تمارين متقدمة حول نظرية بيتاغور

دفواراتي
إيجاد أضلاع مثلث قائم
تمرين 1

في المثلث القائم ABC في A، لدينا: \(AB + AC = 17\text{cm}\) و \(BC = 13\text{cm}\). أحسب طولي الضلعين AB و AC.

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

لديك علاقة الجمع بين الضلعين. حاول إيجاد علاقة جداء الضلعين. استخدم المتطابقة الهامة \((a+b)^2 = a^2+b^2+2ab\) ونظرية بيتاغور.

📝 الطريقة

  1. اكتب معادلة بيتاغور: \(AB^2 + AC^2 = BC^2\).
  2. استخدم المتطابقة الهامة: \((AB + AC)^2 = AB^2 + AC^2 + 2(AB \times AC)\).
  3. عوض بالقيم المعلومة (\(AB+AC=17\) و \(BC=13\)) في المعادلتين لإيجاد قيمة الجداء \(AB \times AC\).
  4. أصبح لديك مجموع وجداء عددين (AB و AC). هما حلول المعادلة التربيعية: \(x^2 - Sx + P = 0\) حيث S هو المجموع و P هو الجداء.
  5. حل المعادلة لإيجاد قيمتي AB و AC.

✅ الحل الكامل

1. من نظرية بيتاغور:

\[AB^2 + AC^2 = BC^2 = 13^2 = 169\]

2. استخدام المتطابقة الهامة:

لدينا \(AB + AC = 17\). بتربيع الطرفين:

\[(AB + AC)^2 = 17^2 = 289\]
\[AB^2 + AC^2 + 2(AB \times AC) = 289\]

3. إيجاد جداء الضلعين:

نعوض بقيمة \(AB^2 + AC^2\) من الخطوة 1:

\[169 + 2(AB \times AC) = 289\]
\[2(AB \times AC) = 289 - 169 = 120\]
\[AB \times AC = 60\]

4. حل المعادلة:

بحل المعادلة (أو بالبحث الذهني)، نجد أن الحلين هما 5 و 12.

إذن، أطوال الضلعين هما 5 cm و 12 cm.

بيتاغور في شبه المنحرف القائم
تمرين 2

في شبه المنحرف القائم ABCD حيث (AB) ∥ (CD)، الزاويتان في A و D قائمتان. لدينا \(AB = 10\text{cm}\)، \(CD = 4\text{cm}\)، و \(AD = 5\text{cm}\). أحسب طول القطر BD وطول الضلع المائل BC.

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

لحساب BD: لاحظ أن المثلث ABD قائم. يمكنك تطبيق بيتاغور مباشرة.

لحساب BC: أنشئ مثلثًا قائمًا وتره [BC] عن طريق إسقاط النقطة C عموديًا على [AB].

📝 الطريقة

  1. حساب BD: في المثلث ABD القائم في A، طبق بيتاغور: \(BD^2 = AB^2 + AD^2\).
  2. حساب BC:
    • ارسم المسقط العمودي H للنقطة C على [AB].
    • الرباعي AHCD مستطيل. استنتج طولي AH و CH.
    • احسب طول HB.
    • في المثلث BHC القائم في H، طبق بيتاغور: \(BC^2 = CH^2 + HB^2\).

✅ الحل الكامل

1. حساب طول القطر BD:

المثلث ABD قائم الزاوية في A. حسب نظرية بيتاغور:

\[BD^2 = AB^2 + AD^2 = 10^2 + 5^2 = 100 + 25 = 125\]
\[BD = \sqrt{125} = \sqrt{25 \times 5} = 5\sqrt{5} \text{ cm}\]

2. حساب طول الضلع BC:

نرسم المسقط العمودي H للنقطة C على [AB]. بما أن شبه المنحرف قائم في A و D، فإن الرباعي AHCD مستطيل.

إذن: \(CH = AD = 5\text{cm}\) و \(AH = CD = 4\text{cm}\).

طول القطعة [HB] هو:

\[HB = AB - AH = 10 - 4 = 6 \text{ cm}\]

الآن، المثلث BHC قائم الزاوية في H. حسب نظرية بيتاغور:

\[BC^2 = CH^2 + HB^2 = 5^2 + 6^2 = 25 + 36 = 61\]
\[BC = \sqrt{61} \text{ cm}\]
الارتفاع والدائرة المحيطة
تمرين 3

في المثلث ABC القائم في A، إذا كان الارتفاع \(AH = 12\text{cm}\) ونصف قطر الدائرة المحيطة به هو 15cm، أحسب محيط المثلث ABC.

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

ما هي العلاقة بين نصف قطر الدائرة المحيطة بمثلث قائم ووتره؟ استخدم هذه العلاقة لإيجاد BC. ثم استخدم العلاقتين المتريتين في المثلث القائم: علاقة بيتاغور وعلاقة المساحة (\(AH \times BC = AB \times AC\)).

📝 الطريقة

  1. إيجاد طول الوتر BC: في مثلث قائم، الوتر هو قطر الدائرة المحيطة. \(BC = 2 \times \text{نصف القطر}\).
  2. إيجاد جداء الضلعين AB.AC: استخدم علاقة المساحة: \(\text{Area} = \frac{AH \times BC}{2} = \frac{AB \times AC}{2}\).
  3. إيجاد مجموع الضلعين AB+AC: استخدم المتطابقة الهامة \((AB + AC)^2 = AB^2 + AC^2 + 2(AB \times AC)\) وعوض بـ \(AB^2+AC^2=BC^2\).
  4. حساب المحيط: المحيط = (AB + AC) + BC.

✅ الحل الكامل

1. حساب طول الوتر BC:

مركز الدائرة المحيطة بالمثلث القائم هو منتصف الوتر، وقطرها هو الوتر نفسه. إذن:

\[BC = 2 \times \text{نصف القطر} = 2 \times 15 = 30 \text{ cm}\]

2. إيجاد جداء الضلعين AB و AC:

العلاقة المترية بين الارتفاع والأضلاع في مثلث قائم هي \(AH \times BC = AB \times AC\).

\[AB \times AC = 12 \times 30 = 360\]

3. إيجاد مجموع الضلعين AB و AC:

لدينا \(AB^2 + AC^2 = BC^2 = 30^2 = 900\) (مبرهنة بيتاغور).

نستخدم المتطابقة الهامة:

\[(AB + AC)^2 = (AB^2 + AC^2) + 2(AB \times AC)\]
\[(AB + AC)^2 = 900 + 2(360) = 900 + 720 = 1620\]
\[AB + AC = \sqrt{1620} = \sqrt{324 \times 5} = 18\sqrt{5} \text{ cm}\]

4. حساب المحيط:

\[\text{المحيط} = (AB + AC) + BC = 18\sqrt{5} + 30 \text{ cm}\]

محيط المثلث ABC هو \((30 + 18\sqrt{5})\) cm (حوالي 70.25 cm).

قانون متوازي الأضلاع
تمرين 5

في متوازي الأضلاع ABCD، إذا كان \(AB = 15\text{cm}\)، \(AD = 10\text{cm}\)، والقطر \(BD = 17\text{cm}\)، أحسب طول القطر AC.

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

استخدم قانون متوازي الأضلاع (أو نظرية أبولونيوس) التي تربط بين أطوال الأضلاع وأطوال القطرين: مجموع مربعي القطرين يساوي مجموع مربعي الأضلاع الأربعة.

📝 الطريقة

1. كتابة القانون: \(AC^2 + BD^2 = AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2\).

2. تبسيط القانون: بما أن الأضلاع المتقابلة متساوية، يمكن تبسيط القانون إلى: \(AC^2 + BD^2 = 2(AB^2 + AD^2)\).

3. التعويض بالقيم: عوض بالقيم المعلومة لـ AB, AD, و BD.

4. حل المعادلة: حل المعادلة لإيجاد قيمة \(AC^2\) ثم احسب AC.

✅ الحل الكامل

حسب قانون متوازي الأضلاع، مجموع مربعي القطرين يساوي ضعف مجموع مربعي ضلعين متجاورين:

\[AC^2 + BD^2 = 2(AB^2 + AD^2)\]

نعوض بالقيم المعطاة:

\[AC^2 + 17^2 = 2(15^2 + 10^2)\]
\[AC^2 + 289 = 2(225 + 100)\]
\[AC^2 + 289 = 2(325)\]
\[AC^2 + 289 = 650\]

ننقل 289 إلى الطرف الآخر:

\[AC^2 = 650 - 289 = 361\]

نأخذ الجذر التربيعي:

\[AC = \sqrt{361} = 19 \text{ cm}\]