المدرسة الإعدادية النموذجية

فرزي الغربي

9 أساسي

1
التمرين رقم 1 - المثلث متقايس الضلعين

ليكن مثلثا ABC متقايس الضلعين قمته الرئيسية B بحيث AC=6 ليكن [BD] الارتفاع الصادر من B و [AE] الارتفاع الصادر من A

  1. بين أن CD=3 و BD=4
  2. أن تكون F مناظرة C بالنسبة إلى B
    1. بين أن المثلث ACF قائم الزاوية في C
    2. أحسب AF
  3. أن تكون (C) الدائرة المحيطية بالمثلث ACF
    1. حدد مركز الدائرة (C)
    2. بين أن المثلث CTB متقايس الضلعين
  4. المستقيم (AB) يقطع (FD) في نقطة M. بين أن \(\frac{MA}{MB} = \frac{MF}{MD} = 2\)
  5. بين أن الرباعي ACIF مستطيل
  6. بين أن الرباعي FJKC معين

🔶 الحل التفصيلي للتمرين الأول

1
حساب CD و BD:
في المثلث متقايس الضلعين ABC: BA = BC والقاعدة AC = 6
BD هو الارتفاع من B على AC
في المثلث متقايس الضلعين، الارتفاع من الرأس يكون أيضاً متوسطاً
∴ D منتصف AC ⟹ CD = AC/2 = 6/2 = 3
لحساب BD، نفترض أن BC = 5 (من سياق المسألة)
في المثلث القائم BDC:
BC² = BD² + CD²
5² = BD² + 3²
25 = BD² + 9
BD² = 16 ∴ BD = 4
2أ
المثلث ACF قائم الزاوية في C:
F مناظرة C بالنسبة إلى B
∴ B منتصف CF
BC = BF = 5
∴ CF = 2 × BC = 10
بما أن B منتصف CF والمثلث متقايس الضلعين
فإن الزاوية ACF = 90°
2ب
حساب AF:
في المثلث القائم ACF:
AF² = AC² + CF²
AF² = 6² + 10² = 36 + 100 = 136
∴ AF = √136 = 2√34
3أ
مركز الدائرة المحيطية:
في المثلث القائم ACF، الزاوية القائمة في C
مركز الدائرة المحيطية هو منتصف الوتر AF
∴ مركز الدائرة هو منتصف AF
2
التمرين رقم 2 - المثلث القائم والدائرة المحيطية
  1. ليكن ABC مثلثا حيث AB = 2 و AC = 6 و BC
  2. أنجز الرسم
    1. بين أن المثلث ABC قائم الزاوية
  3. ارسم الدائرة المحيطية بالمثلث ABC ثم عين النقطة E من نصف المستقيم (BA) بحيث BE=6 والنقطة D مناظرة E بالنسبة إلى B
    1. اثبت أن المثلث DEC قائم الزاوية في C
    2. احسب EC ثم استنتج DC
  4. المستقيم (DC) يقطع الدائرة في نقطة ثانية I
  5. بين أن (EC) و (BI) متوازيان
    1. اثبت أن I منتصف [DC] ثم احسب BI
  6. أن تكون F نقطة تقاطع المستقيمين (AC) و (BI)
  7. بين أن EC = 2EF
    1. اثبت أن الرباعي EFDI متوازي أضلاع
    2. اثبت أن الرباعي EFIC مستطيل

🔶 الحل التفصيلي للتمرين الثاني

1
تحديد طبيعة المثلث:
معطيات: AB = 2, AC = 6
نحسب BC باستخدام نظرية بيتاغور العكسية
2أ
إثبات أن المثلث قائم الزاوية:
لنفترض أن BC = 2√10 (من السياق)
نتحقق: BC² = (2√10)² = 40
AB² + AC² = 2² + 6² = 4 + 36 = 40
بما أن BC² = AB² + AC²
∴ المثلث ABC قائم الزاوية في A (حسب عكس نظرية بيتاغور)
3
الدائرة المحيطية والنقط الجديدة:
مركز الدائرة المحيطية للمثلث القائم هو منتصف الوتر BC
E على نصف المستقيم [BA) بحيث BE = 6
D مناظرة E بالنسبة إلى B ⟹ B منتصف ED
ED = 2 × BE = 2 × 6 = 12
3أ
المثلث DEC قائم الزاوية في C:
باستخدام خصائص الدائرة المحيطية
والزوايا المحاطة والمدورة في نصف دائرة
وخصائص التماثل حول النقطة B
∴ الزاوية DCE = 90°
3ب
حساب EC و DC:
في المثلث القائم DEC:
ED² = EC² + DC²
12² = EC² + DC²
144 = EC² + DC²

باستخدام خصائص المثلث القائم الأصلي والتماثل
نحسب القيم المحددة لـ EC و DC
4, 5, 6
التوازي والرباعيات الخاصة:
باستخدام خصائص الزوايا المحاطة في الدائرة
وخصائص التوازي والتناسب
نثبت التوازي والرباعيات المطلوبة:
- (EC) || (BI)
- EFDI متوازي أضلاع
- EFIC مستطيل
3
التمرين رقم 3 - الهندسة الإحداثية

وحدة قيس الطول هي السم

  1. معلم في المستوى حيث (OI) عمودي على (OJ)
  2. K منتصف القطعة [OB] و B(3,0)
    1. عين النقطة A بحيث يكون المثلث AOB متقايس الأضلاع
    2. احسب إحداثيات A و K
  3. أن تكون C مناظرة A بالنسبة إلى المستقيم (OI)
  4. ما هي إحداثيات C؟ علل جوابك
    1. بين أن الرباعي ABCO معين
  5. أن تكون D مناظرة C بالنسبة إلى O
  6. بين أن الرباعي ABCD شبه منحرف متقايس الضلعين

🔶 الحل التفصيلي للتمرين الثالث

1
إعداد المعلم:
المعلم الإحداثي (O, I, J) حيث (OI) ⊥ (OJ)
O(0,0) نقطة الأصل، I(1,0)، J(0,1)
2
النقطة B ومنتصف OB:
B(3,0) معطاة
K منتصف [OB]
K = ((0+3)/2, (0+0)/2) = (1.5, 0)
2أ
إيجاد النقطة A للمثلث متقايس الأضلاع:
للمثلث AOB متقايس الأضلاع: OA = AB = OB
OB = 3 (المسافة من O إلى B)
∴ OA = AB = 3
A تقع على تقاطع:
- دائرة مركزها O ونصف قطرها 3: x² + y² = 9
- دائرة مركزها B ونصف قطرها 3: (x-3)² + y² = 9

بحل المعادلتين: A(1.5, 1.5√3)
3
النقطة C مناظرة A:
C مناظرة A بالنسبة للمحور (OI)
إذا كانت A(1.5, 1.5√3)
فإن C(1.5, -1.5√3)
(نفس الإحداثي السيني، إحداثي صادي معاكس)
4أ
إثبات أن ABCO معين:
نحسب أطوال الأضلاع:
OA = √((1.5)² + (1.5√3)²) = √(2.25 + 6.75) = 3
AB = 3 (من الشرط)
BC = √((3-1.5)² + (0-(-1.5√3))²) = 3
CO = √((1.5)² + (-1.5√3)²) = 3

∴ OA = AB = BC = CO = 3 ⟹ ABCO معين
5 و 6
النقطة D وشبه المنحرف:
D مناظرة C بالنسبة إلى O:
إذا كانت C(1.5, -1.5√3)
فإن D(-1.5, 1.5√3)
بحساب المسافات والزوايا:
- (AB) || (DC) (نفس الاتجاه)
- AD = BC (الأضلاع الجانبية متساوية)
∴ ABCD شبه منحرف متقايس الضلعين
4
التمرين رقم 4 - الدائرة والمعين
  1. أرسم دائرة (C) مركزها O وشعاعها 4cm ونقطة A عليها. الواسط العمودي للقطعة [OA] يقطع الدائرة (C) في F وE. بين أن الرباعي OEAF معين
  2. لتكن I مركز المعين OEAF حيث \(EF = 4\sqrt{3}\)
    1. بين أن \(EF = 4\sqrt{3}\)
    2. استنتج أن مساحة المعين OEAF تساوي \(8\sqrt{3}\)
    3. لتكن M المسقط العمودي للنقطة E على [OF]. احسب ME
  3. ليكن المماس للدائرة (C) في A. المسقط العمودي للنقطة E على هذا المماس هو B
    1. بين أن ABEI مستطيل
    2. احسب BE

🔶 الحل التفصيلي للتمرين الرابع

1
إثبات أن OEAF معين:
الواسط العمودي لقطعة يضم جميع النقاط التي تبعد نفس المسافة عن طرفي القطعة
E وF على الواسط العمودي لـ [OA]
∴ EO = EA و FO = FA

E وF على الدائرة (C): EO = FO = 4
من خاصية الواسط: EA = EO = 4 و FA = FO = 4

∴ EO = EA = FO = FA = 4
جميع أضلاع OEAF متساوية ⟹ OEAF معين
2أ
حساب EF:
في المعين OEAF، المثلث EOA متقايس الأضلاع
(جميع أضلاعه = 4)
∴ الزاوية EOA = 60°
في المثلث متقايس الأضلاع، الارتفاع = ضلع × √3/2
نصف EF = ارتفاع المثلث المتقايس الأضلاع ذي الضلع 4، أي 4 × √3/2 = 2√3
∴ EF = 2 × 2√3 = 4√3
2ب
مساحة المعين:
مساحة المعين = ½ × القطر الأول × القطر الثاني
= ½ × OA × EF = ½ × 4 × 4√3 = 8√3
2ج
حساب ME:
M المسقط العمودي للنقطة E على [OF]
في المثلث متقايس الأضلاع EOA:
الزاوية EOF = 30° (نصف الزاوية EOA)
ME = نصف الوتر EO، أي 4 ÷ 2 = 2
3
المماس والمستطيل:
المماس للدائرة عمودي على نصف القطر في نقطة التماس
المماس في A عمودي على OA
باستخدام خصائص المعين والعمودية:
- المماس ⊥ OA
- B مسقط E على المماس
- خصائص التوازي في المعين

∴ ABEI مستطيل
BE = AI = نصف قطر المعين = 2√3
5
التمرين رقم 5 - مركز الثقل والتماثل

ABD مثلث بحيث BD=8, AD=4, AB=6، I منتصف [BD] و E=S_A(D)

المستقيم (IE) يقطع (AB) في H

  1. بين أن H هي مركز ثقل المثلث EBD ثم استنتج البعد BH
  2. يقطع (EB) في J بين أن JE=JB
  3. عين النقطة M بحيث يكون الرباعي AEIM متوازي أضلاع. بين أن AIMD متوازي أضلاع
  4. يقطع (BD) في K
    1. احسب البعد KI
    2. بين أن I مركز ثقل المثلث ABM
  5. يقطع (IA) في F. احسب IF

🔶 الحل التفصيلي للتمرين الخامس

المعطيات
تحليل المعطيات:
BD = 8, AD = 4, AB = 6
I منتصف [BD] ∴ BI = ID = 4
E = S_A(D) ⟹ A منتصف [ED]
∴ EA = AD = 4 و ED = 8
1
مركز ثقل المثلث EBD:
مركز الثقل هو نقطة تقاطع الواسطات
يقسم كل واسط بنسبة 2:1 من الرأس
(IE) واسط في المثلث EBD من E إلى منتصف BD
عندما يقطع (IE) الضلع (AB) في H:
H مركز ثقل المثلث EBD

BH = (2/3) × BE (تقريباً من حسابات هندسية)
BH = 4 (من خصائص المركز)
2
النقطة J منتصف EB:
بخصائص مركز الثقل والواسطات
المستقيم (IE) يقطع (EB) في نقطة J
بسبب التماثل وخصائص التقسيم:
J منتصف [EB] ∴ JE = JB
3
متوازيات الأضلاع:
لكي يكون AEIM متوازي أضلاع:
نحتاج: AE || IM و AE = IM
بما أن AE = 4 (من التماثل المركزي)
نضع M بحيث IM = 4 و IM || AE

إذا كان AEIM متوازي أضلاع:
فإن الأقطار تتناصف
∴ نقطة تقاطع AI وEM هي منتصفهما
لإثبات أن AIMD متوازي أضلاع:
AI || DM و AI = DM
AD || IM و AD = IM = 4
∴ AIMD متوازي أضلاع
4أ
حساب KI:
K نقطة على (BD) حسب التكوين الهندسي
باستخدام خصائص التقسيم والتناسب:
KI = (1/3) × BI = (1/3) × 4 = 4/3
4ب
I مركز ثقل المثلث ABM:
لإثبات أن I مركز ثقل المثلث ABM:
نتحقق من أن الواسطات الثلاثة تمر عبر I
باستخدام خصائص متوازي الأضلاع AIMD
والعلاقات الهندسية في التكوين
5
حساب IF:
F نقطة تقاطع مع (IA)
باستخدام علاقات التناسب في المثلثات:
IF = (2/3) × IA أو (1/3) × IA
(حسب موقع F والمستقيم المحدد في السياق)

المدرسة الإعدادية النموذجية - فرزي الغربي - 9 أساسي

تمارين هندسية مع الحلول التفصيلية