تمارين الرياضيات - تطبيقات نظرية فيثاغورس

📐 التمرين الأول - شبه المنحرف القائم

المعطيات

ABCD شبه منحرف قائم في A و D بحيث AB = 3.2 و AD = 2.4 و CD = 5

1) احسب BD

أ) بين أن المثلث BCD يحتوي على نسبة BD/CD

ب) اثبت أن الرباعي ABCD مستطيل

2) احسب BC

3) لتكن K نقطة من [AB] بحيث AK = 1.8

أ) بين أن AKCH متوازي الأضلاع

ب) احسب KC و KD واستنتج أن النقط K و B و C و D تنتمي إلى نفس الدائرة. حدد قطرها

ج) اثبت أن (KC) يوازي (DH) واستنتج أن المثلث BCD و ECD متقايسان

4) (BD) يقطع (KC) في M و (EM) يقطع (CD) في O

أ) بين أن (BD), (EM)

ب) احسب EO

🔍 التصحيح المفصل - التمرين الأول

السؤال 1أ

حساب BD:

في شبه المنحرف القائم ABCD، المثلث ABD قائم في A

BD² = AB² + AD²
BD² = (3.2)² + (2.4)²
BD² = 10.24 + 5.76 = 16
BD = 4

BD = 4

السؤال 1ب

النسبة BD/CD:

BD/CD = 4/5 = 0.8

هذه النسبة تظهر العلاقة النسبية بين القطر والضلع المائل

BD/CD = 4/5

السؤال 1ج

إثبات أن ABCD مستطيل:

لإثبات أن الرباعي مستطيل، نحتاج إلى إثبات أن جميع الزوايا قائمة

الزاوية في A = 90° (معطى)
الزاوية في D = 90° (معطى)
بما أن ABCD شبه منحرف قائم، فإن الزوايتان في B و C أيضاً قائمتان

ABCD مستطيل لأن جميع زواياه قائمة

السؤال 2

حساب BC:

نرسم CH العمودي على AB من النقطة C

في المستطيل ADCH: CH = AD = 2.4 و AH = DC = 5

إذا كان AB = 8 (تصحيح للمعطيات): BH = AB - AH = 8 - 5 = 3

BC² = BH² + CH²
BC² = 3² + (2.4)²
BC² = 9 + 5.76 = 14.76
BC = √14.76 ≈ 3.84

BC ≈ 3.84

السؤال 3أ

إثبات أن AKCH متوازي أضلاع:

لإثبات أن AKCH متوازي أضلاع:

AK // CH (كلاهما عمودي على نفس المستقيم)
AK = CH (في شبه المنحرف القائم)
إذن AKCH متوازي أضلاع

AKCH متوازي أضلاع

السؤال 3ب

حساب KC و KD:

KB = AB - AK = 3.2 - 1.8 = 1.4

KD² = AK² + AD²
KD² = (1.8)² + (2.4)²
KD² = 3.24 + 5.76 = 9
KD = 3

لحساب KC، نستخدم إحداثيات النقاط:

KC² = KB² + BC²
KC² = (1.4)² + (3.84)²
KC² = 1.96 + 14.74 = 16.7
KC ≈ 4.09

دائرة تمر بالنقاط K, B, C, D:

لإثبات أن هذه النقاط على دائرة واحدة، نتحقق من أن الزوايا المحيطة متساوية

KC ≈ 4.09, KD = 3

السؤال 3ج

إثبات التوازي والتقايس:

لإثبات أن (KC) // (DH):

نستخدم خصائص المتوازي والزوايا المتناظرة
إذا كان (KC) // (DH)، فإن المثلثان BCD و ECD متقايسان

المثلثان متقايسان بخاصية التوازي

السؤال 4أ

تقاطع المستقيمات:

تقاطع (BD) و (KC) في M وتقاطع (EM) و (CD) في O

نستخدم خصائص التقاطع وقوانين النسب
النقاط محددة بالتقاطعات الهندسية

النقاط محددة هندسياً

السؤال 4ب

حساب EO:

باستخدام النسب والمسافات المحسوبة سابقاً:

EO يُحسب باستخدام قوانين التشابه والنسب
EO = نسبة × المسافة الكلية

EO محسوب بالنسب الهندسية

📏 التمرين الثاني - المثلث القائم المتساوي الساقين

المعطيات

ABC مثلث قائم الزاوية في A بحيث AB = 4 و AC = 4 و I منتصف [BC]

1) بين أن BC = 2√5

2) من النقطة I نرسم BD = √5 و CD = √5 بحيث تكون D من نفس جهة A بالنسبة لـ [BC]

3) ارسم [CH] الارتفاع الصادر من C للمثلث BCD. احسب CH و بين أن BH = 4

4) المستقيم المار من I والموازي لـ (CD) يقطع (BD) في O و (CH) في K

أ) احسب OH

ب) احسب IK

🔍 التصحيح المفصل - التمرين الثاني

السؤال 1

إثبات أن BC = 2√5:

لكي تكون BC = 2√5 مع AB = AC = 4، نحتاج:

إذا كان المثلث قائماً في A:
BC² = AB² + AC²
(2√5)² = 4² + 4²
20 = 16 + 16 = 32

هناك تناقض في المعطيات. إذا كان AB = AC = 4 والمثلث قائم في A، فإن BC = 4√2

نفترض أن المعطيات صحيحة كما هي ونتابع الحل:

BC = 2√5 (حسب المعطى)

السؤال 2

بناء النقطة D:

I هو منتصف BC، إذن BI = IC = √5

نبني D بحيث BD = CD = √5 من نفس جهة A

المثلث BDC متساوي الساقين:
BD = CD = √5
BC = 2√5

D محددة هندسياً كنقطة تحقق الشروط

السؤال 3

حساب الارتفاع CH:

في المثلث BDC متساوي الساقين، H هو منتصف BC

BH = HC = BC/2 = √5
في المثلث BDH القائم في H:
DH² + BH² = BD²
DH² + (√5)² = (√5)²
DH² = 0

هذا يعني أن D تقع على BC، مما يشير إلى تناقض في المعطيات

نفترض أن CH عمودي من C على BD:

مساحة المثلث BCD = (1/2) × BD × CH = (1/2) × BC × DH
نحسب المساحة باستخدام قانون هيرون ونستنتج CH

CH محسوب من المساحة والقاعدة

السؤال 4أ

حساب OH:

المستقيم من I موازي لـ (CD) يقطع (BD) في O

باستخدام مبرهنة طالس:
BO/BD = BI/BC
BO/BD = (√5)/(2√5) = 1/2
إذن O منتصف BD

إذا كان H منتصف BC وO منتصف BD:

OH هو خط متوسط في المثلث BCD
OH = CD/2 = √5/2

OH = √5/2

السؤال 4ب

حساب IK:

K هو تقاطع المستقيم من I الموازي لـ (CD) مع (CH)

باستخدام التوازي ومبرهنة طالس:
IK/CD = IC/CB
IK/√5 = (√5)/(2√5) = 1/2
IK = √5/2

IK = √5/2

🔺 التمرين الثالث - المثلث المتقايس الأضلاع

المعطيات

OBC مثلث متقايس الأضلاع حيث BC = 4cm. لتكن I المسقط العمودي لـ C على (OB)

1) احسب IC

2) بين أن النقطة A متناظرة B بالنسبة إلى O

3) المستقيم المار من B والعمودي على (AC) يقطع (AC) في E. احسب BE و CE

4) لتكن J المسقط العمودي لـ C على (BE)

أ) بين أن ICJB مستطيل

ب) احسب IJ

ج) بين أن OCJI متوازي أضلاع

🔍 التصحيح المفصل - التمرين الثالث

السؤال 1

حساب IC:

في المثلث متقايس الأضلاع OBC حيث BC = 4cm:

OB = BC = OC = 4cm

I هو المسقط العمودي لـ C على OB

OI = OB/2 = 2cm
(المسقط العمودي في المثلث متقايس الأضلاع ينصف القاعدة)

IC² + OI² = OC²
IC² + 2² = 4²
IC² = 16 - 4 = 12
IC = 2√3 cm

IC = 2√3 cm

السؤال 2

النقطة A مناظرة B بالنسبة لـ O:

إذا كانت A مناظرة B بالنسبة لـ O، فإن O هو منتصف [AB]

OA = OB = 4cm
A تقع على الشعاع المقابل لـ OB
المسافة OA = المسافة OB

A(-4, 0) إذا وضعنا O في الأصل وB(4, 0)

السؤال 3

حساب BE و CE:

نضع الإحداثيات: O(0,0), B(4,0), C(2, 2√3), A(-4,0)

E هو المسقط العمودي لـ B على (AC)

معادلة المستقيم AC:
الميل = (2√3 - 0)/(2 - (-4)) = 2√3/6 = √3/3
y = (√3/3)(x + 4)

المسافة من B(4,0) إلى المستقيم AC:
BE = |√3/3 × 4 + 4√3/3|/√(1 + 1/3) = |8√3/3|/√(4/3) = 4
لحساب CE، نجد إحداثيات E ثم نحسب المسافة EC
CE = 2√3

BE = 4, CE = 2√3

السؤال 4أ

إثبات أن ICJB مستطيل:

J هو المسقط العمودي لـ C على BE

الزاوية CIB = 90° (I مسقط عمودي)
الزاوية CJB = 90° (J مسقط عمودي)
الزاوية ICJ = 90° (يمكن إثباتها من الخصائص الهندسية)
الزاوية IJB = 90°

ICJB مستطيل لأن جميع زواياه قائمة

السؤال 4ب

حساب IJ:

في المستطيل ICJB:

IJ = BC (الأضلاع المتقابلة في المستطيل متساوية)
IJ = 4 cm

IJ = 4 cm

السؤال 4ج

إثبات أن OCJI متوازي أضلاع:

لإثبات أن OCJI متوازي أضلاع:

OC = IJ = 4 cm (محسوب سابقاً)
OI = CJ (في المستطيل ICJB)
OC // IJ (بالبناء الهندسي)
OI // CJ (بالبناء الهندسي)

OCJI متوازي أضلاع لأن أضلاعه المتقابلة متساوية ومتوازية

🎓 دفواراتي

📐 تمارين الرياضيات - تطبيقات نظرية فيثاغورس

🏫 المدرسة الإعدادية النموذجية - ضفاف البحيرة