التمرين الأول: قطعة أرض مستطيلة
1
قطعة أرض مستطيلة الشكل بعداها 200m و 210m. جد طول قطرها.
الحل التفصيلي:
المعطيات: قطعة أرض مستطيلة بعداها 200m و 210m
المطلوب: طول القطر
الحل: نطبق نظرية فيثاغورس
القطر² = الطول² + العرض²
القطر² = 210² + 200²
القطر² = 44100 + 40000
القطر² = 84100
القطر = √84100 ≈ 290.17 m
القطر² = 210² + 200²
القطر² = 44100 + 40000
القطر² = 84100
القطر = √84100 ≈ 290.17 m
التمرين الثاني: حساب أطوال الأضلاع المجهولة
2
في كل مثلث من المثلثات التالية، احسب طول الضلع المجهول:
أ) مثلث قائم فيه ضلعان 5cm و 12cm
ب) مثلث قائم فيه الوتر 13cm وأحد الضلعين 5cm
أ) مثلث قائم فيه ضلعان 5cm و 12cm
ب) مثلث قائم فيه الوتر 13cm وأحد الضلعين 5cm
الحل التفصيلي:
أ) الضلع المجهول هو الوتر:
الوتر² = 5² + 12²
الوتر² = 25 + 144 = 169
الوتر = √169 = 13 cm
الوتر² = 25 + 144 = 169
الوتر = √169 = 13 cm
ب) الضلع المجهول هو أحد ضلعي القائمة:
13² = 5² + الضلع²
169 = 25 + الضلع²
الضلع² = 169 - 25 = 144
الضلع = √144 = 12 cm
169 = 25 + الضلع²
الضلع² = 169 - 25 = 144
الضلع = √144 = 12 cm
التمرين الثالث: عمود كهربائي ومنزل
3
عمود كهربائي طوله 8m يوصل بسلك كهربائي إلى منزل ارتفاعه 3m.
أعط بالسنتيمتر قيمة تقريبية لطول السلك الكهربائي إذا علمت أن بعد نقطة تثبيت السلك الكهربائي في المنزل عن العمود الكهربائي يساوي 6m.
الحل التفصيلي:
المعطيات:
• ارتفاع العمود = 8m
• ارتفاع المنزل = 3m
• المسافة الأفقية = 6m
• ارتفاع العمود = 8m
• ارتفاع المنزل = 3m
• المسافة الأفقية = 6m
الحل: الفرق في الارتفاع = 8 - 3 = 5m
طول السلك² = المسافة الأفقية² + فرق الارتفاع²
طول السلك² = 6² + 5²
طول السلك² = 36 + 25 = 61
طول السلك = √61 ≈ 7.81m
طول السلك² = 6² + 5²
طول السلك² = 36 + 25 = 61
طول السلك = √61 ≈ 7.81m
النتيجة: طول السلك ≈ 781 cm
التمرين الرابع: مستطيل ونقطة
4
مستطيل ABCD حيث AD = 3cm و AB = 9cm. نعتبر النقطة E من قطعة المستقيم [CD] حيث DE = 3cm.
أ) احسب AE و BE
ب) هل أن المثلث AEB قائم الزاوية؟ علل جوابك.
أ) احسب AE و BE
ب) هل أن المثلث AEB قائم الزاوية؟ علل جوابك.
الحل التفصيلي:
أ) حساب AE و BE:
في المثلث ADE القائم في D:
AE² = AD² + DE²
AE² = 3² + 3² = 9 + 9 = 18
AE = √18 = 3√2 ≈ 4.24 cm
AE² = 3² + 3² = 9 + 9 = 18
AE = √18 = 3√2 ≈ 4.24 cm
بما أن DC = AB = 9cm، فإن EC = DC - DE = 9 - 3 = 6cm
في المثلث BCE القائم في C:
في المثلث BCE القائم في C:
BE² = BC² + EC²
BE² = 3² + 6² = 9 + 36 = 45
BE = √45 = 3√5 ≈ 6.71 cm
BE² = 3² + 6² = 9 + 36 = 45
BE = √45 = 3√5 ≈ 6.71 cm
ب) التحقق من كون المثلث AEB قائم الزاوية:
AE² + AB² = 18 + 81 = 99
BE² = 45
بما أن AE² + AB² ≠ BE²
إذن المثلث AEB ليس قائم الزاوية
BE² = 45
بما أن AE² + AB² ≠ BE²
إذن المثلث AEB ليس قائم الزاوية
التمرين الخامس: قياس طول القطر في مربع
5
ليكن ABCD مربعاً طول ضلعه a. أوجد AC بدلالة a.
الحل التفصيلي:
المعطيات: ABCD مربع طول ضلعه a
المطلوب: طول القطر AC
الحل: في المثلث ABC القائم في B
AC² = AB² + BC²
AC² = a² + a²
AC² = 2a²
AC = √(2a²) = a√2
AC² = a² + a²
AC² = 2a²
AC = √(2a²) = a√2
النتيجة: طول قطر المربع = a√2
التمرين السادس: مثلث متقايس الأضلاع
6
ليكن ABC مثلثاً متقايس الأضلاع طول ضلعه a و [AH] الارتفاع الصادر من A.
أ) بين أن AH² = AB² - (BC/2)²
ب) استنتج AH بدلالة a
أ) بين أن AH² = AB² - (BC/2)²
ب) استنتج AH بدلالة a
الحل التفصيلي:
أ) إثبات العلاقة:
بما أن ABC متقايس الأضلاع، فإن H منتصف BC
إذن BH = HC = BC/2 = a/2
في المثلث ABH القائم في H:
إذن BH = HC = BC/2 = a/2
في المثلث ABH القائم في H:
AB² = AH² + BH²
a² = AH² + (a/2)²
AH² = a² - (a/2)²
AH² = AB² - (BC/2)² ✓
a² = AH² + (a/2)²
AH² = a² - (a/2)²
AH² = AB² - (BC/2)² ✓
ب) حساب AH بدلالة a:
AH² = a² - (a/2)²
AH² = a² - a²/4
AH² = 4a²/4 - a²/4 = 3a²/4
AH = √(3a²/4) = a√3/2
AH² = a² - a²/4
AH² = 4a²/4 - a²/4 = 3a²/4
AH = √(3a²/4) = a√3/2
التمرين السابع: عكس نظرية فيثاغورس
7
ما هي المثلثات القائمة من بين المثلثات التالية:
أ) مثلث أقيسة أضلاعه 3 و 4 و 5
ب) مثلث أقيسة أضلاعه 7 و 8 و 6
ج) مثلث أقيسة أضلاعه 13 و 12 و 5
د) مثلث أقيسة أضلاعه 25 و 7 و 24
أ) مثلث أقيسة أضلاعه 3 و 4 و 5
ب) مثلث أقيسة أضلاعه 7 و 8 و 6
ج) مثلث أقيسة أضلاعه 13 و 12 و 5
د) مثلث أقيسة أضلاعه 25 و 7 و 24
الحل التفصيلي:
نطبق عكس نظرية فيثاغورس: إذا كان c² = a² + b² فإن المثلث قائم
أ) المثلث (3, 4, 5):
5² = 25
3² + 4² = 9 + 16 = 25
إذن 5² = 3² + 4² ✓ مثلث قائم
3² + 4² = 9 + 16 = 25
إذن 5² = 3² + 4² ✓ مثلث قائم
ب) المثلث (6, 7, 8):
8² = 64
6² + 7² = 36 + 49 = 85
إذن 8² ≠ 6² + 7² ✗ ليس قائم
6² + 7² = 36 + 49 = 85
إذن 8² ≠ 6² + 7² ✗ ليس قائم
ج) المثلث (5, 12, 13):
13² = 169
5² + 12² = 25 + 144 = 169
إذن 13² = 5² + 12² ✓ مثلث قائم
5² + 12² = 25 + 144 = 169
إذن 13² = 5² + 12² ✓ مثلث قائم
د) المثلث (7, 24, 25):
25² = 625
7² + 24² = 49 + 576 = 625
إذن 25² = 7² + 24² ✓ مثلث قائم
7² + 24² = 49 + 576 = 625
إذن 25² = 7² + 24² ✓ مثلث قائم