ABC مثلث متساوي الساقين رأسه A، حيث \(AB = AC = 13 \text{ cm}\). طول القاعدة [BC] يساوي \(10 \text{ cm}\). ليكن H المسقط العمودي للنقطة A على المستقيم (BC).
في المثلث متساوي الساقين، الارتفاع الصادر من الرأس الأساسي هو أيضًا متوسط ومحور ومنصف زاوية. ما الذي يمكنك استنتاجه عن النقطة H بالنسبة للقاعدة [BC]؟
1. استنتاج موقع H: بما أن المثلث ABC متساوي الساقين في A والارتفاع (AH) عمودي على (BC)، فإن H هي منتصف القاعدة [BC].
2. حساب BH: \(BH = \frac{BC}{2}\).
3. تطبيق بيتاغور: المثلث AHB قائم في H. طبق نظرية بيتاغور لإيجاد AH.
4. حساب المساحة: استخدم الصيغة \(\text{المساحة} = \frac{\text{القاعدة} \times \text{الارتفاع}}{2}\).
بما أن المثلث ABC متساوي الساقين في A، فإن الارتفاع [AH] هو أيضاً متوسط متعلق بالقاعدة [BC]. إذن، H هي منتصف [BC].
1. حساب طول الارتفاع AH:
المثلث AHB قائم الزاوية في H. حسب مبرهنة بيتاغور:
2. استنتاج مساحة المثلث ABC:
لدينا مثلث EFG حيث: \(EF = 8 \text{ cm}\), \(FG = 15 \text{ cm}\), و \(EG = 17 \text{ cm}\). هل المثلث EFG قائم الزاوية؟ إذا كان كذلك، حدد الزاوية القائمة.
لتطبيق مبرهنة بيتاغور العكسية، قارن بين مربع أطول ضلع ومجموع مربعي الضلعين الآخرين.
1. تحديد أطول ضلع: هو [EG] لأنه أطول (17 cm).
2. حساب مربع أطول ضلع: \(EG^2\).
3. حساب مجموع مربعي الضلعين الآخرين: \(EF^2 + FG^2\).
4. المقارنة والاستنتاج: إذا كان \(EG^2 = EF^2 + FG^2\)، فالمثلث قائم في الرأس المقابل للوتر [EG]، أي في F.
نطبق مبرهنة بيتاغور العكسية.
أطول ضلع هو [EG]. نحسب مربعه:
نحسب مجموع مربعي الضلعين الآخرين:
بما أننا وجدنا أن \(EG^2 = EF^2 + FG^2\)، فإنه حسب مبرهنة بيتاغور العكسية، المثلث EFG قائم الزاوية في F.
سلم طوله 5 أمتار يستند على حائط عمودي. تبتعد قاعدة السلم عن قاعدة الحائط مسافة 3 أمتار. ما هو الارتفاع الذي يصل إليه أعلى السلم على الحائط؟
السلم، الحائط، والأرض يشكلون مثلثًا قائم الزاوية. السلم هو الوتر.
1. تحديد أضلاع المثلث:
2. تطبيق بيتاغور: \(5^2 = 3^2 + h^2\).
3. حل المعادلة لإيجاد h.
ليكن h هو الارتفاع الذي يصل إليه السلم. حسب مبرهنة بيتاغور:
ABCD معين، أقطاره [AC] و [BD] يتقاطعان في النقطة O. لدينا: \(AC = 12 \text{ cm}\) و \(BD = 16 \text{ cm}\).
تذكر خصائص أقطار المعين: هي متعامدة وتنصف بعضها البعض. هذا يخلق أربعة مثلثات قائمة متطابقة.
1. استخدام خصائص الأقطار: بما أن الأقطار تنصف بعضها، احسب طولي AO و BO.
2. تحديد المثلث القائم: المثلث AOB قائم في O لأن أقطار المعين متعامدة.
3. تطبيق بيتاغور: في المثلث AOB، طبق المبرهنة لإيجاد طول الوتر [AB].
4. حساب المحيط: جميع أضلاع المعين متساوية، اضرب طول الضلع في 4.
أقطار المعين متعامدة وتنصف بعضها البعض، إذن المثلث AOB قائم الزاوية في O.
نحسب طولي نصفي القطرين:
1. حساب طول الضلع AB:
في المثلث AOB القائم في O، حسب مبرهنة بيتاغور:
2. حساب المحيط:
محيط المعين = \(4 \times \text{طول الضلع}\)
دائرة مركزها O وشعاعها 10 cm. [AB] وتر في هذه الدائرة طوله 16 cm. احسب المسافة بين مركز الدائرة O والوتر [AB].
المسافة من المركز إلى الوتر هي طول العمودي من المركز على الوتر. هذا العمودي ينصف الوتر. ارسم هذا الشكل وستحصل على مثلث قائم.
1. الإنشاء: لتكن M منتصف الوتر [AB]. المسافة المطلوبة هي الطول OM. المستقيم (OM) عمودي على (AB).
2. تحديد المثلث القائم: المثلث OMA قائم في M.
3. تحديد أطوال الأضلاع المعلومة: الوتر [OA] هو نصف القطر. الضلع [AM] هو نصف الوتر.
4. تطبيق بيتاغور: \(OA^2 = OM^2 + AM^2\). حل لإيجاد OM.
لتكن M منتصف الوتر [AB]. المستقيم المار من مركز الدائرة ومنتصف الوتر يكون عمودياً على هذا الوتر. إذن، المثلث OMA قائم الزاوية في M.
لدينا:
في المثلث OMA القائم في M، حسب مبرهنة بيتاغور:
المسافة بين المركز O والوتر [AB] هي 6 cm.
متوازي مستطيلات ABCDEFGH. لدينا: \(AB = 12 \text{ cm}\), \(BC = 9 \text{ cm}\), و \(AE = 8 \text{ cm}\). احسب الطول AC (قطر القاعدة)، ثم احسب الطول AG (القطر الداخلي).
حل المشكلة يتطلب تطبيق نظرية بيتاغور مرتين متتاليتين في مثلثين قائمين مختلفين.
1. حساب AC: القاعدة ABCD مستطيل. طبق بيتاغور على المثلث ABC القائم في B.
2. حساب AG: المثلث ACG قائم في C (لأن الحرف [CG] عمودي على مستوى القاعدة). طبق بيتاغور على هذا المثلث باستخدام قيمة AC المحسوبة سابقاً.
1. حساب طول قطر القاعدة AC:
القاعدة ABCD هي مستطيل، إذن المثلث ABC قائم في B. حسب بيتاغور:
2. حساب طول القطر الداخلي AG:
الحرف [CG] عمودي على مستوى القاعدة ABCD، إذن هو عمودي على كل مستقيمات هذا المستوى، بما في ذلك (AC). وبالتالي المثلث ACG قائم في C. (علماً أن \(CG = AE = 8 \text{ cm}\)). حسب بيتاغور:
ABCD شبه منحرف متساوي الساقين، قاعدتاه [AB] و [CD]، حيث \(AB=25\), \(CD=15\) و \(AD=BC=13\). احسب ارتفاع شبه المنحرف.
ارسم المسقطين العموديين لـ D و C على القاعدة الكبرى [AB]. هذا سيشكل مستطيلاً ومثلثين قائمين متطابقين.
1. الإنشاء: ارسم المسقط العمودي H لـ D على (AB) والمسقط العمودي K لـ C على (AB).
2. خصائص الشكل: الرباعي HKCD مستطيل، إذن \(HK=CD\). المثلثان ADH و BCK قائمان ومتطابقان.
3. حساب AH: \(AH = \frac{AB - HK}{2}\).
4. تطبيق بيتاغور: في المثلث القائم ADH، احسب الارتفاع DH.
نرسم المسقطين العموديين H و K للنقطتين D و C على [AB] على التوالي. الرباعي HKCD مستطيل، إذن \(HK = CD = 15\).
بما أن شبه المنحرف متساوي الساقين، فإن \(AH = KB\). لدينا:
الارتفاع هو DH. المثلث ADH قائم الزاوية في H. حسب مبرهنة بيتاغور:
إذن، الارتفاع \(DH = \sqrt{144} = 12\).
ABC مثلث حيث \(AB = 7\), \(BC = 9\), و \(AC = 11\). هل هذا المثلث قائم الزاوية؟ علل جوابك.
قارن بين مربع أطول ضلع ومجموع مربعي الضلعين الآخرين.
1. تحديد أطول ضلع: هو [AC] (11).
2. حساب مربع أطول ضلع: \(AC^2\).
3. حساب مجموع مربعي الضلعين الآخرين: \(AB^2 + BC^2\).
4. المقارنة واتخاذ القرار.
أطول ضلع هو [AC]. نحسب مربعه:
نحسب مجموع مربعي الضلعين الآخرين:
بما أن \(AC^2 \neq AB^2 + BC^2\) (لأن \(121 \neq 130\))، فإن المثلث ABC ليس قائم الزاوية حسب مبرهنة بيتاغور العكسية.
IJK مثلث قائم الزاوية ومتساوي الساقين في I. طول وتره [JK] يساوي 10 cm. احسب طول الضلع IJ (أعطِ قيمة مقربة إلى 0.1).
في مثلث قائم ومتساوي الساقين، الضلعان القائمان متساويان. اكتب معادلة بيتاغور باستخدام هذه المعلومة.
1. كتابة معطيات المعادلة: لدينا \(IJ = IK\).
2. تطبيق بيتاغور: \(JK^2 = IJ^2 + IK^2\).
3. التبسيط: عوض IK بـ IJ في المعادلة لتصبح: \(JK^2 = 2 \times IJ^2\).
4. حل المعادلة لإيجاد IJ.
بما أن المثلث IJK قائم ومتساوي الساقين في I، فإن \(IJ = IK\).
حسب مبرهنة بيتاغور:
نعوض IK بـ IJ:
نعوض بقيمة JK:
في الشكل، (AB) عمودي على (BC) و (DC) عمودي على (BC). لدينا: \(AB = 6\), \(BC = 15\), و \(CD = 8\). احسب المسافة AD.
لا يمكنك تطبيق بيتاغور مباشرة لحساب AD. حاول إنشاء مثلث قائم يكون [AD] وترًا له. يمكنك فعل ذلك برسم مستقيم مساعد.
1. الإنشاء: ارسم المستقيم المار من A والموازي لـ (BC). ليكن E نقطة تقاطعه مع امتداد [DC].
2. خصائص الشكل: الرباعي ABCE مستطيل. استنتج طولي AE و CE.
3. تحديد المثلث القائم: المثلث ADE قائم في E.
4. تطبيق بيتاغور: في المثلث ADE، احسب طول الوتر [AD].
نرسم المسقط العمودي H للنقطة D على المستقيم (AB). (أو نرسم المستقيم المار من A والموازي لـ BC).
لتكن H المسقط العمودي لـ D على (AB). الرباعي HBCD هو مستطيل. إذن \(HB = DC = 8\) و \(DH = BC = 15\).
بما أن A, B, H على استقامة واحدة، فإن \(AH = HB - AB = 8 - 6 = 2\).
المثلث ADH قائم الزاوية في H. حسب مبرهنة بيتاغور: