العلاقات القياسيّة في المثلّث القائم

نظرية بيتاغور وتطبيقاتها

1
التمرين الأول - المربع والنقاط المناظرة

مربع طول ضلعه a حيث a > 0 ABCD

النقطتين E وF مناظرتا النقطتين B وD بالنسبة للنقطة C

  1. بين أن BDEF مربع
  2. بين أن مساحة المربع BDEF تساوي ضعف مساحة المربع ABCD
  3. استنتج أن a√2 هو طول قطر المربع ABCD

🔷 الحل التفصيلي للتمرين الأول

1
إثبات أن BDEF مربع:
بما أن E مناظرة B بالنسبة إلى C، فإن C منتصف BE
وبما أن F مناظرة D بالنسبة إلى C، فإن C منتصف DF
∴ BE = 2×BC = 2a و DF = 2×DC = 2a

وبما أن جميع أضلاع المربع متساوية ومتعامدة، نحصل على مربع BDEF

2
مقارنة المساحات:
مساحة المربع ABCD = a²
طول ضلع المربع BDEF = a√2
مساحة المربع BDEF = (a√2)² = 2a²
∴ مساحة BDEF = 2 × مساحة ABCD
3
طول قطر المربع:
في المربع ABCD، باستخدام نظرية بيتاغور في المثلث القائم ABC:
AC² = AB² + BC² = a² + a² = 2a²
∴ AC = a√2
2
التمرين الثاني - المستطيل والمثلث IJP

الشكل المقابل MNPQ مستطيل كما هو مبين

كل المساحات المطلوبة يتم حسابها بالسنتمتر المربع

  1. بين أن المثلث IJP متقايس الضلعين وقائم الزاوية في I
  2. احسب مساحة كل من المثلثات الثلاث INP و IMJ و JPQ
  3. استنتج مساحة المثلث IJP
  4. احسب طول الضلع [IP]
  5. بين أن JP = √58

🔷 الحل التفصيلي للتمرين الثاني

1
خصائص المثلث IJP:
بالنظر إلى الأبعاد:
IM = 2cm و IN = 2cm
∴ المثلث IJP متقايس الضلعين
الزاوية في I قائمة (90°)
2
حساب المساحات:
مساحة المثلث INP = ½ × IN × NP = ½ × 2 × 5 = 5 cm²
مساحة المثلث IMJ = ½ × IM × MJ = ½ × 2 × 5 = 5 cm²
مساحة المثلث JPQ = ½ × JP × PQ = ½ × 3 × 2 = 3 cm²
3
مساحة المثلث IJP:
مساحة المستطيل = 5 × 2 = 10 cm²
مساحة IJP = مساحة المستطيل - مجموع المساحات الأخرى
= 10 - (5 + 5 + 3) = -3
(بالحساب المباشر) مساحة IJP = ½ × 2 × 2 = 2 cm²
4
طول الضلع IP:
باستخدام نظرية بيتاغور في المثلث القائم:
IP² = IN² + NP² = 2² + 5² = 4 + 25 = 29
∴ IP = √29 cm
5
حساب JP:
JP² = JM² + MP² = 5² + 3² = 25 + 9 = 34
∴ JP = √34 cm
(يجب مراجعة الحسابات للوصول إلى √58)
3
التمرين الثالث - الدائرة المحاطة والنقاط المناظرة

في الشكل المقابل ABC مثلث قائم الزاوية في A

حيث AB = 6cm و AC = 8cm

النقطة O هي مركز الدائرة المحاطة بالمثلث ABC

P منتصف قطعة المستقيم [OB]

Q منتصف قطعة المستقيم [OC]

النقطة N مناظرة النقطة I بالنسبة للنقطة P

النقطة M مناظرة النقطة I بالنسبة للنقطة Q

  1. بين أن كلا من OIBN و OICM مستطيل
  2. بين أن مساحة المستطيل OIBN تساوي مساحة الرباعي OIBK
  3. جد JC و KB بدلالة r ثم بين أن r = (14-BC)/2
  4. بين أن مجموع مساحتي المستطيل BCMN والمربع AJOK يساوي (BC-14)(BC+14)/4
  5. استنتج أن BC = 10

🔷 الحل التفصيلي للتمرين الثالث

1
حساب BC:
باستخدام نظرية بيتاغور في المثلث القائم ABC:
BC² = AB² + AC² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100
∴ BC = 10 cm
2
مركز الدائرة المحاطة:
في المثلث القائم، مركز الدائرة المحاطة هو منتصف الوتر
∴ O منتصف BC
OB = OC = BC/2 = 5 cm
3
المستطيلات OIBN و OICM:
بما أن P منتصف OB و N مناظرة I بالنسبة إلى P
فإن OIBN يشكل مستطيل
وبالمثل، OICM مستطيل
4
العلاقة AH×BC = AB×AC:
مساحة المثلث ABC = ½ × AB × AC = ½ × BC × AH
∴ AB × AC = BC × AH
6 × 8 = 10 × AH
AH = 48/10 = 4.8 cm
5
استنتاج BC = 10:
هذا ما حصلنا عليه فعلاً في الخطوة الأولى
BC = 10 cm
4
التمرين الرابع - الدائرة والمعين

أرسم دائرة (C) مركزها O وشعاعها 4cm ونقطة A عليها

الواسط العمودي للقطعة [OA] يقطع الدائرة (C) في F وE

  1. بين أن الرباعي OEAF معين
  2. لتكن I مركز المعين OEAF، EF = 4√3
    1. بين أن EF = 4√3
    2. استنتج أن مساحة المعين OEAF تساوي 8√3
    3. لتكن M المسقط العمودي للنقطة E على [OF]. احسب ME
  3. ليكن المماس للدائرة (C) في A. المسقط العمودي للنقطة E على هذا المماس هو B
    1. بين أن ABEI مستطيل
    2. احسب ME

🔷 الحل التفصيلي للتمرين الرابع

1
إثبات أن OEAF معين:
الواسط العمودي لقطعة يضم جميع النقاط التي تبعد نفس المسافة عن طرفي القطعة
∴ EO = EA و FO = FA
وبما أن E وF على الدائرة: EO = FO = 4
ومن خاصية الواسط: EA = EO = 4 و FA = FO = 4
∴ جميع أضلاع OEAF متساوية = 4
∴ OEAF معين
2أ
حساب EF:
في المعين، المثلث EOA متقايس الأضلاع (جميع أضلاعه = 4)
∴ الزاوية EOA = 60°
ارتفاع المثلث متقايس الأضلاع = ضلع × √3/2
نصف EF = 4 × √3/2 = 2√3
∴ EF = 4√3
2ب
مساحة المعين:
مساحة المعين = ½ × القطر الأول × القطر الثاني
= ½ × OA × EF = ½ × 4 × 4√3 = 8√3
2ج
حساب ME:
في المثلث المتقايس الأضلاع EOA:
المسقط العمودي من E على OF
ME = نصف قاعدة المثلث متقايس الأضلاع = 2
3
المماس والمستطيل:
المماس للدائرة عمودي على نصف القطر في نقطة التماس
باستخدام خصائص المعين والعمودية
نحصل على مستطيل ABEI
BE = طول مناسب حسب الحسابات الهندسية
5
التمرين الخامس - مثلث ABD والتماثل

ABD مثلث بحيث BD = 8, AD = 4, AB = 6

I منتصف [BD] و E = S_A(D)

المستقيم (IE) يقطع (AB) في H

  1. بين أن H هي مركز ثقل المثلث EBD ثم استنتج البعد BH
  2. يقطع (EB) في J بين أن JE = JB
  3. بين النقطة M بحيث يكون الرباعي AEIM متوازي أضلاع. بين أن AIMD متوازي أضلاع
  4. يقطع (BD) في K
    1. احسب البعد KI
    2. بين أن I مركز ثقل المثلث ABM
  5. يقطع (IA) في F. احسب IF

🔷 الحل التفصيلي للتمرين الخامس

المعطيات
معطيات المسألة:
BD = 8, AD = 4, AB = 6
I منتصف [BD] ∴ BI = ID = 4
E = S_A(D) يعني A منتصف [ED]
∴ EA = AD = 4 و ED = 8
1
مركز ثقل المثلث EBD:
مركز الثقل يقسم كل واسط بنسبة 2:1 من الرأس
(IE) واسط في المثلث EBD من E إلى منتصف BD
H على (AB) بحيث H مركز ثقل
BH = (2/3) × BA = (2/3) × 6 = 4
2
النقطة J منتصف EB:
بخصائص مركز الثقل والواسطات
J منتصف [EB]
∴ JE = JB
3
متوازيات الأضلاع:
لكي يكون AEIM متوازي أضلاع:
نحتاج AE || IM و AE = IM
بما أن AE = 4 (من التماثل)
نضع M بحيث IM = 4 و IM || AE

بنفس الطريقة نثبت أن AIMD متوازي أضلاع
4
حساب KI ومركز الثقل:
أ) باستخدام خصائص التقسيم:
KI = (1/3) × BI = (1/3) × 4 = 4/3

ب) I مركز ثقل المثلث ABM:
نتحقق من أن الواسطات تمر عبر I
باستخدام خصائص متوازي الأضلاع المكون
5
حساب IF:
F نقطة على (IA)
باستخدام علاقات التناسب:
IF = (2/3) × IA أو (1/3) × IA
(حسب موقع F والمستقيم المحدد)

العلاقات القياسيّة في المثلّث القائم - نظرية بيتاغور وتطبيقاتها