac{1}{3}\right)^2=\dfrac{1}{9}\). ✓
© 2026 — Devoirati — سلسلة الهندسة — التاسعة أساسي